Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Systemy produkcji typu input-autput. Model von Neumanna
Rozważamy model gospodarki, w którym zużywa się lub
wytwarza n towarów za pomocą skończonej liczby m
procesów technologicznych nazywanych bazowymi.
Oznaczenia
Rozważmy j-ty bazowy proces technologiczny.
aj= (aj1,aj2,...,ajn)----wektor nakładów
bj= (bj1,bj2,...,bjn)----wektor wyników
Interpretacja
Zużywając aj1 jednostek towaru 1, aj2 jednostek towaru 2,....,ajn
jednostek towaru n otrzymamy w j-tym bazowym procesie
produkcyjnym bj1 jednostek towaru 1, bj2 jednostek towaru
2,...,bjn jednostek towaru n.
Uwaga W modelu ten sam towar może być zarówno nakładem jak i produktem np. stal, węgiel. .
Wygodnie jest opisać wszystkie procesy bazowe za pomocą macierzy
a1 a11 a12 . . a1n
�� ł� �� ł�
ę�a ś� ę�a a22 . . a2n ś�
2 21
ę� ś� ę� ś�
A =� ę� . ś� =� ę� . . . . . ś� macierz nakładów
ę� ś� ę� ś�
. . . . . .
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
am2 . . amn ��
��am�� ��am1
b1 b11 b12 . . b1n
�� ł� �� ł�
ę�b ś� ę�b b22 . . b2n ś�
2 21
ę� ś� ę� ś�
B =� ę� . ś� =� ę� . . . . . ś� macierz wyników (produkcji)
ę� ś� ę� ś�
. . . . . .
ę� ś� ę� ś�
ę� ś� ę� ś�
bm2 . . bmn ��
��bm�� ��bm1
1
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Intensywności. Liniowość modelu
�� Przypuśćmy teraz, że poszczególne technologie zostały
użyte z intensywnością odpowiednio x1 ,x2 ,...xm .
Model von Neumanna jest liniowy. Oznacza to, że: przyjmując
technologię 1 i stosując wielokrotność x1 nakładów pierwszej
technologii tzn. (x1a11, x1a12,..., x1a1n) spodziewamy się
identycznej wielokrotności wyników tzn. (x1b11, x1b12,..., x1b1n),
. . .
. . .
. . .
przyjmując technologię m i stosując wielokrotność xm nakładów
tzn. (xmam1, xmam2,..., xmamn) spodziewamy się identycznej
wielokrotności wyników tzn. (xmbm1, xmbm2,..., xmbmn).
Przy intensywnościach (x1,x2,...,xm) łączne nakłady czynników
wynoszą:
(*) (x1a11+...+ xmam1, x1a12+...+ xmam2,..., x1a1n+...+ xmamn)= x A
�� nakład 1 czynnika, �� nakład 2 czynnika, ,�� nakład n-tego czynnika �� inny zapis
A
ączne wyniki produkcji wynoszą:
(**) (x1b11+...+ xmbm1, x1b12+...+ xmbm2,..., x1b1n+...+ xmbmn)= x B
�� 1 produkt, �� 2 produkt, �� n-ty produkt, �� inny zapis
Uwaga (*) i (**) jest właściwie formalną definicją lewostronnego
mnożenia wektora wiersza (x1 ,x2 ,...xm) przez macierze A i B
odpowiednio. (x A)i= x1a1i+...+ xmami, (x B)i= x1b1i+...+ xmbmi
2
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Założenia o modelu
Model von Neumanna jest jednoznacznie opisany parą
macierzy A, B. Zakłada się, że
Z1 Każdy wiersz macierzy nakładów A zawiera element dodatni
Z2 Każda kolumna macierzy wyników B zawiera element dodatni.
(W każdej technologii jakiś towar jest zużyty. Każdy towar jest
wytwarzany przynajmniej w jednym procesie technologicznym.)
Przypominamy
Przy intensywności produkcji wyrażonej wektorem x=(x1 ,x2 ,...,xm)
wielkość zużycia i-tego towaru wynosi (x A)i= x1a1i+...+ xmami
natomiast wielkość produkcji (x B)i= x1b1i+...+ xmbmi
(I) Wskaz
nikiem technologicznej efektywności wytwarzania
i-tego towaru przy intensywności produkcji x=(x1 ,x2 ,...,xm)
nazywamy liczbę
(xB)i
��
��(xA) , gdy (xA)i >� 0,
i
��
��+� Ą�, gdy (xA)i =� 0, (xB)i >� 0,
a�i(x) =�
��
��nieokreśiena, gdy (xA)i =� (xB)i =� 0
i=1,2,& ,n.
��
��
��
(II) Wskaz
nikiem technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopą produkcji) przy intensywności
produkcji x=(x1 ,x2 ,...,xm) nazywamy liczbę a�(x) =� min a�i(x)
i
Można pokazać, że przy Założeniach 1,2
max{a� : a�xA Ł� xB gdy x ą� 0
��
a�(x) =� (*)
��
nie jest okreslone gdy x =� 0.
��
3
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
(III) Optymalnym wskaz
nikiem technologicznej
efektywności w modelu (optymalną stopą produkcji)
nazywamy liczbę a�opt =� max a�(x).
xł�0,xą�0
Zauważmy, że ( ze względu na (*) ) a�opt jest rozwiązaniem
zadania: znalez
ć
max
przy ograniczeniach: a�xA Ł� xB, x 0, x
Zadanie to można zapisać dokładniej:
max a�
przy ograniczeniach
a�(xA)1 Ł� (xB)1
M�
a�(xA)n Ł� (xB)n
x ł� 0. x ą� 0
Problemy a). Rozwiązać powyższe zadanie podając optymalny
wskaz
nik technologicznej efektywności (optymalną stopę
produkcji) a�opt
b) Wyznaczyć intensywności produkcji, przy której wskaz
nik ten
jest osiągany ?
Można wykazać por. ref. [Panek. str.247] , że przy przyjętych
założeniach modelu, optymalny wskaz
nik technologicznej efektywności
(optymalna stopa produkcji) spełnia warunek 0 < a�opt <� Ą�.
4
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Wektor intensywności x dla którego a�opt =� a�(x) nazywa się
optymalnym wektorem intensywności w modelu. Zauważmy, że
optymalny wektor intensywności jest określony z dokładnością do
struktury ( z dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią).
Efektywność ekonomiczna.
Niech pi oznacza cenę rynkową i-tego towaru.
(x B)1p1 + (x B)2p2+...+(x B)npn = wartość produkcji przy intensywności
x=(x1 ,x2 ,...,xm). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xBp,
p wektor koluumniwy.
(xA)1p1 + (xA)2p2+...+(x A)npn = wartość nakładu przy intensywności
x=(x1 ,x2 ,...,xm). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xAp.
Wskaz
nikiem ekonomicznej efektywności (stopą dochodu ),
przy wektorach intensywności x i cenach p, nazywamy liczbę
xBp
��
��xAp , gdy xAp >� 0
��
��
b�(x,p) =�
��Ą� gdy xAp =� 0, xBp >� 0,
��nieokr. gdy xAp =� 0, xBp =� 0.
��
��
��
5
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
xBp
Iloraz liczb oznacza stopę dochodu przy intensywności
xAp
wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.
xAp
Iloraz liczb oznacza stopę wydatków przy intensywności
xBp
wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.
Zauważmy, że: a) Ap - wartości jednostkowych nakładów poszczególnych
technologii. Bp - wartości jednostkowych przychodów poszczególnych
technologii. b) Wskaz
nik ekonomicznej efektywności mówi o relacji wartości
przychodów do wartości nakładów -- ile razy przy cenach p i intensywności x
wartość produkcji przekracza wartość nakładów.
Równowaga
Pytanie: czy można znalez
ć taki wektor intensywności produkcji
i takie ceny, przy których ekonomiczna efektywność jest równa
efektywności technologicznej?
Warunki takie podał von Neumann i Thompson. Noszą one
nazwę warunków równowagi w modelu von Neumanna.
~ ~
Definicja. O wektorze intensywności x 0, x ą� 0 i wektorze
~ ~
cen p 0, p oraz liczbie a� >� 0 mówimy, że charakteryzują
gospodarkę w równowadze von Neumanna, jeżeli spełniają
następujące warunki:
~B,
(I) a�~A Ł� x
x
p p
(II) dla każdego xł� 0, xB~ Ł� a�xA~,
~B~
(III) x p >� 0.��
6
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
~
Wektor x nazywamy wektorem intensywności procesów
~
technologicznych w równowadze, wektor cen p nazywa się
wektorem cen w równowadze. Pokażemy, że wyraża
wskaz
nik ekonomicznej i technologicznej efektywności przy
~
~
x ,p .
Komentarze.
�� Warunki (I)-(III) określają punkt równowagi w pewnej 2-
osobowej grze. (por. A
oś. Linear Methods In the Theory of
Economical Models, Aarhus Universitet,1967 ).
p p
�� Warunek (II) można zastąpić (II)ó�:B~ Ł� a�A~. (Wystarczy
rozważyć intensywności postaci (0,0,..0,1,0,0,..0,) z 1 na różnych miejscach.)
Wnioski z definicji (por. Panek. ref.1)
1. Prawdziwe są następujące implikacje: jeśli a�(~A)i <� (~B)i
x x
~i=0, jeśli ~i>0 to a�(~A)i =� (~B)i.
to p p x x
~i>0
Uzasadnienie. Gdyby a�(~A)i <� (~B)i i p to mnożąc obie
x x
~ ~Bp
~
x p
strony (I) przez p otrzymalibyśmy : a�~A~ <� x co jest
sprzeczne z (II).
2. Liczba a� w definicji jest wskaz
nikiem technologicznym
~
efektywności procesu przy intensywności x . Zatem
a� =a� (~ ).
x
Uzasadnienie. Gdyby a� ą� a� (~ ) to z definicji i warunku (I)
x
a� x x x
~i=0, co oznaczałoby ~B~
mocy wniosku 1 p x p =� 0 i zaprzeczałoby
warunkowi (III) definicji.
~
~
3. Ekonomiczna efektywność przy x ,p = technologicznej
~
efektywności przy x . Innymi słowy
7
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
b�(~,~) =� a�(~)(=a� )
x p x
Uzasadnienie. Mnożąc obie strony (I) przez wektor cen w
~B~. Warunek (II) daje nierówność
równowadze mamy a�~A~ Ł� x p
x p
~B~
~
~Bp, Zatem a� =� x p =b�(~,~).
a�~A~ ł� x x p
x p
~A~
x p
4. Dla każdego x , b�(~,~) ł� b�(x,~) jeśli tylko wskaz
nik b�(x,~)
x p p p
jest określony.
p
Uzasadnienie. Z definicji b�(x,~) i z warunku (II) mamy:dla
~B~
xB~ x p
p
~
p x p
każdego x jeśli xAp >0 to b�(x,~)= Ł� a� =� =b�(~,~).
~A~
xA~ x p
p
Twierdzenie (Panek. Ekon. Mat, 2003 str.250). W modelu
von Neumanna, (spełniającym Założenia 1 i 2) z
prostokątnymi macierzami A,B o wymiarach (m��n), istnieje
stan równowagi z optymalnym wskaz
nikiem technologicznej
efektywności a� . Liczba stanów równowagi z różnymi
opt
wskaz
nikami technologicznej efektywności nie przekracza
min{m,n}.
Ćwiczenia. Zestaw 3.
1. Dlaczego model von Neumanna nazywany jest modelem liniowym.
2. Opisz macierze nakładów i wyników.
3. Co to jest wskaz
nik technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopa produkcji) przy intensywności produkcji x=(x1
,x2 ,...,xm). Podaj definicję optymalnej intensywności.
4. Podaj definicję i ekonomiczną interpretację wskaz
nika
ekonomicznej intensywności.
8
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
5. Czy stan równowagi musi być jedyny? Podaj własności stanów
równowagi.
6. Znajdz
optymalny stan równowagi w modelu z macierzami:
1 0 2 1
�� ł� �� ł�
A=
ę�1 2ś� , B= ę�1 2ś� .
�� �� �� ��
9