R.Rempała . Materiały dydaktyczne.
Wykłady 3-4. a) c.d. Wykładu 2, funkcja użyteczności,
krańcowa stopa substytucji, użyteczność krańcowa,
optymalne wybory.
Ad. a)
1. Zajmowaliśmy się relacją słabej preferencji ( ). Jest to
relacja określona w zbiorze konsumpcyjnym Z, która ma
trzy własności, jest zwrotna, przechodnia i zupełna.
Ekonomiści uważają, że taka relacja dobrze opisuje
upodobania konsumentów w odniesieniu do koszyków ze
zbioru Z. Przechodniośd i zwrotnośd oznaczają
niesprzecznośd gustów konsument , (tzn. (x y y z)
( x z), oraz, że x ). Zupełność oznacza, iż dla
dowolnej pary koszyków (x,y) Z, konsument potrafi wyrazić
swoje upodobanie (x y y x) .
2. Relacja słabej preferencji (dla uproszczenia wygodnie jest
słabą preferencję nazywać krótko preferencją), w naturalny
sposób wyznacza dwie inne relację: indyferencji ( x ~ y
x y y x) i ścisłej (silnej) preferencji. (x f� y x y
y x); y x oznacza: nie prawda, że y x.
301
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
3. Można pokazać, że relacja indyferencji jest relacją
równoważności (tzn. jest zwrotna symetryczna i
przechodnia). Z zasady abstrakcji (znana w matematyce
własność relacji równoważności) wynika, że zbiór Z rozpada
się na rozłączne podzbiory. Podzbiorami są klasy
równoważności relacji indyferencji).
W przypadku 2-wymiarowych koszyków podzbiory te nazywają
się krzywymi obojętności. Uzasadnialiśmy, że dwie różne
krzywe obojętności nie mogą się przecinać. Między koszykami
na różnych krzywych mamy zatem ścisłe relacje. Można
powiedzieć, że krzywe prezentują różne poziomy
preferencji.
f� lub p�
4. Wprowadziliśmy pojęcie wypukłości relacji ścisłej wypukłości
oraz monotoniczności. Dla relacji monotonicznych i ściśle
wypukłych mamy następujący rysunkowy opis relacji
Koszyki lepsze niż a. Zbiór F(a)={x; x }
a
jest wypukły. Krzywe indyferencji nie
mogą mieć  płaskich miejsc .
Krzywe obojętności
302
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Koszyki lepsze niż a. Zbiór
F(a)={x; x } jest wypukły.
Relacja jest wypukła ale nie
jest ściśle wypukła.
a
Rys. Rysunek przedstawia relację, która jest wypukła, ale nie jest ściśle
wypukła. Krzywe obojętności mogą mieć płaskie fragmenty.
Koszyki optymalne
Zauważmy, że w przypadku relacji zaznaczonych na rysunku
koszyk optymalny znajduje się w zbiorze budżetowym na
 najwyższej krzywej obojętności.
Rys. Przykłady wyznaczania koszyków optymalnych.
303
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Przykład rachunkowy.
+�
Zb={x=(x1,x2)��R2: x1 + x2 Ł� d}, p1=p2=1.
+�
Zbiór konsumpcyjny Z =R2
Relacja preferencji jest określona następująco:
x y �� a1x1+a2x2 y1+a2y2, a1,a2  stałe dodatnie
ł� a1
def
Zadanie. 1) Wyznaczyć rodzinę krzywych obojętności. 2) Czy relacja jest
monotoniczna? 3) Czy relacja jest wypukła? 4) Czy relacja jest ściśle wypukła?
5) Wyznaczyć koszyki optymalne w Zb.
x ~ y ��gdy x y i y x �� a1x1+a2x2 = a1y1+a2y2
Ad 1. Krzywe obojętności: {x=(x1,x2): a1x1+a2x2 = s}, s>0.
x2
s/a2
s/a1 x1
Rys. Dobra są substytutami. Konsument skłonny jest zamienić jedno na drugie
według stałej stopy.
Zauważmy, że preferencje rosną przy oddalaniu koszyków od początku układu.
Ad 2)-4). Relacja jest monotoniczna i wypukła. Nie jest ściśle wypukła.
Ad 5) Koszyki optymalne leżą na tej krzywej obojętności, która jest
najbardziej odległej od środka układu i ma niepuste przecięcie ze
zbiorem budżetowym Zb.
Rys.I a1/a2 <1 x2
optimum x= (0,d)
304
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Rys.II...a1/a2 > 1 x2
optimum x = (d,0)
x1
x2
Ź�optimum
RysIII. a1/a2 = 1
d x1
Optymalne są wszystkie koszyki z odcinka łączącego (0,d) z (d,0).
Założenie. W dalszych rozważaniach będziemy przyjmowali, że zbiór
konsumpcyjny Z= Rm
+�
Uwaga . W przypadku relacji monotonicznej koszyki optymalne znajdują
się na hiperpłaszczyz
nie budżetowej. ( Dla m=2 na linii budżetowej.)
Zadania. Zestaw 2 podany jest na ostatniej stronie.
UŻYTECZNOŚĆ
Funkcja użyteczności jest liczbową charakterystyką
relacji preferencji.
+�
Def. u : Rm �� R jest funkcją użyteczności jeśli dla
+�
dowolnej pary koszyków x,y��Rm spełnia warunki:
1. u(x) > u(y) ��x f� y
305
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
2. u(x) = u(y) �� x ~ y
Wniosek. Ponieważ x y��x~ y lub x f� y, to z definicji
wynika, że u(x)ł�u(y) �� x y.
Wartość u(x) nazywa się użytecznością koszyka x.
{y: u(y)=u(x)}  koszyki obojętne względem x,
{y: u(y)>u(x)}  koszyki lepsze niż x,
{y: u(y)ł�u(x)}  koszyki nie gorsze niż x.
Funkcja u oddaje kierunek wzrostu preferencji.- inna
nazwa  użyteczność porządkowa.
Użyteczność porządkową można opisać na wiele
sposobów, np.:
x p� y p� z
u1 : 1 2 3
u2 : 7 8 9
u3 : -2 -1 0
~ ~
Def. Niech R �� R Funkcja (transformacja) f : R �� R
~
nazywa się monotonicznie rosnąca na R jeśli spełnia
warunek:
~
(u1, u2,��R, u1 > u2 ) �� f(u1) > f(u2)
Ważna własność użyteczności.
306
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Jeśli funkcja u jest użytecznością, a funkcja f jest
monotonicznie rosnąca na zbiorze wartości u to nowa
funkcja v(x)= f(u(x)) jest też funkcją użytecznością
opisującą tę samą relację preferencji, którą opisywała u.
Innymi słowy: monotonicznie rosnąca transformacja funkcji
użyteczności jest znowu funkcją użyteczności.
Konstrukcja funkcji użyteczności, m=2.
Wykorzystuje się następujące własności:
ż� Funkcja użyteczności na krzywych obojętności jest
stała.
ż� Różnym krzywym przypisuje różne wartości.
ż� Krzywe bardziej preferowane otrzymują większe
wartości.
Przypadek preferencji monotonicznych
x1=x2
a
a
Rys.Krzywe obojętności przecinają prostą : x2=x1.
Z monotoniczności relacji wynika, że punkt przecięcia jest jedyny.Niech
=�
Ka={x=(x1,x2) : (x1,x2) ~ (a,a)}, a>0.u(x)def a 2 dla x��Ka
307
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Wyznaczanie krzywych obojętności przy znanej
użyteczności u(x)
Krzywa obojętności = {x : u(x)= const.}
Przykład: u(x1,x2)=x1 x2
Rodzina krzywych obojętności {x: x1x2 = s} sł� 0.
Uwaga. Funkcja v(x1,x2) = x12x22 opisuje tę samą relację bo
v(x)=(u(x))2. Funkcja kwadratowa na R+ jest ściśle rosnąca (�� ).
Optymalny wybór
W języku funkcji użyteczności: optymalny wybór to koszyk x
o maksymalnej użyteczności w zbiorze budżetowym;
Innymi słowy: optymalny wybór to taki koszyk, którego
użyteczność jest nie mniejsza niż użyteczność każdego innego
koszyka ze zbioru budżetowego (tzn. u( x)ł�u(x)).
Poszukiwanie x
Problem: Znalez
ć koszyk x rozwiązujący następujący problem
optymalizacyjny
u(x) ��
max
x��Zb
Innymi słowy:
u(x) �� max
przy warunkach ograniczającychp1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm Ł� d,
x1 x2 , xm
ł� 0, ł� 0,. ... ł� 0,
gdzie p1, p2, ...,pm  ceny, d  dochód.
Terminologia
308
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
�� u(x)  funkcja celu,
�� zbiór rozwiązań dopuszczalnych - zbiór koszyków
spełniających warunki ograniczające,
��w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych poszukujemy
koszyka, który maksymalizuje funkcję celu.
Uwaga. a) W przypadku relacji monotonicznej koszyki optymalne
znajdują się na hiperpłaszczyz
nie budżetowej. ( Dla m=2 na linii
budżetowej; por. Rys. )
x
.
Wniosek. w przypadku relacji monotonicznych zbiór rozwiązań
dopuszczalnych wystarczy ograniczyć do tych koszyków, które spełniają
warunki: p1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm =� d,
x1 x2 , xm
ł� 0, ł� 0,. ... ł� 0.
Przykład. u(x1,x2)=x1x2 �� max,
x1 + x2 = 2, 1
.
x1
ł� 0, x2ł� 0,
Rozwiązanie: x=(1,1) 1
Rys. W punkcie optymalnego wyboru krzywa obojętności jest styczna
do linii budżetu. Innymi słowy: nachylenie stycznej = nachylenie linii
budżetu.
Warunek konieczny optymalnego wyboru. Jeśli koszyk
optymalny jest punktem wewnętrznym linii budżetu ( tzn. obie współrzędne są
309
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
dodatnie), to w przypadku relacji monotonicznej ( i przy krzywych
obojętności opisanych funkcją różniczkowalną) w punkcie tym nachylenie
krzywej obojętności = nachyleniu linii budżetu.
Wynika to z faktu, że krzywa obojętności, w punkcie optymalnego wyboru, nie
może przecinać linii budżetu.
Uwaga. a) Warunek ten nie musi być spełniony w przypadku optimum
brzegowego oraz w przy braku regularności krzywych obojętności.
b) Warunek ten nie jest warunkiem wystarczającym.
c) W dalszym toku wykładu będziemy badali dokładniej warunki
konieczne i dostateczne optymalnego wyboru koszyka.
Krańcowa stopa substytucji (KSS) przy m=2
Rozważmy przypadek, w którym krzywa obojętności daje się
zapisać za pomocą różniczkowalnej funkcji x2=g(x1). Krańcowa
stopa substytucji dobra pierwszego przez drugie w punkcie
(x1,x2) (KSS)1,2(x1,x2 ) w przypadku m=2 jest pochodną funkcji
g(x1).
X2
.
x1
D�x2
- wyraża nachylenie siecznej.
D�x1
310
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
D�x2
lim - wyraża nachylenie stycznej w punkcie (x1,x2).
D�x
��0
D�x1
1
KSS1,2 opisuje krańcową stopę według, której konsument
zamieni dobro 1 na dobro 2.
Za marginalną ilość D�x1  jesteśmy skłonni płacić drugim
dobrem - D�x2 �KSS1,2 ��D�x1
Nie mylić z ceną! Cena  to co musimy zapłacić. Ile mamy ochotę
zapłacić zależy od preferencji.
Wniosek. Warunek konieczny optymalnego wyboru oznacza,
że w punkcie optymalnego wyboru ( przy optimum wewnętrzny i
przy regularnych krzywych obojętności) KSS1,2=-p1/p2
Przykład. Wyznaczanie KSS
Niech u(x1,x2) = x1x2
Krzywa obojętności (KO) = {x : x1x2=s}, s  stała.
x2 = s/x1. , g(x1)=s/x1,
D�x2
2
= g'(x1) = -s/x1 = KSS1,2(x1,x2) na krzywej z
D�x1
parametrem s.
Zadanie. Znalez
ć KSS1,2 dobra pierwszego przez drugie w koszyku
(x1,x2) = (1,2).
Rozwiązanie. Koszyk (1,2) znajduje się na krzywej z
parametrem s = 2
311
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
2
KSS1,2= -s/x1 =- 2/1=-2.
Użyteczne pojęcia matematyczne.
1. Ciągłość funkcji.
Funkcja u:Rm �� R jest ciągła w punkcie x=(x1,x2,...,xm) jeżeli dla
+�
każdego ciągu {xn}, xn ��Rm
+�
jeśli xn ��x to u(xn) �� u(x)
(Przypominamy xn ��x ��d(xn,x) ��0, d oznacza odległość.)
Funkcja u:Rm �� R jest ciągła na Rm jeśli jest ciągła w każdym
+� +�
punkcie x��Rm.
+�
2. Funkcje wklęsłe.
Funkcję u:Rm �� R nazywamy wklęsłą na Rm jeśli dla każdego
+� +�
l� ��[0,1] i każdej pary punktów x,y ��Rm spełniony jest warunek (*)
+�
(*) u(l�x + (1-l�)y) ł� l�u(x) +(1-l�)u(y)
3.Funkcje silnie (ściśle) wklęsłe
Jeżeli w poprzedniej definicji warunek (*) spełniony jest z ostrą
nierównością dla l���(0,1), to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą.
(Por. Rysunek dla u: R �� R ).
312
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
4 Rosnące użyteczności.
m
Funkcja użyteczności nazywa się rosnąca na R jeśli dla dowolnej pary
+�
koszyków x,y prawdziwy jest warunek:
x ą� y x ł� y �� u(x) > u(y),
co oznacza, że : jeśli x1ł�y1,...,xmł�ym i co najmniej jedna z
nierówności jest ostra to u(x) > u(y)
Związek rosnących funkcji użyteczności z relacjami
monotonicznymi.
Wniosek z definicji. Jeżeli funkcja użyteczności jest rosnąca to
relacja użyteczności, którą ta funkcja opisuje jest monotoniczna.
Związek wklęsłych użyteczności z relacjami wypukłymi.
Twierdzenie1. Jeżeli funkcja użyteczności u:Rm �� R jest
+�
wklęsła (silnie wklęsła) na Rm to relacja preferencji, którą ta
+�
funkcja opisuje jest wypukła ( silnie wypukła).
Dowód. Rozważmy taką parę takich koszyków x,y , że
x y.
Należy wykazać, że
(**) l�x + (1-l�)y y
Z założenia wiadomo, że
313
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
1. x y u(x) ł� u(y), ( z definicji u)
2. u(l�x + (1-l�)y) ł� l�u(x) +(1-l�)u(y) (z wklęsłości u)
Zatem z 1 i 2 wynika, że
u(l�x + (1-l�)y) ł� l�u(x) +(1-l�)u(y) ł� l�u(y) +(1-l�)u(y) = u(y).
Z definicji funkcji użyteczności mamy więc l�x + (1-l�)y y, co
oznacza wypukłość relacji  .
Użyteczność krańcowa
Rozważmy koszyk x = (x1,x2,...,xm). Załóżmy, że zmieniamy ilość i-tego
towaru o D�xi. Pozostałe zawartości nie zmieniają się. Wywołuje to
zmianę użyteczności: u(x1,x2,. xi+D�xi ...,xm) - u(x1,x2,...,xm).
Definicja użyteczności krańcowej
Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x nazywamy
pochodną cząstkową
ś�u(x)
u(x1, x2,...xi +� D�xi,..., xm) -� u(x1, x2,..., xm)
= lim
i ��0 D�xi
ś�xi D�x
Uwaga. Można wykazać, że jeżeli u: jest rosnąca i silnie wklęsła,
ś�u(x)
to, dla każdego x>0 >0, i=1,2,& ,n
ś�xi
Komentarz. Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku x
informuje o ile , w przybliżeniu, zmieni się użyteczność koszyka
x jeśli ilość i-tego towaru zmieni się o jednostkę, a ilości
pozostałych towarów nie ulegnie zmianie.
314
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Przykłady.
1. u(x1,x2,...,xm) = x1+2x2+...+mxm
ś�u(x) ś�u(x) ś�u(x) ś�u(x)
=1, =2, , =i,...... =m
ś�x1 ś�x2 ś�xi ś�xm
ś�u(x) ś�u(x)
2 2
2. u(x1,x2)= x1 x3, =2x1x3; = x1 ��3�� x2
2 2 2
ś�x1 ś�x2
Zadanie. Wyznaczyć użyteczność krańcową drugiego dobra w koszyku
x = (1,3)
ś�u(x) ś�u(x)
Przykład 1. |(1,3) = 2 Przykład 2. |(1,3) = 1�� 3 ��32 = 27
ś�x2 ś�x2
Użyteczność krańcowa i-tego dobra informuje w przybliżeniu jak zmienia się
użyteczność koszyka x jeśli ilość i-tego dobra w koszyku x zmieni się o jednostkę.
Użyteczności różniczkowalne
Definicja. a) Funkcję u: Rm ��R nazywamy różniczkowalną jeśli istnieją
+�
ś�u(x)
wszystkie pochodne i=1,2,...,m i pochodne te są funkcjami
ś�xi
ciągłymi na Rm .
+�
b) Funkcję u: Rm ��R nazywamy dwukrotnie różniczkowalną jeżli
+�
istnieją wszystkie pochodne czastkowe drugiego rzędu
ś�2u(x)
(i,j=1,2,...,m) i pochodne te są funkcjami ciągłymi na Rm .
+�
ś�xiś�x
j
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że u (Rm ��R).
+�
Przypominamy. a) Macierz drugich pochodnych nazywamy hesjanem
(H(x)).
b) Z twierdzenia Schwarza wynika, że hesjan jest macierzą symetryczną.
315
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
c) Mowimy, że hesjan jest niedodatnio (ujemnie ) określony jeśli dla
każdej pary koszyków x,y Rm , y mamy
+�
(*)
d) Twierdzenie Sylvestera podaje warunki na spełnienie (*).
e) Funkcja użyteczności u (Rm ��R) jest wklęsła na Rm wtedy i
+� +�
tylko wtedy gdy jej hesja H(x) jest niedodatnio określony na Rm .
+�
f) Jeżeli funkcja użyteczności u (Rm ��R) i jej hesjan H(x) jest
+�
ujemnie określony na określony na Rm , to jest ona silnie wklęsła na
+�
Rm . ( W przypadku funkcji silnie wklęsłych dla pewnych izolowanych
+�
punktów hesja nie musi być ujemnie określony).
Twierdzenie 2. ( Prawo Gossena)
Jeżeli funkcja użyteczności u (Rm ��R) i jej hesjan jest ujemnie
+�
ś�2u(x)
określony na Rm , to dla każdego x Rm , <� 0, i =�1,2,...,m.
+� +�
2
ś�xi
Dowód. Niech = [0,& ,0,1,0, będzie i-tym wersolem Rm. Z
ujemnej określoności hesjanu wynika, że H(x)
Komentarz. Zauważmy, że własność ta oznacza , że użyteczność
krańcowa i-tego towaru maleje wraz ze wzrostem ilości i-tego towaru w
koszyku x przy ustalonych ilościach pozostałych towarów.
W ekonomii własność ta nazywa się prawem Gossena.
Prawo to dotyczy realnych sytuacji życiowych. (Ekonomiści w tym
kontekście dają taki przykład: im więcej zjedliśmy szynki ,to każdy
dodatkowy plasterek smakuje mniej ).
316
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
W dalszych rozważaniach przyjmiemy następujące założenia o funkcji
użyteczności
Założenia o funkcji użyteczności (ZoFU)
Funkcja użyteczności u (Rm ��R) jest rosnąca i silnie
+�
wklęsła a jej hesjan h(x) jest ujemnie określony przynajmniej na
int Rm .
+�
Do rozważanej klasy funkcji użyteczności dołączamy też funkcje
u określone na intRm i spełniające powyższe założenia, tzn.
+�
u (intRm ��R) , u jest rosnąca, a jej hesjan jest ujemnie
+�
określony.
Związek krańcowej stopy substytucji z użytecznościami
krańcowymi.
2
Przykład. u(x1,x2) = x2 + x1 . Oblicz KSS pierwszego dobra
przez drugie w koszyku (1,1).
2
x2 + x1 = s, s > 0 - rodzina krzywych obojętności.
Interesuje nas krzywa obojętności z parametrem s=2.
2 2
�� x2 = 2-x1 , x2 = g(x1) = 2 -x1 , g'(x1) = -2x1,
KSS1,2 =g'(1) = -2.
Inny sposób wyznaczania KSS, gdy x2 traktujemy jak
��
funkcją uwikłaną zmiennej x1
317
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
ś�u(x) ś�u(x)
u(x1,x2)= u(x1,g(x1))=2. Zatem + g'(x1)=0.
ś�x1 ś�x2
ś�u(x) ś�u(x) ś�u(x) ś�u(x)
Stąd g'(x1)= - / , =2x1, =1,
ś�x1 ś�x2 ś�x1 ś�x2
a więc
2x1
g' (x1) = - , KSS1,2= g'(1) = -2.
1
Mamy następujące ogólne twierdzenie
Twierdzenie 3. Jeśli funkcja użyteczności u spełnia założenia
ZoFU, to dla każdego x intRm spełniona jest równość
+�
ś�u(x)
ś�u(x)
KSSi,j(x)= - /
ś�xj
ś�xi
ś�u(x)
W przykładzie dla x=(1,1) mamy: |(1,1)=2,
��
ś�x1
ś�u(x)
|(1,1)=1. Zatem KSS1,2(1,1) = - 2.
ś�x2
Komentarz. Definicję KSS dobra i przez j określamy tak jak w
przypadku m=2. Okazuje się, że przy przyjętych założeniach ZoFU
istnieje takie otoczenie każdego punktu intRm że funkcja u(x)=c,
+�
c=const. daje się, w tym otoczeniu, rozwikłać względem j-tej zmiennej,
tzn. xj daje się zapisać jako : dla pewnej
różniczkowalnej funkcji g. Krańcową stopę substytucji dobra i  tego
przez j-te w koszyku x definiuje się jako:
318
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
ś�x
j
KSSi,j(x) =�
ś�xi
Twierdzenie 3 daje sposób wyznaczania KSS za pomocą
pochodnych cząstkowych.
Optymalne wybory c.d.
Twierdzenie.4.(O jedyności optymalnego wyboru) Jeżeli
funkcja użyteczności u:Rm ��R jest ciągła i silnie wklęsła, to
+�
dla każdego dochodu d i dla każdego wektora cen p=(p1, p2, ,
) > 0 istnieje dokładnie jeden koszyk spełniający warunek
u( dla każdego x ze zbioru budżetowego
wyznaczonego przez d i p.
Dowód (Podręczniki pozycja [1]).
Wniosek
a) Z Twierdzenia 4 wynika, że jest rozwiązaniem
następującego zadania maksymalizacji użytecznosci (ZMaxU):
u(x) �� max
przy warunkach ograniczających
p1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm Ł� d,
x1 x2 , xmł� 0.
ł� 0, ł� 0,. ...
b) W przypadku gdy dodatkowo u jest funkcja rosnącą , to
znajduje się na hiperpłaszczyz
nie budżetowej.
p1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm =� d
319
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
x1 x2 , xmł� 0.
ł� 0, ł� 0,. ...
Twierdzenie 5. ( Warunek konieczny i dostateczny ZMaxU)
Jeżeli funkcja użyteczności u: Rm ��R jest rosnąca,
+�
różniczkowalna i silnie wklęsła na int Rm , to koszyk >0 jest
+�
rozwiązaniem ZMaxU wtedy i tylko wtedy gdy istnieje że
para ( spełnia układ n+1 równań:
ś�u(x)
(a) = i=1,2,& ,m
ś�xi
(b) p1x1 +� p2x2 +� ... +� pmxm =� d
Dowód wynika z Twierdzenia Kuhna-Tuckera (Literatura [2] str.
785).
Wnioski z Twierdzenia 5.
a)Z Twierdzenia 3 o KSS i warunku (a) Twierdzenia 5 wynika,
ś�u(x) ś�u(x)
że KSSi,j( = - : =
ś�xi ś�x
j
b) Zauważmy, że wynik ten jest zaskakujący. Oznacza on, ze
przy różnych funkcjach użyteczności spełniających założenia
Tw.5 mogą być różne koszyki optymalne przy tych samych
cenach, a krańcowa stopa substytucji pozostaje taka sama.
KSSi,j (x)=-pi/pj
c) Stosunek  pi/pj jest stopą wymiany oferowaną przez
rynek.
320
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
Ważny przykład. Funkcja użyteczności Cobba-Douglasa
a
krzywe
u(x1,x2) = x1 xb ; a > 0, b > 0.
2
obojętności
Rys.a=b=1/2
�� Równoważny opis preferencji:
a
u(x1,x2) = ln(x1 xb) = a ln x1 +b ln x2
1.
2
1 a b
a
a+�b a+�b
u(x1,x2) = (x1 xb)a+�b =x1 x2
2.
2
�� Preferencje opisane użytecznością C-D są silnie wypukłe i
monotoniczne. Funkcja spełnia też założenia Tw. 5.
�� Optymalny wybór jest optimum wewnętrznym.
Zadanie z użytecznością C-D
Znalez
ć koszyk popytu w przypadku użyteczności C-D
a ln x1 +b ln x2 �� max
przy warunkach ograniczających
p1x1 +� p2x2 =� d,
x1ł� 0, x2ł� 0,
.
Wystarczy rozważyć koszyki dla których
(*) KSS1,2(x)= -p1/p2.
Liczymy KSS wykorzystując użyteczności krańcowe
321
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
ś�u(x) a ś�u(x) b
= , =
ś�x1 x1 ś�x2 x2
a b a x2
Zatem KSS1,2(x)= - ( ) / ( )= - .
x1 x2 b x1
Z (*) i faktu, że poszukiwany koszyk znajduje się na linii
budżetowej wynika, że koszyk spełnia równania:
a x2
- .= -p1/p2
b x1
p1x1 +� p2x2 =� d
Po rozwiązaniu układu otrzymujemy koszyk popytu :
d a p1x1 a
x1 =� �� =� ��udział wydatków na dobro 1
p1 (a +� b) d a +� b
d b p2x2 b
x2 =� �� =� .��udział wydatków na dobro 2
p2 (a +� b) d a +� b
Inny sposób rozwiązania zadania z użytecznością C-D
Pokażemy, że jeżeli pewien koszyk x=(x1,x2) > 0
(tzn. x1>0,x2 >0) i pewna liczba l� > 0 spełniają
następujący układ równości:
ś�u(x)
|x=�x =l� p1
ś�x1
ś�u(x)
|x=�x =l� p2
ś�x2
p1x1 +� p2x2 =� d
322
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
to x=(x1,x2) jest rozwiązaniem poprzedniego zadania z
użytecznością. C-D.
a
Uzasadnienie. = l� p1
x1
b a x2
=l� p2 �� .= p1/p2
x2 b x1
p1x1 +� p2x2 =� d p1x1 +� p2x2 =� d
Otrzymaliśmy ten sam układ równań, który wyznaczał
koszyk x w poprzednich rozważaniach.
Drugi sposób rozwiązywania nazywa się metodą mnożników Lagrange a
Ćwiczenia. Zestaw 2
1. Zbiór X składa się z czterech koszyków. X= {a,b,c,d}. Sprawdz
czy
następująca relacja:
r =� {(a,a), (a,b), (a,d), (b,b), (b,c), (c,a), (c,c), (d,b), (d,c), (d,d)}
def
a) jest zwrotna, b)czy jest symetryczna c) czy jest
b) przechodnia, d) czy jest zupełna?
2. Sprawdz
czy koszyk z= (11, 32) należy do odcinka łączącego
koszyki x=(5,20) i y=(20,50).
3. Czy relacja x y �� x1+2x2 ł�y1 + 2y2 jest
def
a) monotoniczna b) wypukła c) ściśle wypukła.
Jaką funkcją użyteczności można opisać tę relację?
Podaj równania krzywej obojętności przechodzącej przez
(x1,x2)=(1,1). Podaj wartość krańcowej stopy substytucji dobra 1
323
R.Rempała. Materiały dydaktyczne( 2015. Wykłady 3-4).
przez 2 w punkcie (1,1). Wyznacz koszyk optymalny przy
cenach (p1,p2)=(1,1) i dochodzie d=10.
4. Czy funkcje: u(x1, x2) = 2 (x1+2x2), u(x1, x2) =log (2 x1+4x2) dla
(x1,x2)ą� (0,0) są funkcjami użyteczności opisującymi relację z
punktu 3.
5. Niech u(x1, x2) = x1+2x2. Wyznacz użyteczności krańcowe dobra 1 i
2 w punkcie (2,1). Wykorzystując wynik podaj KSS1,2 w punkcie
(2,1).
6. Rozważmy funkcję użyteczności u(x1, x2) = lnx1+2 lnx2. Rozwiąż
ZMaxU traktując ceny i dochód jako parametry.
7. Rozwiąż zadanie 6 przy u(x1, x2) = x1+2 lnx2.
324