Wykład XXVI
Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu
Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu
nazywamy równanie postaci:
2 2 2
F(x, y, y , y )= 0,
Równanie to często daje się zapisać w postaci
2 2 2
y = f (x, y, y )
Rozwiązaniem ogólnym (całką) równania różniczkowego jest
caÅ‚ka ogólna y=Õ(x,c1,c2), zależna od dwóch staÅ‚ych c1 i c2.
Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego
uzyskujemy z warunków początkowych, które określają
wartość y i jej pochodnych w punkcie x=x0.
2 2
y = 6x
Przykład 1. Rozwiązać równanie
RozwiÄ…zanie:
Równanie to rozwiążemy dwukrotnie je całkując.
x2
Pierwsza całka: 2
y = + c1 = 3x2 + c1
+"6xdx = 6
2
Druga całka:
x3
y = (3x2 + c1)dx = 3 + c1x + c2 = x3 + c1x + c2
+"
3
Odp. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =6x jest funkcja y=x3+c1x+c2.
Jeśli narzucimy warunek początkowy np., że dla x=1; y=2
oraz y'=1, wówczas wstawiając te warunki do pierwszej
pochodnej i do rozwiązania otrzymamy układ równań:
Å„Å‚1 = 3Å"12 + c1
c = -2
Å„Å‚
Ò! y = x3 - 2x + 3
Ò!
òÅ‚
òÅ‚c1
2
= 3
ół 2
ół2 = 13 + c1 Å"1+ c2
Wykresy rozwiązań szczegółowych:
y = x3 + c1x + c2
Rozwiązanie szczególne
spełniające warunek:
x=1, y=2, y' =1
3
Przykład 2. Rozwiązać równanie
2 2
y = 6x2 + 4
RozwiÄ…zanie:
Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:
x3
2
y = (6x2 + 4)dx = 6 + 4x + c1 = 2x3 + 4x + c1
+"
3
Po drugim całkowaniu otrzymujemy:
x4 x2 x4
y = (2x3 + 4x + c1)dx = 2 + 4 + c1x + c2 = + 2x2 + c1x + c2
+"
4 2 2
Odp. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
y'' =6x2+4 jest funkcja y=x4/2+2x2+c1x+c2.
4
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o
współczynnikach stałych
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego o
współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci:
2
d y dy
a + b + cy = f (x), a `" 0
dx
dx2
Równanie to jest liniowe względem y i jej pochodnych.
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
2
d y dy
a + b + cy = 0
dx
dx2
i nazywane jest równaniem jednorodnym. 5
1. Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Jeżeli w równaniu f(x)=0, wówczas przyjmuje ono postać:
2
d y dy
2 2 2
a + b + cy = 0 lub ay + by + cy = 0
(*)
dx
dx2
i nazywane jest równaniem jednorodnym.
Przyjmijmy w równaniu jednorodnym, że
y = erx
2 2
2 y =(rerx)2 = r2erx
oraz
Wówczas y = rerx
Wstawiając funkcję oraz pochodne do równania (*)
otrzymujemy:
ar2erx + brerx + cerx = 0
Dzieląc równanie przez erx otrzymujemy
ar2 + br + c = 0
6
Równanie ar2+br+c=0 nazywamy równaniem
charakterystycznym równania (*).
Rozwiązanie równanie ar2+br+c=0 zależy od znaku
wyróżnika: "=b2-4ac.
Przypadek 1. ">0
Równanie ar2+br+c=0 ma dwa rozwiązania:
- b - " - b + "
r1 = r2 =
2a 2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = c1er1x + c2er2x
7
Przypadek 2. "=0
- b
r =
Równanie ar2+br+c=0 ma jedno rozwiązanie: 1
2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = (c1x + c2)er1x
Przypadek 3. "<0
Równanie ar2+br+c=0 ma dwa pierwiastki zespolone
r1 = Ä… - ²i r2 = Ä… + ²i
gdzie
- b
- "
Ä… = ;
² =
2a
2a
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (*)
jest funkcja postaci:
y = eÄ…x(c1 cos²x + c2 sin ²x)
8
Przykład 3. Rozwiązać równanie 2 2 2
2y - 5y - 3y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne ma postać:
2r2 - 5r - 3 = 0
Ò! " > 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 25 + 24 = 49
- b - " 5 - 7 1
- b + " 5 + 7
r1 = = = - ;
r2 = = = 3
2a 4 2
2a 4
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
1
- x
2
y = c1e + c2e3x
9
Przykład 4. Rozwiązać równanie 2 2 2
y + 2y + y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
r2 + 2r +1 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 4 - 4 = 0
- b - 2
Obliczamy pierwiastek:
r1 = = = -1
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
y = (c1x + c2)e-x
10
Przykład 5. Rozwiązać równanie 2 2 2
y + 2y + 5y = 0
Rozwiązanie: Równanie charakterystyczne równania ma
postać:
r2 + 2r + 5 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 4 - 20 = -16
Ò! " < 0
- b - i - " - 2 - 4i
r1 = = = -1- 2i;
Ä… = -1
Å„Å‚
2a 2
Ò!
òÅ‚
² = 2
ół
- b + i - " - 2 + 4i
r2 = = = -1+ 2i;
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego jest
funkcja postaci:
y = eÄ…x(c1 cos²x + c2 sin ²x)
WstawiajÄ…c Ä… i ² dostajemy rozwiÄ…zanie ogólne postaci:
y = e-x(c1 cos 2x + c2 sin 2x)
11
1. Rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu drugiego o współczynnikach stałych
Równanie niejednorodne ma postać:
2 2 2
ay + by + cy = f (x); a `" 0, f (x)`" 0
(**)
Rozwiązaniem ogólnym równania (**) jest funkcja
y = y1(x,c1,c2)+ y2(x)
gdzie y1(x,c1,c2) jest rozwiązaniem równania jednorodnego
(*), natomiast y2(x) jest pewnym rozwiązaniem szczególnym
równania (**).
RozwiÄ…zanie y2(x) znajdujemy metodÄ… przewidywania lub
uzmienniania stałej.
12
Przykład 6. Rozwiązać równanie 2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
RozwiÄ…zanie:
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne: y''-4y'+4y=0.
Równanie charakterystyczne ma postać:
r2 - 4r + 4 = 0
Obliczamy deltÄ™:
" = b2 - 4ac = 16 -16 = 0
- b 4
r1 = = = 2;
2a 2
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego
jednorodnego jest funkcja postaci:
y = (c1x + c2)e2x
Ponieważ f(x) jest funkcją liniową wobec tego
przewidujemy, że y2=ax+b
13
Rozwiązanie y2=ax+b musi spełniać równanie, wobec
czego musimy obliczyć pierwszą i drugą pochodną tego
rozwiÄ…zania.
2 2
y2 = 0
2
y2 = (ax + b)2 = a
2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
Po wstawieniu do równania
otrzymujemy:
0- 4a + 4(ax+b)= 4x
Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy:
4ax+4b-4a = 4x
Porównujemy współczynniki, uzyskując układ równań:
a =1
4a = 4
Å„Å‚
Ò!Å„Å‚
òÅ‚
òÅ‚
b =1
4b-4a = 0
ół
ół
14
Przypomnijmy, że rozwiązaniem szczególnym równania
jednorodnego jest funkcja:
y1 = (c1x + c2)e2x
Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego
2 2 2
y - 4y + 4y = 4x
jest funkcja postaci:
y = y1 + y2 = (c1x + c2)e2x + x +1
15
Zadania na ćwiczenia:
Rozwiązać równania różniczkowe
2 2
1. y = 2
2 2 2
2. y - 2y = 0
2 2 2
2 2 2 4. y + 2y + y = 0
3. y + y - 2y = 0
2 2 2
5. y + 6y + 9y = 0
2 2 2
6. y + 8y + 25y = 0
2 2 2
8. y - 3y + 2y = 0
2 2
7. y = 6x + 2
2 2 2
10. y - 2y + 3y = x +1
2 2 2
9. y + 2y +10y = 0
2 2 2 2 2 2
11. y + y - 2y = 4x 12. y - 4y + 4y = x2
16