Wykład XXIV
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu
pierwszego o rozdzielonych zmiennych
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego
nazywamy równanie postaci:
2
F(x, y, y )= 0,
(*)
w którym y' występuje koniecznie, natomiast pozostałe
argumenty, tzn. x lub y mogą wystąpić lub nie.
dy
Zamiast y' możemy również pisać
dx
Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego (*)
nazywamy każdÄ… funkcjÄ™ y=Õ(x), która speÅ‚nia to równanie
dla każdej wartości x z pewnego przedziału.
Krzywą całkową równania (*) nazywamy wykres każdej
funkcji, która jest rozwiązaniem równania.
Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania (*)
nazywamy każdą taką funkcję postaci:
y=È(x;C)
która dla każdej wartości C z pewnego przedziału jest
rozwiÄ…zaniem (*).
Rozwiązanie szczególne (całkę szczególną) równania (*)
otrzymujemy wstawiajÄ…c do funkcji y=È(x;C) pewnÄ…
wartość C .
2
Przykład 1:
Rozwiązać równanie różniczkowe y'=4y .
Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest funkcja:
y = Ce4x
Rozwiązaniami szczególnymi są np.
y = 4e4x, gdy C = 4
y = 0, gdy C = 0
y = -5e4x, gdy C = -5
y = 6e4x, gdy C = 6
3
Przykład 2 (Oktaba, 1980):
Opisać pęk okręgów stycznych do osi OX w punkcie (0,0).
Każdy okrąg ma środek w punkcie (0,r) i promień r .
Równanie okręgu ma wówczas postać:
P(x,y)
r
x2 + (y - r)2 = r2
S(0,r)
Równanie to można zapisać jako:
x2 + y2 - 2ry = 0
Przedstawmy y jako funkcjÄ™ zmiennej x.
Wówczas
x2 + y2(x)- 2ry(x)= 0
4
Różniczkując równanie po x:
x2 + y2(x)- 2ry(x)= 0
dy
2x + 2y(x)dy - 2r = 0
otrzymujemy:
dx dx
2
x + y (y - r)= 0
które jest równoważne
i zależy od promienia r. Wyznaczmy ten promień z
równania okręgu. Mianowicie
x2 + y2
r =
2y
Wstawiając r do równania różniczkowego otrzymujemy
ëÅ‚
x2 + y2 öÅ‚
÷Å‚
2 ìÅ‚
x + y y - = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2y
íÅ‚ Å‚Å‚
5
ëÅ‚
Równanie
x2 + y2 öÅ‚
÷Å‚
2 ìÅ‚
x + y y - = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2y
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
można zapisać jako
dy y2 - x2 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x + = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
dx 2y
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostatecznie otrzymujemy równanie różniczkowe postaci
dy 2xy
=
dx
x2 - y2
Można zatem powiedzieć, że krzywą całkową powyższego
równania jest okrąg styczny do osi OX w punkcie (0,0).
6
Równaniem różniczkowe o rozdzielonych
zmiennych
Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych
nazywamy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego
rzędu postaci:
2
p(y)dy = q(x)
p(y)y = q(x)
dx
gdzie p(y) oraz q(x) są funkcjami ciągłymi dla acPowyższe równanie jest także równoważne równaniu:
dx
p(y)= q(x)
dy
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
sprowadzamy do postaci:
p(y)dy = q(x)dx
Rozwiązujemy równanie:
p(y)dy =
+" +"q(x)dx
7
Przykład 3:
dy
cos y = sin x
Rozwiązać równanie różniczkowe:
dx
Rozdzielamy zmienne x i y uzyskujÄ…c:
cos ydy = sin xdx
Całkujemy równanie:
+"cos ydy = +"sin xdx
Uzyskujemy rozwiÄ…zanie:
sin y = - cos x + C
Zatem rozwiÄ…zaniem
równania jest funkcja:
y = arcsin(C - cos x)
8
Zadania na ćwiczenia
Rozwiązać równania różniczkowe o zmiennych
rozdzielonych:
2
1. y = 2x(y +1)
2x
2
2. (1+ x2)y =
y
2
3. sin x Å" y = 4y cos x
2
4. (1+ x2)y = 2x(1+ y2)
2xy
2
5. y =
x2 - 4
2
6. y - xy = 2x
9