Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Wykład 8. Zastosowania pochodnej c.d.
Pewne zastosowania pochodnej omówiliśmy w Wykładzie 7.
W tym wykładzie wykorzystujemy pochodne do wyznaczania
przebiegu funkcji i wyznaczania ekstremów.
I. Ekstrema lokalne
Definicja1. x0 jest punktem wewnętrznym zbioru X jeśli istnieje
taka liczba że odcinek (x0 - x0+ Odcinek
(x0 - x0+ nazywamy otoczeniem punktu x0
Załóżmy, że x0 jest punktem wewnętrznym dziedziny pewnej funkcji
f.
Definicja 2.( Ekstremum lokalne). Mówimy, że funkcja f osiąga
maksimum (minimum) lokalne w x0 jeśli takie istnieje otoczenie
(x0 - x0+ , że
f(x0) f(x) (f(x0) f(x)) dla x (x0 - x0+
W przypadku ostrych nierówności dla x x0 mówimy, że funkcja ma
w punkcie x0 maksimum (minimum) właściwe.
f(x)
x1 x2 x3 x4
Rys.1 W punktach x1, x3, f(x) osiÄ…ga maksimum lokalne a w
punktach x2, x4, minimum lokalne.
Definicja 3. Minima i maksima lokalne nazywajÄ… siÄ™ lokalnymi
ekstremami.
1
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Twierdzenie 1. (Twierdzenie Fermata. O zerowaniu pochodnej w
punkcie ekstremum). Jeżeli f ma w punkcie x0 ekstremum i jest w
tym punkcie różniczkowalna to jej pochodna w tym punkcie jest
równa zero.
Dowód pomijamy.
f(x)
x1 x2 x
Rys.2 W punkcie x1 funkcja f ma lokalne minimum,
w punkcie x2 lokalne maksimum. W obu punktach
styczne do wykresu są równoległe do osi x. Oznacza
to, że f ( x1)= f ( x2)=0.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (por.Rys.3)
f(x)
x1 x
Rys.3. W punkcie przegięcia x1 styczna jest równoległa do osi x,
zatem f (x1) = 0, ale to nie jest ani minimum ani też maksimum
funkcji f.
2
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Twierdzenie 2. (Rolle a). Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym [a,b] i różniczkowalna w (a,b), a na końcach przedziału
przyjmuje jednakowe wartości f(a)= f(b), to istnieje w przedziale
(a,b) taki punkt c, że f (c)=0 (por. Rys 3)
f(a)=f(b)
a c b x
Rys. 3. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie c jest równoległa do
osi x. Oznacza to, że f (c)=0.
Z twierdzenia Rolle a wyprowadza się następujące twierdzenie
Lagrange a o przyrostach.
Twierdzenie 3. ( Twierdzenie Lagrange a o przyrostach)
Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i
różniczkowalna w (a,b), to istnieje w przedziale (a,b) taki punkt c, że
f (c) = (por. Rys.4)
f(b)
Styczna do wykresu w punkcie c jest
równoległa do prostej łączącej końce
f(a) wykresu w punktach a i b.
Rys.4 a c b
3
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Inny zapis tezy Twierdzenia Lagrange a : przyrost wartości funkcji
f(b)  f(a) jest równy pochodnej w punkcie pośrednim f (c)
pomnożonej przez przyrost argumentów: f(b)  f(a) = f (c) (b-a).
Twierdzenie 4. (Własności funkcji z ustalonymi znakami
pochodnej w przedziale)
a) Jeżeli pochodna funkcji w każdym punkcie przedziału (a,b) jest
równa zero, to funkcja w tym przedziale jest stała.
b) Jeżeli pochodna funkcji w każdym punkcie przedziału (a,b) jest
dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale rosnÄ…ca
(malejÄ…ca).
c) Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale jest w tym
przedziale stała to pochodna jest w tym przedziale równa zero.
d) Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale jest w tym
przedziale niemalejÄ…ca (nierosnÄ…ca) to pochodna jest w tym
przedziale nieujemna (niedodatnia).
Dowody punktów a)-d) opierają się na Twierdzeniu Lagrange a.
Dla przykładu podamy dowód punktu a)
Gdyby f nie była funkcja stałą to istniałby takie dwa punkty w
przedzale (a,b), że x1Lagrange a istniałby punkt pośredni x0 (x1 , x2), że
f (x0) = , co zaprzecza zerowaniu pochodnej w (a.b)
4
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Wniosek. Jeżeli istnie takie , że funkcja f
- w przedziale (x0 x0) ma pochodnÄ… dodatniÄ… (ujemnÄ…),
-w punkcie x0 ma pochodną równą zero ( f (x0) = 0)
- w przedziale (x0, x0 ) ma pochodnÄ… ujemnÄ… (dodatniÄ…),
to funkcja f ma w punkcie x0 lokalne maksimum właściwe (lokalne
minimum właściwe).
f(x0)- maksimum f(x0)- minimum
x0 x0 x0
x0 x0 x0
Rys 5. W (x0 x0): f >0, f W (x0 x0 ): f < 0, f
W (x0 x0 ): f < 0, f W (x0 x0): f >0, f
W x0 f ( x0) = 0 W x0 f ( x0) = 0
II. Ekstrema funkcji. Wyznaczanie przedziałów monotoniczności
Zadanie. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
f(x) =
Rozwiązanie. Wyznaczamy punkty stacjonarne (takie, w których
pochodna zeruje siÄ™).
f (x)= = (x-3)(x-5)
Dalsze rozumowanie przedstawia tabelka
x 3 5
f + 0 0 +
f(x)
5
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Szkic przebiegu zmienności funkcji f
3
5/3
3 5
Rys.6 Opis tego przebiegu daje poniższa tabelka
x 3 5
f + 0 0 +
f(x)
Ekstrema lokalne:
fmax= f(3) = 3, fmin= f(5)=5/3
Twierdzenie 5. (Warunki wykluczajÄ…ce ekstremum)
Jeżeli f (x0)= 0, ale f jest tego samego znaku w przedziałach (x0 x0)
i (x0 x0 ) dla pewnego to funkcja f jest monotoniczna w
otoczeniu x0 . Ilustrujemy to powtarzajÄ…c Rys.3.
f(x)
x0
Rys. 7. Przykład funkcji rosnącej, której pochodna zeruje się w x0
6
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Twierdzenie 6. (Osiąganie kresów)
Jeżeli f jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b], to istnieją w tym
przedziale takie punkty x1,x2, że
a) f(x1) f(x) dla x [a,b],
b) f(x2) f(x) dla x [a,b].
(Dowód pomijamy)
Komentarz. Liczbę f(x1) nazywamy wartością największą w
przedziale [a,b] i mówimy, ze funkcja w punkcie x1 osiąga swój kres
górny, natomiast liczbę f(x2) nazywamy wartością najmniejszą w
przedziale [a,b] i mówimy, że funkcja w punkcie x2 osiąga swój kres
dolny.
f(x1)
a x2 x1 = b
f(x2)
Rys. W przedziale [a,b]:wartość największa f(x1), wartość
najmniejsza f(x2).
Ekstrema globalne: największą i najmniejsza wartość funkcji.
·ð Praktyczny sposób wyznaczania kresów funkcji ciÄ…gÅ‚ej w
przedziale [a,b] i różniczkowalnej w (a,b): wyznaczyć
wartości funkcji w punktach stacjonarnych (punktach zerowania
pochodnej) oraz w punktach końcowych przedziału. W zbiorze
otrzymanych wartości wybrać największą i najmniejszą.
7
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
Zadanie. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji
f(x) =x(x-2)2 w przedziale [-1,2]
Rozwiazanie
a) Obliczamy pochodnÄ… i wyznaczamy jej punkty zerowe.
f (x)= (x-2)2+2x(x-2)=(x-2)(x-2+2x)=(x-2)(3x-2)
Punkty zerowania siÄ™ pochodnej: 2 , 2/3.
Należy więc wyznaczyć max{f(-1),f(2/3),f(2)} oraz
min{f(-1),f(2/3),f(2)}.
Wyznaczając wartości w poszczególnych punktach mamy
f(-1) = -1, f(2/3)=(2/3)(4/3)2=32/27, f(2)=0
Wniosek.
Wartość najmniejsza w przedziale [-1,2], to -1
Wartość największa w przedziale[-1,2], to 32/27.
Zadania
1. Oblicz pochodnÄ… funkcji
a) f(x) = x2+3x, f(x) = x3+2x2-5x+2
b) f(x) = f(x) = 5x2sinx, f(x) = 2x2 + cos x,
c) f(x) = , f(x) = , f(x) =
d) f(x) = , f(x) = sin2x f(x) = cos(1+x2)
2. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = x+(1/x). Zbadaj czy równanie
f ma rozwiÄ…zanie.
3.Wyznacz stycznÄ… do wykresu f(x) = w punkcie x0=2.
4. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
f(x) = x2 2x +5, f(x) =
5. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f(x) = x2 4x , f(x) = x2 6x , f(x) = x/(1+x2 )
6. Załóżmy, ze cena (p) pewnego produktu zależy od popytu (x)
w następujący sposób: ; x . Przy jakiej cenie popyt jest
największy?
8