Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Wykład 3a. Funkcje charakterystyczne zm. los. i ich własności.
Funkcje charakterystyczne (F.Ch.)
�� Jest to bardzo użyteczne narzędzie w rękach matematyka
Definicja. Funkcja charakterystyczna zm. los. X to odwzorowanie
j�: R �� C dane wzorem:
�� j�(t) =� EeitX , gdzie i = -�1, C- liczby zespolone.
def
lub
�� j�(t) =� Ecos(tX) +� iE sin( tX)
lub
����eitxP(X =� x), dla. zm.los.dysk.
��
x
�� j�(t) =�
��
eitxf (x)dx, dla zm.los.absolutnie c.
�� ��
��
R
Ostatnie przekształcenie znane jest pod nazwą transformata Fouriera
gęstości prawdopodobieństwa.
Przykład 1. X~ Poisson(l�)
Ą� Ą�
it it
l�k 1
j�(t) =� eitk e-�l� =e-�l� (eitl�)k = e-�l�ee l� =el�(e -�1)
�� ��
k! k!
k=�0 k=�0
1
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Przykład 2. X ~N(0,1)
Ą�
2
1
j�(t) =� ( eitx -�x2 / 2 dx =� e-�t / 2
��
2p�
-�Ą�
( Ostatnia równość nie jest natychmiastowa. Dowód można
sprowadzić do rozwiązania pewnego równania różniczkowego).
Twierdzenie 2.1. Własności F.Ch.
a) j�(t) =� EeitX jest ciągła, j�(0) =�1, |j�(t) |Ł�1
b) Jeżeli E|X|k <� Ą�, to F.Ch. jest k-krotnie różniczkowalna
oraz j�(k)(0) =� ikE(Xk )
c) j�aX+�b(t) =� eitbj�X(at), a,b��R
d) j�-�X(t) =� j�X(t)
e) Jeżeli X i Y są niezależne to j�X+�Y(t) =� j�X(t)j�Y(t)
Związek między gęstością zmiennej X a jej funkcją
charakterystyczną
�� Twierdzenie . Niech f(x) będzie gęstością rozkładu zm.
los. X. Załóżmy, że funkcja charakterystyczna j�
zmiennej losowej X jest całkowalna (tzn.
Ą�
��| j�(t) | dt <� Ą�). Wtedy mamy następującą równość
-�Ą�
Ą�
1
f (x) =� e-�itxj�(t)dt
��
2p�
-�Ą�
2
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
�� Twierdzenie 5.1 (O jednoznaczności). Funkcja charakterystyczna
jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa, tzn. jeśli
)� )�
j�X(t) =� j�X(t)dla wszystkich t�� R , to FX(x) =� FX(x) dla x�� R .
�� Twierdzenie 5.2 (O ciągłości). Zbieżność funkcji
charakterystycznych w każdym punkcie jest równoważna
zbieżności rozkładów (dystrybuant) w każdym punkcie
z wyjątkiem, być może, punktów nieciągłości dystrybuanty
granicznej. Innymi słowy:
j�X (t) �� j�X(t), "�t �� FXn (a) �� FX(a) dla a takich,że FX(a-�) =� FX(a)
n
3
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Wykład 3b. Część 2.Rozkład gamma i jego funkcja charakterystyczna, rozkład
wykładniczy, rozkłady średnich z próby losowej prostej, rozkład chi-kwadrat z k stopniami
swobody.
�� Rozkład gamma. Funkcja charakterystyczna
Zmienna losowa X ma rozkład gamma, jeśli jej gęstość
prawdopodobieństwa jest postaci
0 dla x Ł� 0
��
��
f (x) =�
��
ap
��G�(p) xp-�1e-�ax dla x >� 0
��
a >� 0, p >� 0
Ą�
G�(p) =� xp-�1e-�xdx
��
def
0
Wzór na f(x) określa gęstość, ponieważ podstawiając y = ax mamy
Ą� Ą�
ap 1
xp-�1e-�axdx =� yp-�1e-�ydy =� 1. Stąd
�� ��
G�(p) G�(p)
0 0
Ą�
G�(p)
xp-�1e-�axdx =� (*)
��
ap
0
Ostatni wzór jest prawdziwy dla a = a1 +i a2 , a1 > 0 (dowód
pomijamy).
Funkcja charakterystyczna dla zmiennej losowej o rozkładzie gamma
z parametrami a i p przybiera postać
+�Ą�
j�(t) =� f (x)eitxdx =�
��
-�Ą�
p -�p
ap Ą� ap G�(p) it it
�� ć�1-� ��
=� xp-�1e-�(a-�it )xdx =� =� 1/ć�1-� =�
�� �� �� ��
��
G�(p) G�(p) a a
Ł� ł� Ł� ł�
(a -� it)p
0
4
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
�� Momenty zmiennej los. o rozkładzie gamma(a,p)
p p
E(X) = , Var(X) =
a
a2
�� Ważna uwaga. Przy parametrze p = 1 rozkład gamma sprowadza
się do rozkładu wykładniczego (przypominamy G�(1) =� 1).
0 dla x Ł� 0
��
��
f (x) =�
��1 1
-� x
l�
�� e dla x >� 0, l� >� 0
��l�
Zwyczajowo parametr a oznacza się przez 1/l� .
Zatem E(X) =l� , Var(X) =l�2
Funkcja charakterystyczna dla zmiennej o rozkładzie wykładniczym
ma więc postać
1
j�(t) =�
(1-� itl�)
Komentarz do rozkładów wykładniczych.
1. Jeżeli mamy do czynienia z próbą prostą pochodzącą z rozkładu
wykładniczego, to średnia arytmetyczna z próby losowej oznaczana
1
Xn = (X1 +�L�+� Xn )( kreska tym razem nie oznacza sprzężenia!)
n
ma parametry: E( X ) =l� , Var( X ) =l�2 / n . Zatem widać, że
n n
statystyki tej można użyć do estymacji parametru l� , który jest
wartością oczekiwaną w tym rozkładzie, a wariancja (miara
rozproszenia od tej wartości) zbiega do zera przy n �� Ą�.
5
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Rozkład średniej z próby losowej prostej:X1,X2L�,Xn
1
1) Xn = (X1 +�L�+� Xn ), X1,L�,Xn ~ rozkład wykładniczy(l� ).
n
Przypominamy F.Ch spełnia warunek
j�aX+�b(t) =� eitbj�X(at),
zatem dla a=1/n, b=0 mamy
1
j�Xk / n (t) =� j�Xk (t / n) = "�k
l�it
1-�
n
Zatem Xn jest sumą niezależnych zm. los., o identycznych F. Ch.
Otrzymujemy więc
1
j�Xn (t) =� j�X1 (t / n)j�X2 (t / n)L�j�Xn (t / n) =�
n
l�it
ć�1-� ��
�� ��
n
Ł� ł�
�� Wniosek z twierdzenia o jednoznaczności. Xn ma rozkład
gamma z parametrami p = n, a = n/l� .
1
2) Xn = (X1 +�L�+� Xn ), X1,L�,Xn ~ N(m�,s�)
n
Xk -� m�
Yk =� ~ N(0,1); zatem Xk =� s�Yk +� m�
s�
Z własności F. Ch. j�aX+�b(t) =� eitbj�X(at) oraz z faktu
2
j�Yk (t) =� e-�t / 2 mamy
6
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
2 2
j�Xk (t) =� j�s�Yk +�m�(t) =� eitm�j�Yk (s�t) =� eitm�e-�s� t2 / 2 =� eitm�-�s� t2 / 2
Zatem
itm� s�2t2 itm� s�2t2
-� ( -� )n
n n
2n2 2n2
j�(Xk ) / n (t) =� e zatem j�(X)(t) =� e =�
s�2t2
itm�-�
2n
=� e
�� Wniosek. Z postaci funkcji charakterystycznej wynika, że
średnia Xn z próby pochodzącej z rozkładu normalnego
N(m�,s�) ma rozkład N(m�,s� / n).
�� Rozkład Chi-kwadrat z k-stopniami swobody
Jest to rozkład zmiennej losowej
k
2
X =� Zi
��
i=�1
gdzie Zi i =�1,2,L�,k są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładzie N(0,1). Zapis: X ~ c�2 (k)
�� Stwierdzenie 4.1 Rozkład c�2 (k) jest rozkładem Gamma z
parametrami p= k/2, a=1/2.
Dowód. Niech Y=Z2. Niech
F1(y) = P( Z2 Ł� y) =� P(-� y Ł� Z Ł� y) =� F( y) -� F(-� y)
7
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Zatem
f1(y) = 0 dla yŁ� 0, natomiast z faktu , że gęstość rozkładu N(0,1) jest
symetryczna, mamy
2f ( y) / 2 f ( y)
ó�
f1(y) = F(( y) -�F(-� y)) =� =� Stąd, biorąc pod
y y
uwagę gęstość rozkładu normalnego, otrzymujemy
0 dla y Ł� 0
��
��
y
f1(y)=
�� -�
1
2
y-�1/ 2e dla y >� 0
��
2p�
��
Tak więc Y ma rozkład Gamma ( �, �).
Można wykazać (posługując się np. F. Ch.) następujący fakt.
�� Lemat. Jeżeli niezależne zmienne losowe mają rozkłady gamma
o parametrach (p1,a),...,(pn,a) to zm. los.
n
X1+....+Xn ma rozkład gamma o parametrach ( pi,a).
��
i=�1
W naszym przypadku
2
Yi = Zi mają rozkłady gamma o parametrach (1/2,1/2).
Zatem
k k
2
X =� Zi = Yi ma rozkład gamma z parametrami
�� ��
i=�1 i=�1
p = k/2 oraz a = 1/2 c.b.d.o.
8
Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne
Wniosek. Jeżeli zmienne losowe Z1, Z2, ... ,Zn są niezależne i o
jednakowym rozkładzie N(m�,s�) to statystyka
n
(Zi -� m�)2
X =�
��
s�2
i=�1
ma rozkład c�2(n).
9