Wykład XVII
Temat: Całka nieoznaczona z funkcji wymiernych
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów,
tzn.
n
W (x) a0xn + a1xn-1 +K+ an-1x + an
f (x)= =
m
W (x) b0xm + b1xm-1 +K+ bm-1x + bm
Przy obliczaniu całki z funkcji wymiernej postępujemy w
następujący sposób.
1. Jeżeli stopień licznika jest równy bądz
większy od
stopnia mianownika (ne"m) wówczas dzielimy wielomian
z licznika przez wielomian z mianownika.
2. Jeżeli stopień licznika jest mniejszy od stopnia
mianownika (nrozkładamy na sumę tzw. ułamków prostych postaci:
Bx + C
A
lub
q
(ax + b)p
(cx2 + dx + e)
gdzie A, B, C, a, b, c, d, e są dowolnymi stałymi,
natomiast p i q oznaczają liczby naturalne.
Ponadto zakładamy, że Delta równania kwadratowego w
mianowniku drugiego wyrażenia jest ujemna,
tzn. "=d2-4ce<0.
Sposób rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste
oraz obliczanie całek z tych funkcji przedstawimy na
2
przykładach.
1
I. Całka z funkcji wymiernej postaci f (x)= , a `" 0
ax + b
Podstawiamy
ax + b = u
1 1 1 1
1
adx = du
du = ln u + c = ln ax + b + c
dx =
+"
+" 1
a u a a
ax + b
dx = du
a
1
dx
Przykład 1 : Obliczyć
+"
2x - 3
Podstawiamy:
2x - 3 = t
1 1 1 1 1
2dx = dt
dx = = dt = ln t + c = ln 2x - 3 + c
1
+" +"
2x - 3 dx = dt 2 t 2 2
2
3
cx + d
II. Całka z funkcji wymiernej postaci
f (x)= , a `" 0
ax + b
Ponieważ stopień licznika jest taki
c
sam jak stopień mianownika więc
a
dzielimy licznik przez mianownik:
cx + d : ax + b
c
cb
�ł �ł
- cx - b
d -
�ł �ł
cx + d c
a
a
�ł
dx = dx =
+" +"�ł +
c
ax + b a ax + b
�ł �ł
�ł �ł = d - b
�ł łł
a
ax + b = u
adx = du
c ad - bc
= x + ln ax + b + C
1
dx = du a
a2
a
4
6x + 8
dx
Przykład 2 : Obliczyć
+"
2x - 3
Dokonujemy
dzielenia:
3
6x + 8
17
�ł �łdx =
dx =
=
�ł
6x + 8 : 2x - 3
+"
+"�ł3 +
2x - 3
2x - 3
�ł łł
- 6x + 9
= 17
Podstawiamy:
2x - 3 = t
17 17
2dx = dt
= dx = 3x + dx
+"3dx + +" +"
1
2x - 3 2x - 3
dx = dt
2
1 17 17 17
= 3x + dt = 3x + ln t = 3x + ln 2x - 3 + c
+"
2 t 2 2
5
f (x)= (ax + b)r , r `" -1
III. Całka z funkcji postaci
ax + b = u
adx = du
1
+"(ax + b)r dx =
dx = du
a
1 1 ur+1 1 (ax + b)r+1
= + c = + c
+"urdu = �"
a a r +1 a r +1
6
mx + n
IV. Całka z funkcji
f (x)= , a `" 0
wymiernej postaci
ax2 + bx + c
Po pierwsze sprawdzamy czy licznik jest pochodną
mianownika. Jeżeli tak, to wówczas
(ax2 + bx + c)2
dx = ln ax2 + bx + c + C
+"
ax2 + bx + c
Jeżeli licznik nie jest pochodną mianownika, wówczas
sposób rozwiązania całki zależy od wyróżnika równania
kwadratowego.
7
4x - 3
dx
Przykład 3 : Obliczyć
+"
2x2 - 3x - 2
Możemy wykonać podstawienie:
2x2 -3x-2=u
(4x-3)dx=du
4x - 3 1
dx = du = ln u + c = ln 2x2 - 3x - 2 + c
+" +"
u
2x2 - 3x - 2
8
a)
Jeśli
" = b2 - 4ac > 0
mx + n mx + n A B
= = +
a(x - x1)(x - x2) a(x - x1) (x - x2)
ax2 + bx + c
Wówczas
mx + n A B
dx =
+" +" +"
a(x - x1)dx + (x - x2)dx
ax2 + bx + c
A
= ln x - x1 + B ln x - x2 + c
a
9
2x + 6
Przykład 4 : Obliczyć
dx
+"
2x2 - 3x - 2
Obliczamy deltę mianownika:
" = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4�" 2�"(- 2)= 9 +16 = 25 > 0
Ponieważ " >0, obliczamy pierwiastki:
- b - " 3 - 5 2 1
x1 = = = - = -
2a 4 4 2
- b + " 3 + 5 8
x2 = = = = 2
2a 4 4
1
�ł
Zatem
2x2 - 3x - 2 = 2�ł x + (x - 2)= (2x +1)(x - 2)
�ł �ł
2
�ł łł
10
2x + 6 A B A(x - 2)+ B(2x +1)
= + =
(2x +1)(x - 2) 2x +1 x - 2 (2x +1)(x - 2)
Ponieważ mianowniki wyrażeń po lewej i prawej stronie są
sobie równe to muszą być równe także liczniki.
2x + 6 = A(x - 2)+ B(2x +1)
2x + 6 = Ax + 2Bx - 2A + B
2x + 6 = (A + 2B)x - 2A + B
Otrzymujemy do rozwiązania układ równań
Wstawiamy B=2 do pierwszego równania
ńł A + 2B = 2�"2
�ł
A + 4 = 2 �! A = -2
ół- 2A + B = 6
2A + 4B = 4
ńł
�ł
+
ół- 2A + B = 6
5B = 10 �! B = 2
11
Ostatecznie
2x + 6 - 2 2
dx + dx
+" +" +"
(2x +1)(x - 2)dx = 2x +1 x - 2
= - ln 2x +1 + 2ln x - 2 + c
b) Jeśli
" = b2 - 4ac = 0
mx + n mx + n A B
= = +
a(x - x1)
ax2 + bx + c
a(x - x1)2 a(x - x1)2
Wówczas
mx + n A B
dx = dx +
+" +" +"
a(x - x1)dx
ax2 + bx + c
a(x - x1)2
A 1 B
= - + ln x - x1 + c
12
a x - x1 a
2x + 6
Przykład 5 : Obliczyć dx
+"
2x2 - 4x + 2
Obliczamy deltę mianownika:
" = b2 - 4ac = (- 4)2 - 4�" 2�" 2 = 0
- b 4
x1 = = =1
Obliczamy pierwiastek:
2a 4
2x + 6 2x + 6 A B
= = +
2(x -1)
2x2 - 4x + 2
2(x -1)2 2(x -1)2
2x + 6 A + B(x -1)
2x + 6 = A + B(x -1)
=
2x2 - 4x + 2
2(x -1)2
2x + 6 = Bx + A - B
B = 2
ńł
�! B = 2, A = 8
�ł
13
A - B = 6
ół
Ostatecznie
2x + 6 8 2
dx = dx +
+" +" +"
2(x -1)dx
2x2 - 4x + 2
2(x -1)2
4 1 4
= dx + dx = - + ln x -1 + c
+" +"
x -1 x -1
(x -1)2
c) Jeśli wówczas funkcję
" = b2 - 4ac < 0
mx + n
f (x)=
ax2 + bx + c
przedstawiamy w postaci sumy dwóch ilorazów takich, że w
pierwszym licznik jest pochodną mianownika, natomiast
drugi w liczniku posiada tylko stałą. Całka z takiej funkcji
będzie sumą logarytmu mianownika oraz arctg[u(x)].
14
Ten sposób zilustrujemy jedynie na przykładach.
6
Przykład 6 : Obliczyć
dx
+"
x2 - 2x + 2
Obliczamy deltę mianownika:
" = (- 2)2 - 4�"1�"2 = 4 -8 = -4 < 0
Ponieważ " jest ujemna, mianownik przedstawimy w
postaci:
2
x - 2x + 2 = (x -1)2 -1+ 2 = (x -1)2 +1
Zatem
6 1
dx = 6 dx = 6arctg(x -1)+ c
+" +"
x2 - 2x + 2
(x -1)2 +1
15
4x + 6
Przykład 7 : Obliczyć
dx
+"
x2 - 2x + 2
Mianownik w tym przykładzie jest identyczny jak w
przykładzie 6. Licznik z kolei nie jest stałą i przedstawimy
go jaką sumę pochodnej mianownika i pewnej stałej.
2
(x - 2x + 2)2 = 2x - 2
Mianowicie:
4x + 6 = 2(2x - 2)+10
Zatem licznik możemy przedstawić:
4x + 6 2x - 2 1
dx = 2 dx +10 dx
+" +" +"
x2 - 2x + 2 x2 - 2x + 2 x2 - 2x + 2
1
= 2ln(x2 - 2x + 2)+10 dx =
+"
(x -1)2 +1
= 2ln(x2 - 2x + 2)+10arctg(x -1)+ c
16
Zadania na ćwiczenia
Zadania na ćwiczenia
1
3
dx
+"
dx
+"(2x + 8)3dx
+"
(3x + 5)2
3x + 5
3x +1 5x +1
- x - 9
dx dx
dx
+" +"
+"
x2 + 2x - 3 x2 -1 x2 - 2x - 3
4
2x + 8 4
dx
dx dx
+"
+" +"
x2 - 4
x2 - 4 x2 + 4x + 5
3
8 2
dx
dx dx
+"
+" +"
x2 + 6x +10
x2 + 4 x2 + 2x + 2
17