MATEMATYKA STOSOWANA W
INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład  6
Transformata Laplace a
Funkcje specjalne
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przekształcenia całkowe
W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia
całkowe (nazywane też operatorami lub transformatami całkowymi).
Są to pewne operacje dokonywane na funkcjach, w których główną
rolę odgrywa całkowanie (różnego typu i różnych funkcji).
Przekształcenia całkowe są częścią analizy funkcjonalnej.
W zastosowaniach praktycznych najważniejsze są:
1. Przekształcenie (transformata) Fouriera
2. Przekształcenie (transformata) Hankela
3. Przekształcenie (transformata) Laplace a
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przekształcenia całkowe  uwagi
ogólne
Ogólnie przekształceniem (transformatą) nazywamy pewne przyporządko-
wanie dwu funkcji. Można powiedzieć że jest to funkcja, w której zarówno
argument jak i wartość są funkcjami.
Tr[ f (t)] =� F(s)
Funkcję f(t) nazywamy oryginałem natomiast funkcję F(s) obrazem lub
po prostu transformatą. Na ogół oryginały są funkcjami rzeczywistymi
zmiennej rzeczywistej t natomiast obrazy są funkcjami zespolonymi
zmiennej zespolonej s. Ogólny zapis przekształcenia całkowego funkcji
rzeczywistej w zespoloną jest następujący:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przekształcenia całkowe  uwagi
ogólne
b�
F(s) =� f (t)K(s,t)dt
gdzie:
��
a�
ą, �  liczby rzeczywiste (mogące wynosić +" lub -") określające
przedział całkowania.
K(s,t)  funkcja zmiennej zespolonej s i rzeczywistej t nazywana jądrem
przekształcenia.
W zależności od granic całkowania i jądra mamy różnego typu
przekształcenia.
Podstawiając:
a� =� 0 b� =� Ą� K(s,t) =� e-�st
otrzymujemy interesujące nas przekształcenie Laplace a:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przekształcenia całkowe 
Transformata Laplace a
Ą�
F(s) =� f (t)e-�stdt =� L[ f (t)]
��
0
Przekształcenie Laplace a często oznacza się dużą literą L. Nie każda
funkcja f(t) może być oryginałem. Może nim być tylko taka funkcja, dla
której powyższa całka istnieje. Można wykazać, że dla zbioru wszystkich
oryginałów przekształcenie Laplace a jest wzajemnie jednoznaczne tzn. że
jednemu oryginałowi odpowiada tylko jeden obraz oraz jednemu obrazowi
odpowiada tylko jeden oryginał.
Można zatem wprowadzić pojęcie odwrotnego przekształcenia Laplace a,
w którym oryginał jest przyporządkowany danemu obrazowi:
L-�1[F(s)] =� f (t) �� F(s) =� L[ f (t)]
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Przekształcenia całkowe 
Transformata Laplace a
L[f(t)]
F(s)
f(t)
L-1[F(s)]
X  zbiór oryginałów
Y  zbiór obrazów
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Własności
oryginałów
Funkcje f(t) będące oryginałami muszą spełniać 3 podstawowe warunki:
f (t) =� 0 dla t <� 0
1.
2. Funkcja f(t) musi być przedziałami ciągła, tzn. liczba punktów
nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale musi być skończona.
Przykładowo warunek ten spełnia funkcja tzw. funkcja schodkowa
f(t)=int(t) mimo że posiada nieskończoną liczbę punktów nieciągłości.
3. Funkcja f(t) jest rzędu wykładniczego co oznacza że nie może ona
rosnąć szybciej niż funkcja ekspotencjalna. Warunek ten można
zapisać następująco:
��
istnieje l� ł� 0
f (t) <� Mel�t
ż�dla dowolnego t
istnieje M >� 0��
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Przykłady
oryginałów
a) Funkcja Heviside a (jednostkowa, lub skoku jednostkowego):
��
0 dla t <� 0
h�(t) =�
��
dla t ł� 0
��1
f(t)
1
t
Mnożąc dowolną funkcję przez funkcję Heviside a można zapewnić
spełnienie warunku 1.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Przykłady
oryginałów
b) Funkcja schodkowa:
f (t) =�h�(t)int(t)
f(t)
1
t
1 2 3 4 5
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
1. Przekształcenie Laplace a oraz odwrotne przekształcenie Laplace a
są liniowe tzn.:
L[a1 f1(t) +� a2 f2(t)] =� a1L[ f1(t)]+� a2L[ f2(t)] =� a1F1(s) +� a2F2(s)
L-�1[a1F1(s) +� a2F2(s)] =� a1L-�1[ f1(t)]+� a2L-�1[ f2(t)] =� a1 f1(t) +� a2 f2(t)
a1, a2  dowolne liczby rzeczywiste
f1(t), f2(t)  dowolne oryginały
Własność powyższa wynika z liniowości całki.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
2. Transformata pochodnej  bardzo ważna własność mająca
fundamentalne znaczenie w rozwiązywaniu równań różniczkowych.
(n) (n-�1)
��ł�
L f (t)�� =� snL f (t) -� sn-�1 f (0) -� sn-�2 f '(0) -�...-� f (0)
[� ]�
��
dla n =� 2
L f "(t) =� s2L f (t) -� sf (0) -� f '(0)
[� ]� [� ]�
dla n =�1
L f '(t) =� sL f (t) -� f (0) =� sF(s) -� f (0)
[� ]� [� ]�
dla n =�1 i f (0) =� 0
L f '(t) =� sL f (t) =� sF(s)
[� ]� [� ]�
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
Z własności powyższej wynika że różniczkowanie w dziedzinie oryginałów
zamienia się na mnożenie i odejmowanie w zbiorze obrazów. Fakt ten
jest podstawą tzw. operatorowej metodzie rozwiązywania równań
różniczkowych. Można tutaj wykorzystywać różne przekształcenia całkowe
a w szczególności transformatę Laplace a.
Istotę metody operatorowej ilustruje schemat:
Laplace
Rr[ f (t)]
Ra[F(s)]
Rozwiązanie równania
algebraicznego
(Laplace)-1
f (t)
F(s)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
3. Przekształcenie całki. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
t
��ł�
F(s)
L f (t)dtś� =�
ę�
��
s
��0 ��
Całkowanie w dziedzinie oryginałów zamienia się na dzielenie przez s
w zbiorze obrazów.
Własność ta pozwala na zamianę równań całkowych na równania
algebraiczne.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
3. Przekształcenie całki. Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
t
��ł�
F(s)
L f (t)dtś� =�
ę�
��
s
��0 ��
Przykład zastosowania tej własności:
t
��ł�
L[cos(t)]
f (t) =� cos(t) �� L
��
��cos(t)dt�� =�
s
��0
s
L[cos(t)] =�
Na podstawie powyższej własności mamy:
s2 +�1
t
��ł�
s 1
L
��
��cos(t)dt�� =� L[sin(t)] =� s(s2 +�1) =� s2 +�1
��0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
4. Różniczkowanie obrazu.
Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
(n)
d F(s)
L[tn f (t)] =� (-�1)n
dsn
dla n =�1
L[tf (t)] =� -�F'(s)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
5. Całkowanie obrazu.
Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
Ą�
f (t)
ł�
L�� =�
��F(s)ds
ę� ś�
t
�� ��
s
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
6. Przesunięcie w dziedzinie oryginałów.
Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
0
L[ f (t -�t0)] =� e-�st F(s) t0 ł� 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
7. Przesunięcie w dziedzinie obrazów.
Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
0
L[es t f (t)] =� F(s -� s0) s0 ��C
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Wybrane
własności przekształcenia
8. Podobieństwo.
Jeżeli L[f(t)]=F(s) to
1 s
L[ f (at)] =� Fć� �� a >� 0
�� ��
a a
Ł� ł�
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
wyznaczania obrazów
Wyznaczanie obrazów dla zadanych oryginałów jest stosunkowo proste.
Możemy wyróżnić następujące metody szczegółowe:
1. Bezpośrednie zastosowanie wzoru definicyjnego.
2. Zastosowanie różnych własności 1  8.
3. Korzystanie z tablic transformat.
4. Korzystanie z programów komputerowych, które same wyznaczają
dane transformaty, np. MATHEMATICA firmy Wolfram.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
Problem wyznaczania oryginałów przy zadanych obrazach tzn. technika
dokonywania odwrotnego przekształcenia Laplace a jest na ogół znacznie
trudniejszy od wyznaczania obrazów. Problem ten rozwiązuje się za
pomocą następujących metod:
1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina.
2. Metoda kombinowana wykorzystująca własności 1  8.
3. Metoda splotu.
4. Metoda residuów.
5. Metoda tablicowa.
6. Korzystanie z programów komputerowych, które wyznaczają
odpowiednie oryginały, np. MATHEMATICA firmy Wolfram.
Teraz omówimy metody 1  4.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
1. Zastosowanie wzoru całkowego Riemanna - Mellina.
l�+�iy
1
st
f (t) =� l� >� l�0
lim
��F(s)e ds
2p�i
y��Ą�
l�-�iy
0  wskaz
nik wzrostu funkcji f(t).
Korzystanie z tego wzoru jest raczej trudne i wymaga dobrej znajomości
analizy funkcji zespolonych.
W praktyce metoda ta jest rzadko stosowana.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
2. Metody kombinowane polegają na wykorzystaniu różnych własności
przekształcenia Laplace a. Jedną ze szczególnych metod stosunkowo
często stosowaną w praktyce jest metoda rozkładania obrazu na
ułamki proste. Metodę tę można stosować wtedy, gdy obraz jest
funkcją wymierną tzn. ilorazem dwu wielomianów zmiennej s.
Rozkładanie na ułamki proste robi się analogicznie jak przy
elementarnym całkowaniu funkcji wymiernych zmiennej rzeczywistej.
Dalej wykorzystuje się liniowość oraz elementarne własności
przekształcenia Laplace a.
k
W1(s)
F(s) =� =� AnPn(s) ��
��
W2(s)
n=�1
k
f (t) =� L-�1[F(s)] =� An pn(t) pn(t) =� L-�1[Pn(s)]
��
n=�1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
3. Metoda splotu opiera się na twierdzeniu Borela.
Splotem dwu funkcji rzeczywistych f1(t) i f2(t) nazywamy funkcję
zmiennej rzeczywistej t określoną za pomocą całki:
t
f1(t)*� f2(t) =� f1(t -�t� ) f2(t� )dt�
��
0
Można wykazać że splot jest operacją przemienną, łączną i rozdzielną
względem dodawania oraz że splot dwu oryginałów jest również oryginałem.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
Twierdzenie Borela:
Jeżeli:
L[ f1(t)] =� F1(s) L[ f2(t)] =� F2(s)
to:
L[ f1(t)]�� L[ f2(t)] =� F1(s)�� F2(s) =� L[ f1(t)*� f2(t)]
Słownie: Obraz splotu dwu funkcji jest iloczynem obrazów
poszczególnych funkcji.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów
Z twierdzenia Borela wynika bezpośredni wzór umożliwiający
wyznaczanie oryginału w przypadku gdy obraz jest iloczynem dwu
prostych funkcji zespolonych, których oryginały znamy.
Operacja sprowadza się wtedy do wykonania splotu.
L-�1[F1(s)�� F2(s)] =� f1(t)*� f2(t)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów  metoda residuów
4. Metoda residuów polega na zastosowaniu tzw. twierdzenia o residuach:
Założenia:
a) F(s) jest obrazem pewnej na razie nie znanej funkcji f(t)
b) F(s) jest analityczna z wyjątkiem skończonej liczby biegunów
s1, s2, & ,sk
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Transformata Laplace a  Metodyka
odwracania obrazów  metoda residuów
Szukany oryginał transformaty Laplace a wyraża
się wtedy wzorem:
k
f (t) =� L-�1[F(s)] =�
��res [F(s)est]
sn
n=�1
Aby zastosować to twierdzenie i tę metodę należy znalez
ć wszystkie
bieguny funkcji F(s) a następnie obliczyć residua funkcji F(s)
pomnożonej przez czynnik est.
Przy operacji znajdowania residuów należy t traktować jako parametr.
Bardzo ważna jest tutaj umiejętność wyznaczania residuów w biegunach.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje specjalne
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
FUNKCJE SPECJALNE
W modelowaniu matematycznym wielu procesów dużą rolę odgrywają
tzw. funkcje specjalne. Są to funkcje, które nie dają się zapisać za
pomocą skończonych kombinacji funkcji elementarnych. Dla obliczania ich
wartości na ogół stosowane są szeregi potęgowe. Na wykładzie omówimy
następujące funkcje specjalne:
1. Funkcja błędu i dopełniająca funkcja błędu
2. Funkcja gamma Eulera
3. Funkcje Bessela.
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 0
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
W powszechnym użyciu są dwie funkcje błędu oznaczane jako erf i erfc.
Podstawowa funkcja błędu erf jest funkcją rzeczywistą zmiennej
rzeczywistej i wywodzi się z rachunku prawdopodobieństwa oraz
tzw. rozkładu normalnego Gaussa:
(x-�x0 )2
-�
1
2
2s�
r�(x) =� e
s� 2p�
Dla x0=0 i �=1/("2) rozkład ten przyjmuje postać:
2
1
r�(x) =� e-�x
p�
Wykresem tej funkcji jest słynna krzywa dzwonowa Gaussa:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
Rozkład Gaussa zgodnie z regułami teorii prawdopodobieństwa spełnia
warunek:
Ą� Ą� Ą�
1 2
-�x2 -�x2
r�(x)dx =�
�� ��e dx =�1�� ��e dx =� 2 ��
p� p�
-�Ą� -�Ą� -�Ą�
0 Ą�
2 2
-�x2 -�x2
��e dx =� ��e dx =�1
p� p�
-�Ą� 0
Funkcję erf(x) otrzymujemy jeżeli rozkład Gaussa pomnożymy przez 2
i scałkujemy od 0 do x tzn.:
x
2
-�t2
erf (x) =�
��e dt
p�
0
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
2
e-� x2
p�
erf(x)
0 x
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
Wykres funcji erf(x):
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
Podstawowe własności funcji erf(x):
1. erf(0)=0
2. erf(")=1, efr(-")=-1
3. erf(-x)=-erf(x) funkcja jest nieparzysta
2
2
4.
[erf (x)]'=� e-�x
p�
Pochodną funkcji erf jest funkcja rozkładu Gaussa pomnożona przez 2.
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
Z funkcją błędu erf(x) związana jest tzw. dopełniająca funkcja
błędu erfc(x):
Ą�
2
-�t2
erfc(x) =�
��e dt =�1-� erf (x)
p�
x
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 7
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
błędu
Wartości funcji erf(x) są stabelaryzowane i zamieszczane na ogół
w podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa. W obliczeniach
komputerowych można korzystać z rozwinięcia tej funkcji w szereg
potęgowy:
k 2k+�1
Ą�
2
erf (x) =�
��((-�1)+�x
2k 1)k!
p�
k=�0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 38
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcja
gamma Eulera
W wielu różnych zastosowaniach występuje tzw. funkcja gamma związana
z nazwiskiem wybitnego matematyka Eulera. Podobnie jak funkcja
ekspotencjalna funkcja ta może być definiowana w zakresie liczb
rzeczywistych lub zespolonych. Tutaj omówimy rzeczywistą funkcję
gamma. Funkcją tą zajmował się również inny genialny matematyk Gauss.
Jego definicja tej funkcji jest następująca:
n!nx
G�(x) =�
lim
x(x +�1)(x +� 2)...(x +� n)
n��Ą�
Można wykazać, że powyższa granica istnieje dla dowolnych wartości x
z wyjątkiem x=0, x=-1, x=-2,&
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 39
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcja
gamma Eulera
Euler wykazał, że dla dodatnich wartości x rzeczywistą funkcję gamma
można zapisać za pomocą całki:
Ą�
x >� 0
-�t x-�1
G�(x) =�
��e t dt
Wzór całkowy Eulera
0
Korzystając z powyższego wzoru można wyprowadzić ważną własność
funkcji gamma:
Ą� Ą� Ą�
Ą�
-�t x -�t x x -�t x
G�(x +�1) =�
��e t dt =� ��(-�e )'t dt =� (-�e-�tt ) 0 -���(-�e )(t )'dt =�
0 0 0
Ą� Ą�
-�t x-�1 -�t x-�1
0 +�
��e xt dt =� x��e t dt =� xG�(x) ��
0 0
G�(x +�1) =� xG�(x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 40
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcja
gamma Eulera
Obliczmy teraz wartości funkcji gamma dla liczb naturalnych.
Dla x=1 skorzystajmy z całki Eulera:
Ą�
Ą�
-�t
G�(1) =�
��e dt =� -�e-�t 0 =� 0 -� (-�1) =�1
0
Dla kolejnych liczb naturalnych korzystamy z wyprowadzonego wzoru:
G�(2) =� G�(1+�1) =�1��G�(1) =�1��1 =�1
G�(3) =� G�(2 +�1) =� 2��G�(2) =� 2��1 =� 2
G�(4) =� G�(3 +�1) =� 3��G�(3) =� 3�� 2��1 =� 6
G�(n) =� (n -�1)!
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 41
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcja
gamma Eulera
W zakresie liczb rzeczywistych funkcja gamma jest związana
z trygonometryczną funkcją sinus za pomocą zależności:
p�
G�(x)G�(1-� x) =�
sin(p�x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 42
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
Kolejne funkcje specjale tzw. funkcje Bessela występują wtedy gdy
rozważane procesy zachodzą w układach o geometrii cylindrycznej.
W związku z tym czasami nazywa się je funkcjami cylindrycznymi.
Funkcje Bessela są to funkcje rzeczywiste będące rozwiązaniami równania
różniczkowego zwyczajnego II rzędu tzw. równania Bessela:
2
x2 y''+�xy'+�(x2 -� )y =� 0
y=f(x) - funkcja niewiadoma
�  dowolna liczba rzeczywista, parametr równania Bessela
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 43
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
2
x2 y''+�xy'+�(x2 -� )y =� 0
Na ogół rozwiązań równania Bessela nie można przedstawić za pomocą
kombinacji funkcji elementarnych. Równanie można rozwiązać za pomocą
tzw. metody Frobeniusa w wyniku której otrzymuje się rozwiązania
w postaci szeregów potęgowych.
Szeregi te definiują funkcje Bessela pierwszego rodzaju, które
tradycyjnie oznaczane są przez J� (x). Indeks  � jest parametr rzeczywisty
funkcji Bessela. Szereg definiujący funkcje Bessela I rodzaju
jest następujący:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 44
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
2m

Ą�
x (-�1)m x
ć� �� ć� ��
J (x) =�
�� �� �� ��
��
2 m!G�( +� m +�1) 2
Ł� ł� Ł� ł�
m=�0
Jeżeli parametr � nie jest liczbą całkowitą wtedy można wykazać,
że funkcje J� (x) i J-�(x) są liniowo niezależne i za ich pomocą można
zapisać rozwiązanie ogólne równania Bessela:
y(x) =� AJ (x) +� BJ-�v(x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 45
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
Jeżeli parametr � jest liczbą całkowitą to nazywamy go
rzędem funkcji Bessela, oznaczamy literą �=n,
a szereg definiujący funkcje Bessela przybiera postać:
n 2m
Ą�
x (-�1)m x
ć� �� ć� ��
Jn(x) =� n =� 0,1,2,...
�� �� �� ��
��
2 m!(n +� m)!Ł� 2
Ł� ł� ł�
m=�0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
W szczególności dla n=0 otrzymujemy funkcję Bessela pierwszego
rodzaju zerowego rzędu:
Ą�
(-�1)m x2 x4 x6
J0(x) =� x2m =�1-� +� -� +�...
��
22m(m!)2 22(1!)2 24(2!)2 26(3!)2
m=�0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela
Z innym szczególnym przypadkiem mamy do czynienia gdy
parametr � = 1/2 i � = -1/2.
Wtedy funkcje Bessela pierwszego rodzaju można zapisać za pomocą
funkcji elementarnych:
2 2
J1/ 2(x) =� sin x J-�1/ 2(x) =� cos x
p�x p�x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 48
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela - wykresy
J0(x)
J1(x)
J2(x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 49
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela - własności
Funkcje Bessela mają wiele ciekawych własności.
Poniżej najważniejsze z nich:
1. Własność wiążąca 3 funkcje o parametrach � różniących się o 1:
2
Jv(x) =� Jv-�1(x) +� Jv+�1(x)
x
Własność ta pozwala na obliczanie wartości funkcji o parametrze
�+1 na podstawie wartości  funkcji poprzednich o parametrach
� i �  1.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 50
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela - własności
2. Różniczkowanie:
dJv (x) v
Jv '(x) =� =� -� Jv(x) +� Jv-�1(x)
dx x
Jv-�1(x) -� Jv+�1(x)
=�
2
Do zróżniczkowania funkcji Bessela I rodzaju o parametrze �
potrzebne są funkcje  sąsiednie .
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 51
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela - własności
3. Funkcje Bessela I rodzaju o całkowitych parametrach �=n
spełniają proste zależności:
J-�n(x) =� (-�1)n Jn(x) n =� 0,1,2,...
Jn(-�x) =� (-�1)n Jn(x) n =� 0,1,2,...
Pierwsza z tych zależności pozwala na łatwe wyznaczenie funkcji
Bessela o ujemnych parametrach całkowitych.
Z zależności tej wynika też że funkcje Jn i J-n są liniowo zależne.
Zależność druga określa, że funkcje Bessela o parzystych parametrach
są parzyste a o nieparzystych parametrach są nieparzyste.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 52
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela - własności
Ponieważ funkcje Jn(x) i J-n(x) są liniowo zależne, nie można ich użyć do
konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela.
Do tego celu służą funkcje Bessela drugiego rodzaju tradycyjnie
oznaczane literą Y.
Funkcje te są definiowane za pomocą następującej formuły:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 53
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela drugiego rodzaju
Jv(x)cos(vp� ) -� J-�v(x)
��
dla v ą� n =� 0,ą�1,ą�2,...
��
sin(vp� )
��
��
Yv(x) =�
��
��
Jv(x)cos(vp� ) -� J-�v(x)
��
dla v =� n =� 0,ą�1,ą�2,...
lim
sin(vp� )
��
v��n
��
Funkcje Bessela drugiego rodzaju podobnie jak I rodzaju posiadają
parametr �. A
atwo zauważyć, że dla całkowitej wartości tego
parametru w mianowniku definicji pojawia się 0. Dlatego też w definicji
użyto w tym przypadku granicy, która istnieje dla każdego x.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela drugiego rodzaju
Bardzo istotny jest fakt, że funkcje Bessela pierwszego i drugiego rodzaju
dla tego samego parametru � są liniowo niezależne i można ich użyć do
konstrukcji ogólnego rozwiązania równania Bessela tzn.:
y(x) =� AJv(x) +� BYv(x)
W praktyce funkcje Bessela II rodzaju są stosowane w przypadku gdy
parametr � jest liczbą całkowitą tzn. �=n. W tym przypadku korzystanie
ze wzoru definicyjnego jest trudne a wartości funkcji Y wyznacza się
za pomocą szeregów potęgowych:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela drugiego rodzaju
Podany poniżej wzór obowiązuje dla x>0
2 x x-�n n-�1 (n -� m -�1)! xn Ą� (-�1)m-�1(hm +� hm+�n)
Yn(x) =� Jn(x)(ln +�g� ) -� x2m +� x2m
����
p� 2 p� 22m-�n m! p� 22m+�n m!(m +� n)!
m=�0 m=�0
gdzie:
1 1 1
h0 =� 0 hs =�1+� +� +�... s =�1,2,...
2 3 s
g� =�
s
lim(h -� ln s) =� 0.577216...Euler const.
s��Ą�
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 56
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela drugiego rodzaju
W szczególności:
dla n =� 0:
Ą�
��ł�
2 x -�1)m-�1hm
��
Y0(x) =� +�
��(2 (m!)2 x2m ��
0 ��
ę�J (x)ć�ln 2 +� g� �� ś�
2m
p�
Ł�ł�
m=�1
��
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 57
FUNKCJE SPECJALNE  Funkcje
Bessela drugiego rodzaju - wykres
Y0(x)
Y1(x)
Y2(x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 58
Na tym kończymy wykłady przewidziane
w programie przedmiotu
 Metody matematyczne i statystyczne
w inżynierii chemicznej
Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.
Test zaliczeniowy odbędzie się na ostatnich
zajęciach w dniu 4.06.2014
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej