WYKA
AD XVIII
Całki nieoznaczone z funkcji niewymiernych
m
n
n
1. Całki z funkcji zawierających
xm = x
Przy obliczaniu całki dokonujemy podstawienia x=tN,
gdzie N oznacza wspólny mianownik ułamkowych potęg.
1
Przykład 1 : Obliczyć
dx
+"
3
x + x
1
1
Zauważmy, że
3
x = x2
x = x3
1 1
jest 6.
Wspólny mianownik ułamków: 2 i
3
Dokonujemy zatem podstawienia:
x = t6
dx = 6t5dt
1 6t5 6t5 t3
dx = dt = dt = 6 dt
+" +" +" +"
3
t +1
x + x
t3 + t2 t2(t +1)
Dzielimy dwa wielomiany
1
ëÅ‚ öÅ‚dt
= 6 -
÷Å‚
+"ìÅ‚t2 t +1-
t2 - t
+1
t +1Å‚Å‚
íÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
t3 t2
÷Å‚
t3 : t +1
= 6ìÅ‚ - + t - ln t +1 + c
ìÅ‚ ÷Å‚
3 2
íÅ‚ Å‚Å‚
- t3 - t2
Wracamy do starej zmiennej
= - t2
6
x = t6 Ô!t = x
t2 + t
= t
6 6
= 2 x - 33 x + 6 x - 6ln x +1 + c
- t -1
= -1 2
4
6 x
Przykład 2 : Obliczyć
dx
+"
43 x - x
Zauważmy, że
1 1
1
3
4
x = x3 x = x2
x = x4
1 1 1
jest 12.
, ,
Wspólny mianownik ułamków:
4 3 2
Dokonujemy zatem podstawienia:
x = t12
dx =12t11dt
4
6 x 6t3 t14
dx =12 t11dt = 72
+" +" +"
43 x - x
4t4 - t6 t4(4 - t2)dt =
t10
= 72 dt =
+"
- t2 + 4
3
Dzielimy dwa wielomiany
- t8- 4t6 -16t4 - 64t2
- 256
t10 : - t2 + 4
- t10 + 4t8
= 4t8
- 4t8 +16t6
= 16t6
-16t6 + 64t4
= 64t4
- 64t4 + 256t2
= 256t2
- 256t2 +1024
= 1024
4
ëÅ‚ öÅ‚
1024
= 72 - -16t4 - 64t2 - 256 +
ìÅ‚
+"ìÅ‚- t8 4t6 ÷Å‚
(2 - t)(2 + t)÷Å‚dt =
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
t9 t7 t5 t3
÷Å‚
= -72ìÅ‚ + 4 +16 + 64 + 256t +
ìÅ‚ ÷Å‚
9 7 5 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
+ 73728
+"
(2 - t)(2 + t)dt =
1 A B A(2 + t)+ B(2 - t)
= + =
(2 - t)(2 + t) 2 - t 2 + t (2 - t)(2 + t)
A(2 + t)+ B(2 - t)=1
Å„Å‚ A - B = 0Å" 2
2A - 2B = 0
Å„Å‚
Dostajemy
Ô!
òÅ‚2A + 2B = 1 òÅ‚2A + 2B = 1
układ: ół
ół
1 1
4A = 1Ò! A = Ò! B =
4 4
5
ëÅ‚ öÅ‚
t9 t7 t5 t3 1
÷Å‚
= -72ìÅ‚ + 4 +16 + 64 + 256t + 73728
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
9 7 5 3 (2 - t)(2 + t)dt
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
t9 t7 t5 t3 73728 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
= -72ìÅ‚ + 4 +16 + 64 + 256t + dt + dt
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
9 7 5 3 4 2 - t 2 + t
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
t9 t7 t5 t3
÷Å‚
= -72ìÅ‚ + 4 +16 + 64 + 256t +18432(- ln 2 - t + ln 2 + t )+ c
ìÅ‚ ÷Å‚
9 7 5 3
íÅ‚ Å‚Å‚
x = t12 Ô!t =12 x
Wracamy do starej zmiennej
4 12 12
ëÅ‚ 4 öÅ‚
x3 x7 x5 x 2 +12 x
÷Å‚
= -72ìÅ‚ + 4 +16 + 64 + 25612 x +18432ln + c
ìÅ‚ ÷Å‚
9 7 5 3
2 -12 x
íÅ‚ Å‚Å‚
Koniec przykładu 2.
6
2. Całka z kombinacji pierwiastków z funkcji homograficznej
ax + b
, ad - bc `" 0
cx + d
ax + b
N
Dokonujemy podstawienia: = t
cx + d
x -1
dx
Przykład 3 : Obliczyć
+"
x +1
x -1
= t2
Podstawiamy:
x +1
W celu obliczenia dx wyznaczymy z równania x:
t2 +1
x -1 = t2(x +1)
x =
1- t2
x - xt2 = t2 +1
2t(1- t2)+ 2t(t2 +1)dt
dx =
x(1- t2)= t2 +1
2
7
(1- t2)
2t(1- t2)+ 2t(t2 +1)dt = 4t
dx = dt
2 2
(1- t2) (1- t2)
x -1 4t
dx = dt =
+" +"t
2
x +1
(1- t2)
4t
2
f (t)= t g (t)=
2
Całkujemy
(1- t2)
przez części
- 2t 1
2
f (t)=1 g(t)= -2 dt = 2
układ:
+"
2
1- t2
(1- t2)
x -1 2 2
dx = t -
+" +"
x +1 (1- t)(1+ t)dt
1- t2
8
2 A B A(1+ t)+ B(1- t)
= + =
(1- t)(1+ t) 1- t 1+ t (1- t)(1+ t)
A(1+ t)+ B(1- t)= 2
A - B = 0
Å„Å‚
òÅ‚A + B = 2
Dostajemy
ół
x -1
układ:
t =
2A = 2 Ò! A = 1Ò! B = 1
x +1
x - 1 2 2
dx = t -
+" +"
2
x + 1 (1 - t)(1 + t)dt =
1 - t
2t 1 1 2t
ëÅ‚ öÅ‚dt =
= - - ln1- t - ln1+ t + c =
÷Å‚
+"ìÅ‚1- t +
1+ t
1- t2 íÅ‚ Å‚Å‚ 1- t2
x -1 x -1
1-
x -1 x +1 - x -1
x +1 x +1
= 2 + ln + c = (x +1) + ln + c
x -1
x +1
x -1 x +1 + x -1
1-
1+
x +1
9
x +1
3. Całka z funkcji zawierającej pierwiastek kwadratowy z
trójmianu kwadratowego
1
dx
+"
x2 + k
Dokonujemy podstawienia Eulera:
x + x2 + k = t
Wyznaczamy x:
x2 + k = t - x
x2 + k = (t - x)2 = t2 - 2tx + x2
t2 - k 1 k
ëÅ‚t - öÅ‚
2tx = t2 - k Ô! x = =
ìÅ‚ ÷Å‚
2t 2 t
íÅ‚ Å‚Å‚
1 k t2 + k
ëÅ‚1+ öÅ‚dt =
dx = dt
ìÅ‚ ÷Å‚
10
2
t2 2t2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 2t t2 + k 1
dx = dt = dt = ln t + c
+" +" +"
t
t2 + k 2t2
x2 + k
1
dx = ln x + x2 + k + c
+"
x2 + k
1
dx
Całka z funkcji kwadratowej
+"
2
k - x2
sprowadza siÄ™ do arcsinx. Mianowicie
1 1 1 1
dx = dx = dx =
+" +" +"
2 2
k
ëÅ‚
k - x2
x2 öÅ‚
x
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
k2ìÅ‚1-
1-
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
k
k2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
x
= t Ò! x = kt
k x x
k
= arcsinëÅ‚ öÅ‚ + c = arcsinëÅ‚ öÅ‚ + c
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
dx = kdt
11
k k k
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2x +1
Przykład 4 : Obliczyć
dx
+"
x2 - 4x + 5
Policzymy pochodną funkcji podcałkowej
(x2 - 4x + 5)2 = 2x - 4
2x +1 (2x - 4)+ 5
dx = dx =
+" +"
x2 - 4x + 5 x2 - 4x + 5
(2x - 4) 5
= dx + dx = (1) + (2)
+" +"
x2 - 4x + 5 x2 - 4x + 5
12
Rozwiązujemy całkę (1)
Podstawiamy:
(2x - 4) du
x2 - 4x + 5 = u
(1)= dx = = =
+" +"
(2x - 4)dx = du
u
x2 - 4x + 5
1
1
2
-
u
2
= + c1 = 2 u + c1 = 2 x2 - 4x + 5 + c1
+"u du =
1
2
5
Rozwiązujemy całkę (2)
dx
+"
x2 - 4x + 5
x2 - 4x + 5 = 0
" = (- 4)2 - 4Å"1Å"5 =16 - 20 = -4 < 0
x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 - 4 + 5 = (x - 2)2 +1
13
5 1
(2)= dx = 5 dx
+" +"
x2 - 4x + 5
(x - 2)2 +1
x - 2 = u
dx = du
1
= 5 du = 5ln u + u2 +1 + c2 =
+"
u2 +1
= 5ln x - 2 + x2 - 4x + 5 + c2
Ostatecznie
2x - 4
dx = 2 x2 - 4x + 5 + 5ln x - 2 + x2 - 4x + 5 + c
+"
x2 - 4x + 5
14
Zadania na ćwiczenia
Obliczyć całki z funkcji niewymiernych:
1. 2x +1 dx wskazówka 2x +1 = t2
+"
1
2. dx wskazówka 4x + 3 = t2
+"
4x + 3
2 x
3. dx wskazówka x = t2
+"
x -1
3
x
4. dx
+"
6
x + x5
1
5. dx
+"
15
x + 23 x2
1- x dx
6.
+"
1+ x x
1
7. dx
+"
1- 9x2
1
8. dx
+"
x2 - 2x + 2
2
9. dx
+"
x2 - 5x +19
16