Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Model von Neumanna c.d.
Ćwiczenia + uwagi o modelu dynamicznym.
Rozważamy m procesów technologicznych nazywanych
bazowymi. Procesy numerujemy liczbami: 1,2,...,m.
j-ty bazowy proces technologiczny jest opisany parą n -
wymiarowych wektorów.
aj= (aj1,aj2,...,ajn)----wektor nakładów, ajił�0
bj= (bj1,bj2,...,bjn)----wektor wyników bjił�0.
Przy intensywności x= (0,0,...,0,1,0,...,0) - jedynka na j-tym
miejscu - zużycie opisane jest wektorem (aj1,aj2,...,ajn) a
produkcja wektorem (bj1,bj2,...,bjn).
Wygodnie jest opisać wszystkie procesy bazowe za pomocą pary
macierzy:
a1 a11 a12 . . a1n
�� ł� �� ł�
ę�a ś� ę�a a22 . . a2n ś�
2 21
ę� ś� ę� ś�
A =� ę� . ś� =� ę� . . . . . ś� - macierz nakładów
ę� ś� ę� ś�
. . . . . .
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
am2 . . amn ��
��am�� ��am1
b1 b11 b12 . . b1n
�� ł� �� ł�
ę�b ś� ę�b b22 . . b2n ś�
2 21
ę� ś� ę� ś�
B =� ę� . ś� =� ę� . . . . . ś� - macierz wyników (produkcji)
ę� ś� ę� ś�
. . . . . .
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
bm2 . . bmn ��
��bm�� ��bm1
39
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
W macierzach może występować wiele zer.
Zakłada się, że:
Każdy wiersz macierzy nakładów (A) zawiera element dodatni
Każda kolumna macierzy wyników (B) zawiera element dodatni.
Przypuśćmy teraz, że poszczególne bazowe technologie
zostały użyte z intensywnościami odpowiednio x1 ,x2 ,...xm .
Wektor x = (x1 ,x2 ,...,xm) jest wektorem - wierszem opisującym
intensywności. Przy intensywnościach wyrażonych przez x
mamy następujące łączne nakłady czynników:
(*) (x1a11+...+ xmam1, x1a12+...+ xmam2,..., x1a1n+...+ xmamn)= x A,
�� nakład 1 czynnika, �� nakład 2 czynnika, ,�� nakład n-tego czynnika �� inny zapis
natomiast łączne wyniki produkcji wynoszą:
(**) (x1b11+...+ xmbm1, x1b12+...+ xmbm2,..., x1b1n+...+ xmbmn)= x B
�� 1 produkt, �� 2 produkt, �� n-ty produkt, �� inny zapis
Przykład 1.
0.75 1 1 1
�� ł� �� ł�
, B=
A=ę�
ę�2 2ś� .
2 1.5ś�
�� �� �� ��
xA=(0.75x1+2x2, x1+1.5x2) = wektor nakładów,
xB=(x1+2x2, x1+2x2) = wektor produkcji.
Przypominamy. Wskaz
nikiem technologicznej efektywności
wytwarzania i-tego towaru przy intensywności produkcji x=(x1 ,x2
,...,xm) nazywamy liczbę
40
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
(xB)i
��
��(xA) , gdy (xA)i >� 0,
i
��
��+� Ą�, gdy (xA)i =� 0, (xB)i >� 0,
a�i(x) =�
��
��nieokreśiena, gdy (xA)i =� (xB)i =� 0
��
��
��
W Przykładzie 1 przy wektorze intensywności x 0, x
mamy:
(xB)1 x1 +� 2x2
a�1(x) =� =� ,
(xA)1 0.75x1 +� 2x2
(xB)2 x1 +� 2x2
a�2(x) =� =�
(xA)2 x1 +� 1.5x2
(II) Wskaz
nikiem technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopą produkcji) przy intensywności
produkcji x=(x1 ,x2 ,...,xm) nazywamy liczbę a�(x) =� min a�i(x)
i
Innymi słowy przy x 0
a�(x) =� max{a� : a�xA Ł� xB}
W Przykładzie 1 przy x 0, x mamy:
x1 +� 2x2 x1 +� 2x2
a�(x) =� min a�i(x)=min( , );
i
0.75x1 +� 2x2 x1 +� 1.5x2
Niech x=(2,0)
2 2
a�(2,0) =� min a�i(2,0) =� min( , ) =� 1
i
1.5 2
Zauważmy, że
�� a���1.5 Ł� 2 ��
�� ��
a�(2,0) =� 1=� max��a� :
�� ż�ż�
��a� �� 2 Ł� 2 ��
�� ��
41
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
(III) Optymalnym wskaz
nikiem technologicznej
efektywności w modelu (optymalną stopą produkcji)
nazywamy liczbę a�opt =� max a�(x).
xł�0
Wektor intensywności x dla którego a�opt =� a�(x) nazywa się
optymalnym wektorem intensywności w modelu. Optymalny wektor
intensywności jest określony z dokładnością do struktury ( z
dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią).
4
Zauważmy, że w Przykładzie 1, a�opt =� a�(2,1) =�
3.5
Efektywność ekonomiczna.
Niech pi oznacza cenę rynkową i-tego towaru.
(x B)1p1 + (x B)2p2+...+(x B)npn = wartość produkcji przy intensywności
x=(x1 ,x2 ,...,xm). W zapisie macierzowym przy traktowaniu
wektora cen jako kolumnę wartość tę wyraża się krótko: xBp.
(xA)1p1 + (xA)2p2+...+(x A)npn = wartość nakładu przy intensywności
x=(x1 ,x2 ,...,xm). W zapisie macierzowym przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę wartość tę wyraża się krótko: xAp.
Powrót do Przykładu 1.
xA=(0.75x1+2x2, x1+1.5x2) = wektor nakładów,
xB=(x1+2x2, x1+2x2) = wektor produkcji.
Zatem
(x B)1p1 + (x B)2p2=(x1+2x2 )p1 + (x1+2x2)p2= wartość produkcji
przy intensywności x=(x1 ,x2); xBp = (x1+2x2 )p1 + (x1+2x2)p2
42
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
(xA)1p1 + (xA)2p2 = (0.75x1+2x2)p1 + (x1+1.5x2)p2 wartość
nakładu przy intensywności x=(x1,x2); xAp = (0.75x1+2x2)p1+
(x1+1.5x2)p2
Wskaz
nikiem ekonomicznej efektywności (stopą dochodu )
przy intensywnościach x i cenach p nazywamy liczbę
xBp
��
��xAp , gdy xAp >� 0
��
��
b�(x,p) =�
��Ą� gdy xAp =� 0, xBp >� 0,
��nieokr. gdy xAp =� 0, xBp =� 0.
��
��
��
W Przykładzie 1 wskaz
nik efektywności ekonomicznej dla x= (2,1) i
4 +� 4 8
pT =(1,1) wynosi : b�((2,1),(1,1)) =� =�
3.5 +� 3.5 7
Warunki równowagi w modelu von Neumanna.
~ ~
Definicja. O wektorze intensywności x 0, x , i wektorze
~ ~
cen p 0, p oraz liczbie a� >� 0mówimy, że charakteryzuje
gospodarkę w równowadze von Neumanna, jeżeli spełniają
następujące warunki:
~B,
(I) a�~A Ł� x
x
p p
(II) dla każdego xł� 0, xB~ Ł� a�xA~,
~B~
(III) x p >� 0.��
43
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
~
Wektor x nazywamy wektorem intensywności procesów
~
technologicznych w równowadze, wektor cen p nazywa się wektorem
p p
cen w równowadze. Warunek (II) jest równoważny (II) B~ Ł� a�A~
W Przykładzie 1. warunki równowagi opisane są układem
nierówności:
a�(0.75x1 +� 2x2) Ł� x1 +� 2x2
a�(x1 +� 1.5x2) Ł� x1 +� 2x2
p1 +� p2 Ł� a�(0.75p1 +� p2)
2p1 +� 2p2 Ł� a�(2p1 +� 1.5p2)
xBp = (x1+2x2 )p1 + (x1+2x2)p2 > 0.
4
~1 ~1 ~2 ~2
Zauważmy, że :a� =� , x =� 2, p =� 1, x =� p =� 1 - spełniają
3.5
ten układ. Zauważmy także, iż - zgodnie z wnioskami
wynikającymi z definicji równowagi - w stanie równowagi
4 8
a� =� a�(2,1) =� b�((2,1),(1,1)) =� =� .
3.5 7
tzn. wskaz
nik technicznej efektywności = wskaz
nikowi
ekonomicznej efektywności = poziomowi równowagi.
Model dynamiczny
Załóżmy, że w kolejnych okresach t=0,1,2, ,t1 produkcja
odbywa się z intensywnościami opisanymi ciągiem wektorów
x(t)=(x1(t),x2(t),...,xn(t)). W poszczególnych okresach ceny
opisane są ciągiem wektorów kolumnowych p(t)= (p1(t),...,pn(t))T
44
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Zakładamy, że w żadnym okresie wektor nakładów nie może
być większy od wektora wyników z poprzedniego okresu.
Oznacza to, że
a) x(t+1)AŁ� x(t)B, t=0,1,...,t1-1
a ponadto zakładamy, że
b) x(t)ł� 0, t=0,1,...,t1
c) x(0)=x0 0, x0 - stan początkowy
1
Ciąg intensywności {x(t)}t=�0 spełniający warunki a)  c) nazywa
t
się dopuszczalną trajektorią intensywności a odpowiednie ciągi
{x(t)A} i {x(t)B} dopuszczalnymi ciągami nakładów i wyników.
Trajektorie równomiernego wzrostu (stacjonarne)
1
Dopuszczalną trajektorię intensywności {x(t)}t=�0 nazywamy
t
stacjonarną jeśli ma następującą postać:
x(t) = g�tx0, t =� 0,1,2,..., t1. gdzie g� >� 0.
Współczynnik g� nazywa się współczynnikiem wzrostu
gospodarczego.
Wniosek z warunku a). Stacjonarna trajektoria intensywności z
tempem wzrostu g� istnieje wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest
warunek:
g� x0A Ł� x0B
45
Ekonomia matematyczna. Wykład14b R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Trajektorie nakładów i wyników odpowiadające stacjonarnej
trajektorii x(t) = g�tx0, t =� 0,1,2,..., t1 mają postać
t
g� x0A, t =� 0,1,2,..., t1. g�t x0B, t =� 0,1,2,...,t1 -�1.
Zauważmy, że g� =1 charakteryzuje stagnację, g� >� 1
równomierny wzrost gospodarczy a g� <� 1 zamieranie
działalności gospodarczej.
Pytanie. Czy istnieje stacjonarna trajektoria z maksymalnym
tempem wzrostu?
Twierdzenie. W modelu von Neumana istnieją stacjonarne
trajektorie z tempem wzrostu g� =� a�opt , które jest najwyższym
możliwym wzrostem tej gospodarki.
Stacjonarną trajektorię intensywności z tempem g� =� a�opt
nazywamy optymalną stacjonarną trajektorią
intensywności.
~
Ważna uwaga. Jeżeli x (t)= (a�opt )t ~0 jest optymalna to dla
x
każdego l� >� 0, trajektoria
~(t) =� (a�opt )tl�~o =� l�(a�opt )t ~0 =� l�~(t) jest także optymalna.
~
x x x x
Półprostą
x
N = {l�~ : l� >� 0}
~
gdzie x jest dowolnym wektorem intensywności w optymalnym
stacjonarnym procesie wzrostu , nazywamy magistralą
intensywności w modelu von Neumanna.
46