Wykład XX
Temat: Całki niewłaściwe
b
f (x )dx
Jeżeli dla całki oznaczonej istnieje granica, gdy
+"
a
b dąży do nieskończoności, to granicę tę nazywamy całką
a,+"
niewłaściwą w przedziale i zapisujemy ją jako:
" b
f (x )dx = lim f (x )dx
+" +"
b "
a a
Przykład 1.
" b b
1 1
- 2
dx = lim dx = lim x dx =
+" +" +"
2 2
b " b "
x x
1 1 1
b
b
-1
îÅ‚ Å‚Å‚
x 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
lim = lim - = lim - + 1 = 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
b " - 1 x b
b " b "
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚ ûÅ‚
1
1
b
f (x )dx
Jeżeli dla całki oznaczonej istnieje granica,
+"
a
gdy a dąży do minus nieskończoności, to granicę tę
- ", b
nazywamy całką niewłaściwą w przedziale
i zapisujemy jÄ… jako:
b b
f (x )dx = lim f (x )dx
+" +"
a -"
- " a
Przykład 2.
1 1
1
x x x 1 a
e dx = lim e dx = lim [e ] = lim (e - e )
a
+" +"
a -" a -" a -"
- " a
1
ëÅ‚ öÅ‚
lim e - = e - 0 = e
ìÅ‚ ÷Å‚
- a
a -"
íÅ‚ e Å‚Å‚
"
2
Ostatecznie, całkę niewłaściwą w przedziale
(- ", "
)
definiujemy za pomocą dwóch powyższych całek, a
mianowicie
" c "
f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx =
+" +" +"
- " - " c
c b
lim f (x )dx + lim f (x )dx
+" +"
a -" b "
a c
gdzie c jest dowolną liczbą z przedziału .
(- ", "
)
3
Inny rodzaj całek niewłaściwych stanowią całki w
przedziale obejmującym punkt nieciągłości funkcji
podcałkowej. Oznaczmy punkt nieciągłości funkcji f(x)
x0 " a, b
przez , wówczas
x - µ
b b
ëÅ‚ öÅ‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
f (x )dx = lim f (x )dx + f (x )dx
+" +" +"
+ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
µ 0
a a x + µ
íÅ‚ 0 Å‚Å‚
Przykład 3.
1
1
îÅ‚ Å‚Å‚
-
3
1 1
2
-
ïÅ‚ śł
dx x
2
= lim x dx = lim =
ïÅ‚ śł
+" +"
+ +
1
x x µ 0 µ 0
ïÅ‚ śł
0 µ -
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
µ
1
îÅ‚ 1 Å‚Å‚ ëÅ‚ 1 öÅ‚
- 2 lim = - 2 lim 1 - = "
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
+ +
µ 0 x µ 0 µ
ðÅ‚ ûÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
µ
0+
4
Przykład 4.
9 1- µ 9
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
dx = lim dx + dx =
+" +" +"
3 3 3
+
ìÅ‚ ÷Å‚
x - 1 µ 0 x - 1 x - 1
0 íÅ‚ 0 1+ µ Å‚Å‚
1- µ 9
ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
lim (x - 1)- dx + (x - 1)- dx =
3 3
+" +"
+
ìÅ‚ ÷Å‚
µ 0
íÅ‚ 0 1+ µ Å‚Å‚
1- µ 9
ëÅ‚ öÅ‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
(x - 1) (x - 1)
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
lim +
+ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
µ 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
0 1+ µ
íÅ‚ Å‚Å‚
1- µ 9
ëÅ‚ öÅ‚
3
îÅ‚ îÅ‚
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
lim (x - 1)2 Å‚Å‚ + (x - 1)2 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł1+ µ =
µ 0 ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2
0
íÅ‚ Å‚Å‚
3
ëÅ‚
3 3 3 3
lim (1 - µ - 1)2 - (- 1)2 + (9 - 1)2 - (1 + µ - 1)2 öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
+
2 íÅ‚ Å‚Å‚
µ 0
3 9
(0 - 1 + 4 - 0 ) =
2 2
5
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej w
przedziale nieskończonym
2
Przykład 5. Obliczyć pole zawarte pomiędzy funkcją
y = xe-x
"
2
a osiÄ… OX.
S = 2 xe-x dx
+"
0
Liczymy najpierw całkę nieoznaczoną
podstawiamy
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
- x2 = u
2
ôÅ‚ ôÅ‚
xe-x dx = =
òÅ‚ - 2xdx = du żł
+"
1
ôÅ‚ ôÅ‚
xdx = - du
ôÅ‚ ôÅ‚
ół 2 þÅ‚
2
1 1 1
u
-
+"e du = - eu + c = - e-x + c
2 2 2
6
A zatem
" b
b
1
öÅ‚
-x2 -x2 -x2
S = 2
ìÅ‚
+"xe dx= 2 lim+"xe dx= 2ëÅ‚- ÷Å‚ lim îÅ‚e Å‚Å‚ =
ïÅ‚ śł0
b" b" ðÅ‚ ûÅ‚
2Å‚Å‚
íÅ‚
0 0
ëÅ‚ öÅ‚
1
-b2
ëÅ‚e
ìÅ‚
= - lim -e0öÅ‚ = - lim -1÷Å‚ =1
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
b" íÅ‚ Å‚Å‚ b"
eb
íÅ‚ Å‚Å‚
7
Obliczanie długości łuku oraz pola
powierzchni i objętości brył obrotowych
1. Długość łuku
Jeżeli krzywa opisana jest równaniem postaci y=f(x), przy
czym funkcja f(x) jest ciągła w przedziale , wówczas
długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
b
2
L = 1+(y )2 dx
+"
a
8
Przykład 6. Obliczyć długość łuku y=2Ę%x w przedziale 11
2
9 y = 2 x = 2 x
2
L = 1 + (y )2 dx =
1
+"
-
1 1
1 2
2
y = 2 Å" x =
2
x
1
2
(y )2 =
x
podstawiamy
9
10
1
1
3
L = 1 + dx =
2
+" 2 t
1 + = t
x
= - t Å" dt
1
x
+"
2
2
(t - 1)
2
1
2
= t - 1
x
1
x =
2
t - 1
- 2 t
dx = dt
2
2
(t - 1)
9
10
3
2 t
L = - t Å" dt =
+"
2
2
(t - 1)
2
Całkujemy przez części
2 t
podstawiamy
2
f (t ) = t g (t ) =
2
2
(t - 1)
2
t - 1 = u
2 t
2
f (t ) = 1 g (t ) = dt
+"
2
2 tdt = du
2
(t - 1)
- 1
1 u 1 1
- 2
g (t ) = du = u du = = - = -
+" +"
2 2
- 1 u
u t - 1
10
10
3
t 3 1
L = - dt =
+"
2 2
t - 1 t - 1
2
2
10
10
10
3
t 3 1
L = - dt =
+"
2 2
t - 1 t - 1
2
2
1 A B At + A + Bt - B
= + =
2
t - 1 t + 1 (t - 1)(t + 1)
t - 1
1 1
A + B = 0
Ò! A = ; B = -
A - B = 1
2 2
10 10
t 3 1 t + 1 3
L = + ln =
2
2 t - 1
t - 1
2 2
10
ëÅ‚ öÅ‚
2 1 10 + 3 2 + 1
3
ìÅ‚ ÷Å‚
- + ln - ln =
ìÅ‚ ÷Å‚
1
1 2
10 - 3 2 - 1
íÅ‚ Å‚Å‚
9
1 19 + 6 10
= 3 10 - 2 - ln
11
2
3 + 2 2
U
F
F
F
F
2. Objętość bryły powstałej z obrotu funkcji
y=f(x) dookoła dowolnej osi
Objętość bryły powstałej z obrotu ciągłej funkcji opisanej
równaniem y=f(x), dookoła osi OX w przedziale
wyraża się wzorem:
y=f(x)
b
2
V = Ä„
+"y dx
a
a b
12
3. Pole powierzchni bryły powstałej z obrotu
funkcji y=f(x) dookoła osi OX
Pole powierzchni bryły powstałej z obrotu ciągłej funkcji
opisanej równaniem y=f(x), dookoła osi OX w przedziale
wyraża się wzorem:
b
S = 2Ä„
+"y 1+(y2 )2 dx
a
UWAGA: Funkcja może być także obracana względem osi
OY. Wówczas objętość i pole powierzchni brył obrotowych
wyrażają się tymi samymi wzorami, w których zamienia się
miejscami zmienne x oraz y.
13
Przykład 7.
Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej z
obrotu funkcji
3y = x3, 0d" x d"1
1
ëÅ‚
2
y = x3 Ò! y = x2öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Liczymy objętość:
3
íÅ‚ Å‚Å‚
1
b 1
1 1 x7 1
V = Ä„ = Ä„
+"y2 dx= Ä„+"x6 dx= Ä„
9 9 7 63
a 0
podstawiamy
0
Liczymy pole powierzchni:
4
1 + x = u
b 1
2
3 3
S = 2Ä„
+"y 1+(y2 )2 dx= Ä„+"x 1+ x4 dx= 4 x dx = du
1
3
3
x dx = du
a 0
4
2
3
2
2
1 1 u2 1 1
= Ä„ u du= Ä„ = Ä„[u u] = Ä„(2 2 -1)
1
+"
3
6 6 9 9
1
2
14
1
Zadania na ćwiczenia
1. Obliczyć całki niewłaściwe:
4
"
" "
1
1
1
-x
dx
c)
a) dx
+"
+"2x +4dx d)
2
+"e dx b) +"
x x
x2
0
1
0 3
2. Obliczyć długości łuków funkcji
b) y = 2 3 x, 0d" x d"1
a) 9y2 = 2x3, 0d" x d" 2
3
2
1
c) y = (x-1) ,1d" x d" 4
3
15
3. Obliczyć objętości i pola powierzchni brył
powstałych z obrotu funkcji
1
a) y = 2x3, 0d" x d"1 b) y = , 2d" x d" 4
x-1
1
c) y = , 2d" x d" 4
d) 3y2 = 4x, 0d" x d"1
x2 -1
16