Wykład XXIII
Całki podwójne po obszarze normalnym
Definicja obszaru
Obszarem D nazywamy zbiór o niepustym wnętrzu, taki że
dowolne dwa punkty z wnętrza obszaru można połączyć
łamaną zawartą w tym wnętrzu.
Przykłady obszarów:
D
D
Obszar normalny względem osi OX
Obszarem normalnym względem osi OX nazywamy
obszar D postaci:
D = {(x, y): a d" x d" b; Õ1(x)d" y d" Õ2(x)}
gdzie Õ1(x) i Õ2(x) sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi na przedziale
[a,b] oraz Õ1(x) < Õ2(x) dla każdego x"[a,b]
Przykład obszaru normalnego
Õ2(x)
względem osi OX:
Õ1(x)
x
a b
2
Obszar normalny względem osi OY
Obszarem normalnym względem osi OY nazywamy
obszar D postaci:
D = {(x, y): c d" y d" d; g1(y)d" x d" g2(y)}
gdzie g1(y) i g2(y) są funkcjami ciągłymi na przedziale [c,d]
oraz g1(y) < g2(y) dla każdego y"[c,d]
Przykład obszaru normalnego d
względem osi OY:
g1(y) g2(y)
y
c
3
Całki podwójne z funkcji po obszarach normalnych
Jeśli funkcja f(x,y) jest ciągła na obszarze normalnym D
względem osi OX, wówczas całkę podwójną z funkcji
f(x,y) określamy wzorem:
b
îÅ‚Õ (x) Å‚Å‚
2
f (x, y)dxdy = f (x, y)dyśłdx
+"+" +"ïÅ‚ +"
ïÅ‚Õ (x) śł
D a
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
Jeśli funkcja f(x,y) jest ciągła na obszarze normalnym D
względem osi OY, wówczas całkę podwójną z funkcji f(x,y)
określamy wzorem:
d
îÅ‚g (y) Å‚Å‚
2
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxśłdy
+"+" +"ïÅ‚ +"
ïÅ‚g (y) śł
D c
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
4
Przykład 1:
0 d" x d" 1
Å„Å‚
D :
òÅ‚x2
d" y d" x
Obliczyć całkę z funkcji z=2xy
ół
po obszarze D ograniczonym
y=x2 i y=x.
y=x
1 x 1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
y2 öÅ‚
÷Å‚
dx =
+"ìÅ‚ +"(2xy)dy÷Å‚dx =+"ìÅ‚2x
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚y=x2
0 0
íÅ‚ x2 Å‚Å‚
x=1
1 1
îÅ‚
y=x
x4 x6 Å‚Å‚ 1 1 1
[ ] [ ]
= xy2 dx = x3 - x5 dx =ïÅ‚ - = - =
śł
y=x2
+" +"
4 6
ïÅ‚ śłx=0 4 6 12
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0
5
Przykład 2:
1 d" y d" 2
Å„Å‚
ôÅ‚1
Obliczyć całkę z funkcji z=x2+y2
2
D :
òÅ‚
d" x d"
po obszarze D ograniczonym:
ôÅ‚
y y
ół
xy=1, xy=2 y=1, y=2.
2
ëÅ‚ öÅ‚
2
x=
ìÅ‚ ÷Å‚
y
2 2
y
ëÅ‚ öÅ‚
x3
(x2 + y2)dx÷Å‚dy = dy =
+"ìÅ‚ +" +"ìÅ‚ + y2x÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3
1 íÅ‚ Å‚Å‚x= 1
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
y
y
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
8 1 7
îÅ‚
= - yśłdy =
+"ïÅ‚3y + 2y - +"ðÅ‚3 y-3 + yÅ‚Å‚dy =
ïÅ‚ śł
3
3y3 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
y=2 y=2
îÅ‚7 y-2 îÅ‚
y2 Å‚Å‚ 7 y2 Å‚Å‚ 7 7 1 57
= + = + = - + 2 + - =
ïÅ‚ śł ïÅ‚- śł
2 24 6 2 24
6y2 2 ûÅ‚ y=1
ïÅ‚3 - 2 śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
6
y=1
Uwaga: Całkę po dowolnym obszarze obliczamy
dzielÄ…c ten obszar na obszary normalne.
Przykład 3: 0 d" x d" 2
Å„Å‚ -1 d" x d" 0 Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
D1 :
òÅ‚x
òÅ‚- x d" y d" 1 4 D2 : d" y d" 1 4
x +
x +
Obliczyć całkę z funkcji z=x+2y
ôÅ‚
ôÅ‚
ół 3 3
ół 3 3
1 4
po trójkącie o wierzchołkach:
y = x +
3 3
A(0,0), B(2,2), C(-1,1).
y=x
y=-x
Wyznaczamy proste przechodzÄ…ce przez odpowiednie
wierzchołki: AB: y=x; AC: y=-x; BC: y=ax+b. Wstawiając
punkty B i C dostajemy układ:
1 4
1
2 = 2a + b
Å„Å‚
b =1+ a = 1+ =
òÅ‚1 = -a + b Ô! 1 = 3a Ô! a = ;
-
3 3
ół
3
1 4
BC : y = x +
7
3 3
Obliczamy sumę całek:
1 4 1 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x+ x+
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 2
3 3 3 3
+"ìÅ‚ +"(x + 2y)dy÷Å‚dx + +"ìÅ‚ +"(x + 2y)dy÷Å‚dx =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-1 -x 0 x
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 1 4 2 1 4
y= x+ y= x+
3 3 3 3
[ [
= xy + y2 ] dx + xy + y2 ] dx =
y=-x y=x
+" +"
-1 0
0 2
îÅ‚1 Å‚Å‚
4 1 4
ëÅ‚ öÅ‚
= - x2 dx +
śł
+"ïÅ‚3 x2 + x + ìÅ‚ 3 x + ÷Å‚ + x2
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
-1
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
îÅ‚1 Å‚Å‚
4 1 4
ëÅ‚ öÅ‚
+ - x2 dx =
śł
+"ïÅ‚3 x2 + x + ìÅ‚ 3 x + ÷Å‚ - x2
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 8
ðÅ‚ ûÅ‚
0 2
3 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 1 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x + x +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
3 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚1 śł ïÅ‚1
= x3 + x2 + + x3 + x2 + - x3śł =
ïÅ‚9 1 śł ïÅ‚9 1 śł
3 3 3
3Å" 3Å"
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 3
ïÅ‚ śł śł0
ðÅ‚ ûÅ‚-1 ïÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
3 3
4 1 2 8 8 16 4 14
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= - - + +1öÅ‚ + + + 8 - - =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 9 3 9 3 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
9
Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Rozważmy przekształcenie:
x = Õ(u,v)
Å„Å‚
òÅ‚y = È(u,v)
ół
które odwzorowuje obszar domknięty " (w płaszczyz
nie
zmiennych u, v) na obszar regularny D (w płaszczyz
nie
zmiennych x i y). Jeżeli ponadto
1. Funkcje Õ i È sÄ… ciÄ…gÅ‚e w obszarze "
2. Funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze D
3. Odwzorowanie wnętrza obszaru " we wnętrze obszaru D
jest wzajemnie jednoznaczne
"Õ "Õ
"u "v
4. WewnÄ…trz obszaru " jakobian `" 0
"È "È
10
"u "v
Szczególnym przekształceniem jest wprowadzenie
współrzędnych biegunowych:
x = ÁcosĆ
Å„Å‚
òÅ‚
y = Ásin Ć
ół
Jakobian takiego przekształcenia wynosi:
"Õ "Õ
"Á "Ć cosĆ, - Ásin Ć
= = Ácos2 Ć + Ásin2 Ć = Á
"È "È sin Ć, ÁcosĆ
"Á "Ć
Wówczas
f (x, y)dxdy = f (ÁcosĆ,Ásin Ć)ÁdÁdĆ
+"+" +"+"
D "
11
Przykład 4:
Obliczyć całkę z funkcji z=10-x-y po kole: x2+y2d"4.
x = ÁcosĆ
Å„Å‚
òÅ‚
R=2
y = Ásin Ć
ół
y
Ä…
x
0 d" Á d" 2
Å„Å‚
" :
òÅ‚0 d" Ć d" 2Ä„
ół
2
îÅ‚2Ä„ Å‚Å‚
+"+"(10 - x - y)dxdy = +"ïÅ‚ +"Á(10 - ÁcosĆ - Ásin Ć)dĆśłdÁ =
ïÅ‚ śł
0 0 ûÅ‚
ðÅ‚
x2+ y2d"4
2 2
=
Ć=0
+"[Á(10Ć - Ásin Ć + ÁcosĆ)]Ć=2Ä„dÁ = +"Á(20Ä„ + Á - Á)dÁ =
0 0
2
[ ]
= 10Ä„ Á2 = 40Ä„
12
0
Zadania na ćwiczenia z całek podwójnych:
1. Obliczyć całkę podwójną:
4 5
ëÅ‚ öÅ‚
1.1. xydx÷Å‚dy .
+"ìÅ‚+"
ìÅ‚ ÷Å‚
0 íÅ‚ 2 Å‚Å‚
1.2.
òÅ‚1 < y < 3 .
+"+"4xydxdy , gdzie D : Å„Å‚0 < x < 2
ół
D
4x
0 < x < 1
1.3. dxdy , gdzie D :{ .
+"+"
2 < y < 4
y
D
Å„Å‚
ôÅ‚x = 0
1.4. .
+"+"(x + 2y)dxdy , gdzie D jest obszarem pomiÄ™dzy prostymi: òÅ‚y = x
ôÅ‚ -x + 4
D
óły =
Å„Å‚
ôÅ‚y = 0
1.5. .
+"+"(4x + 2y)dxdy , gdzie D jest obszarem pomiÄ™dzy prostymi: òÅ‚y = x
ôÅ‚ -x + 2
D
óły =
1.6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 1+ x + y , x = 0, y = 0 ,
z = 0 oraz x + y = 1.
13