Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przykłady statycznej i dynamicznej równowagi rynkowej
I Model liniowy statycznej równowagi rynkowej
a) Opis modelu dla jednego dobra
Niech oznacza popyt na dobro, - podaż. Zakładamy, że obie
funkcje sÄ… liniowymi funkcjami ceny p:
= a-bp, a>0, b>0
= dp - c; c >0, d >0
Równowaga na rynku powstaje wtedy i tylko wtedy gdy popyt jest
równy podaży. Zatem poszukujemy takiej ceny, przy której realizuje
się ta równość.
a - bp = - c + dp
Rozwiązaniem (ceną równowagi) jest :
p* =
a a - bp dp - c
0 p* -cena równowagi p
-c
1
Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
b) Model rynku z n dobrami
W ogólnym przypadku, w modelu liniowym uwzględniającym n
dóbr, zarówno popyt jak i podaż są funkcjami cen rynkowych
wszystkich dóbr. Ogólna równowaga rynkowa dotyczy każdego
dobra z osobna. Zatem w przypadku n=2 model jest opisany
następująco :
dla pierwszego dobra :
=a0+a1p1+a2p2
=b0+b1p1+b2p2
dla drugiego dobra:
= + p1+ p2
0 1 2
= + p1+ p2
0 1 2
gdzie współczynniki a0,a1,a2,b0,b1,b2 odnoszą się do popytu i podaży
, pierwszego dobra, natomiast , , , , , do
0 1 2 0 1 2
popytu i podaży ( , drugiego dobra.
Po uporządkowaniu równania równowagi maja postać :
(*) (a1 b1) p1+(a2  b2 )p2 =  (a0 b0)
(  ) p1+(  )p2=  (  )
1 1 2 2 0 0
Otrzymaliśmy układ 2 równań z dwiema niewiadomymi: p1, p2 .
Rozwiązaniem układu (*) są ceny równowagi.
Nie jest trudno zauważyć, jaką postać przybiera układ równań na ceny
równowagi w przypadku większej liczby dóbr. Ograniczymy się tym
razem do konkretnego równania na ceny równowago dla n=3.
2
Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Zadanie. Dla danego modelu rynku z 3 dobrami, równania
równowagi (*) przybierają postać:
-3p1+2p2 +p3=-8
p1- 4p2+2p3=-2
p1+p2-2p3 =-4
Wyznaczyć ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.
(Dla ułatwienia podajemy odpowiedz
:p1= 18, p2=14, p3=18).
Niech
b = -wektor wyrazów wolnych x=  wektor niewiadomych
A=[ ] i=1,2,& ,n; j =1,2,& ,n; - macierz współczynników.
Zakładamy, że det (A)
Rozważamy układ równao Cramera: Ax= b
(Twierdzenie Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
dane jest wzorem.
gdzie macierz powstaje z macierzy współczynników A przez
zastąpienie k-tej kolumny wektorem wyrazów wolnych b.
II Model dynamiczny tzw. model pajęczyny
Rozważmy wersję modelu I. a), w którym podaż jest
traktowana jako funkcja nie bieżącej ceny ale ceny z poprzedniego
okresu. Dla ułatwienia w modelu tym, ze względu na dodatkowy
indeks czasowy, zmienimy nieco oznaczenia.
3
Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Model pajęczynowy
Załóżmy, że cena Pt, popyt Dt i podaż St pewnego towaru na rynku
w okresach t=1,2,... są związane równaniami
a) St=Dt,
b) Dt = a bPt,
c) St = c + d Pt-1 gdzie a,b,c,d sÄ… dodatnimi parametrami.
Funkcjonowanie modelu
Zakładamy, że w każdym momencie, cena rynkowa jest ustalana
na poziomie oczyszczającym rynek (równanie a)), a popyt i podaż
kształtują się na poziomach opisanych równaniami b) i c).
(Zauważmy, że funkcja podaży jest zależy od ceny z opóz
nieniem o
jeden okres).).
Podobnie jak w modelu 1 rozwiązanie równowagi znajdujemy
przyjmujÄ…c
~
~ ~
Pt = P, Dt = D, St = S , t=1,2,....
Równania a)-c) maja teraz postać
~ ~
~ ~ ~ ~
D = a b P, S =D, S = c+d P
~ ~
Stąd wynika, że a  b P = c + d P. Istnieje więc dokładnie
a +ð c
~
jeden stan równowagi przy cenie P= .
b +ð d
Kiedy równowaga jest stabilna ze względu na początkową wartość P0?
~
Kiedy przy zmianach poczÄ…tkowej ceny: Pt ?
®ð P.
Z równań a)  c) postaramy się odszukać wartość Pt
Z a) i b) wynika, że Dt+1 = a-bPt+1, St+1=Dt+1.
WykorzystujÄ…c c) mamy:
-c + d Pt = a - b Pt+1.
Dla ułatwienia wprowadzając oznaczenie Qt = Pt - ~ otrzymujemy
P
c+d Qt+d ~ = a  b Qt+1 - b ~
P P
4
Ekonomia matematyczna. Wykład 13b. R. Rempała. Materiały dydaktyczne
StÄ…d
~(b
d a +ð c -ð P +ð d)
Qt+1 = -ð Qt +ð .
b b
a +ð c
WstawiajÄ…c ~ = otrzymujemy
P
b +ð d
d
Qt+1 = -ð Qt.
b
d
Ostatnie równanie jest równaniem wzrostu, w którym c= -ð .
b
Zatem
Qt=Qo ct.
Wracając do poprzednich oznaczeń
Qt = Pt - ~
P
~
otrzymujemy: Pt-~ = (P0 - P ) ct ,
P
d
~
a wiÄ™c Pt =~ + (P0 - P ) ct gdzie c=-ð .
P
b
Wniosek.
~
żð JeÅ›li db to |c|>1 i |Pt|®ð Ä„ð.
(Slajd: Pajęczyna).
5