Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przedziały ufności
Definicja przedziału ufności
Przykłady konstrukcji przedziałów ufności
�� Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej
�� Przedziały ufności dla wariancji
�� Przedziały ufności dla ilorazu wariancji
1
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Definicja przedziału ufności
�� Zajmowaliśmy się punktową estymacją nieznanego
parametru rozkładu. Obecnie zajmiemy się tzw. estymacją
przedziałową określając górną i dolną granicę oszacowania.
�� Niech X1,L�,Xn będzie próbą prostą pochodzącą z
populacji, w której cecha X ma rozkład typu ciągłego,
zależny od nieznanego parametru q���Q�. Niech a� oznacza
małą liczbę z przedziału (0,1).
Definicja. Niech g(q�) będzie estymowana wielkością.
Rozważmy dwie statystyki g1(X1,L�,Xn ) i g2(X1,L�,Xn ).
Mówimy, że losowy przedział [g1(X1,L�,Xn ), g2(X1,L�,Xn )]
jest przedziałem ufności dla wielkości g(q�) na poziomie
ufności 1-� a� jeśli
Pq�[g1(X1,L�,Xn ) Ł� g(q�) Ł� g2(X1,L�,Xn )] =�1-� a�. (*)
�� Jako poziom ufności najczęściej przyjmuje się 1-� a� = 0,95
lub 1-� a� = 0,99.
�� Komentarz do definicji przedziału ufności
Krańce przedziału ufności są zmiennymi losowymi. Zależą od
obserwowalnych zmiennych losowych.
Zauważmy także, że g(q�) jest stałą wielkością. Zatem (*)
należy rozumieć tak: losowy przedział
[g1(X1,& Xn), g2((X1,& Xn)]
z prawdopodobieństwem 1-� a� pokrywa nieznaną wielkość
g(q�).
2
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Innymi słowy, biorąc pod uwagę częstościową definicję
prawdopodobieństwa, można powiedzieć tak: w dużej serii
próbek częstość zdarzenia polegającego na tym, że realizacje
przedziałów ufności pokrywają nieznaną wartość parametru
g(q�) jest w przybliżaniu równa (1-� a�) ��100%.
Uwaga. Przy konkretnej realizacji próby losowej x1,x2,...,xn
krańce przedziału ufności są dokładnie wyznaczonymi
konkretnymi wielkościami. Nie ma wtedy sensu stwierdzenie,
że wielkość g(q�) znajdzie się w takim przedziale z
prawdopodobieństwem 1-� a�.
Ogólna metoda konstrukcji przedziału ufności. (por. A.
Plucińska& )
Przy konstrukcji przedziałów, postępuję się najczęściej
następująco.
�� Wybiera się taki estymator %1ń(X1,& ,Xn ) wielkości g(q�),
którego rozkład asymptotyczny lub dokładny jest znany.
Dla danego poziomu ufności 1-� a�poszukuje się takich
stałych , , dla których
1 2
Pq�( Ł� %1ń(X1,X2,...,Xn ) Ł� ~2 ) =�1-� a� (*)
u
1
~
W przypadku, gdy nierówność Ł� %1ń(X1,...,Xn ) Ł� u2 daje
1
się zastąpić równoważną nierównością postaci
f1(%1ń(X1,...,Xn )) Ł� g(q�) Ł� f2(%1ń(X1,...,Xn ))
stąd po podstawieniu:
g1(X1,& Xn) = f1(%1ń(X1,...,Xn )),
g2(X1,& Xn) = f2(%1ń(X1,...,Xn )),
3
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
otrzymujemy przedział [g1(X1,& Xn),g2((X1,& Xn)], który jest
przedziałem ufności nieznanej wielkości g(q�) na poziomie
ufności 1-� a�.
�� Ponieważ dla ustalonego poziomu ufności 1-� a�, liczby
i w równości (*) można wybierać na wiele
1 2
sposobów, zazwyczaj wybiera się je w taki sposób, aby
~ ~
Pq�(%1ń(X1,X2,...,Xn ) Ł� u1) =� Pq�(%1ń(X1,X2,...,Xn ) ł� u2) =� a� / 2
Przypadek cechy skokowej
Jeśli cecha badana X ma rozkład skokowy, to liczby ,
1 2
spełniające równość (*) mogą nie istnieć. Dlatego też w
sytuacji, gdy próba pochodzi z rozkładu skokowego
przedziałem ufności na poziomie 1-� a� dla wielkości g(q�)
nazywa się taki przedział losowy[g1(X1,.. ,Xn ), g2(X1,.. ,Xn],
dla którego spełniona jest nierówność
Pq�[g1(X1,L�,Xn ) Ł� g(q�) Ł� g2(X1,L�,Xn )] ł�1-� a�.
Zatem liczby i spełniają warunki:
1 2
~
Pq�(%1ń(X1,X2,...,Xn ) Ł� u1) Ł� a� / 2
~
Pq�(%1ń(X1,X2,...,Xn ) ł� u2) Ł� a� / 2
Przykłady konstrukcji przedziałów ufności
1. Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej
Przypadek a).
�� Niech X1,L�,Xn będzie próbą losową z rozkładu N(m�,s�) o
nieznanym m�, znanym s� . Estymujemy m�. Jako estymator
4
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Ć
nieznanego parametru wybieramy m�(X1,...,Xn ) =�
(1/n)(X1+& +Xn)= X
n
1
Wiadomo, że średnia X =� Xi z próby losowej pochodzącej
��
n
i=�1
s�
z rozkładu N(m�,s�) ma rozkład normalny N(m�, )
n
X -� m�
Zatem standaryzowana średnia ma rozkład N(0,1).
s�
n
Dla ustalonego poziomu ufności 1-a� możemy więc
wyznaczyć taką wielkość ~ , że dla = ~ , 2= ~
u u u
1
X -� m�
~)
Pm� (-�~ Ł�
u Ł� u =�1-� a� (**)
s�
n
co oznacza, że
s� s�
~
Pm�(-�~ Ł� X -� m� Ł� u ) =�1-� a�.
u
n n
Stąd otrzymujemy
s� s�
~ ~
Pm�{X -� u Ł� m� Ł� X +� u } = 1-� a�
n n
~
�� Z zapisu (**) wynika, że u jest kwantylem rzędu 1-� a�/ 2 z
rozkładu N(0,1). Przyjmijmy wygodniejsze oznaczenie
~
u =u1-�a� / 2.
Kwantyle rozkładu N(0,1) są podawane w tablicach
statystycznych.
(Przypominamy. Ogólnie: kwantylem rzędu p z rozkładu
5
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
o dystrybuancie ciągłej F nazywamy taką wartość up, że
F(up) = p, p��(0,1)).
Tak wiec przedział
s� s�
[X -� u1-�a� / 2 , X +� u1-�a� / 2 ]
n n
jest przedziałem losowym, który z prawdopodobieństwem 1-a�
pokrywa nieznaną wartość oczekiwaną rozkładu. Zatem,
zgodnie z definicją, jest on przedziałem ufności dla wartości
oczekiwanej na poziomie ufności 1-� a�.
Częstościowa interpretacja przedziałów ufności dla średniej
f ( x )
|
m� x
Rys. 1. Przykłady przedziałów dla m�. Spodziewamy się, że około
(1-a� )100% przedziałów pokrywa nieznaną wartość m� (interpretacja
rysunku na wykładzie).
Przykład.1. Załóżmy, że waga proszku do prania w pudełku, które napełniane
jest automatycznie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
Dokonano nowego ustawienia automatu dozującego proszek do prania, tak że
wartość oczekiwana wagi zawartości pudełka przy nowym ustawieniu nie jest
znana. W celu jej oszacowania pobrano próbę prostą -10 pudełek - uzyskując
następujące wyniki podane w gramach: 605, 601, 605, 599, 602, 597, 602, 603,
602, 600. Wyznacz realizację przedziału ufności dla średniej wagi w nowym
6
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
ustawieniu przy współczynniku ufności 0.95 przyjmując, że odchylenie
standardowe wagi proszku wynosi 2.4 g.
Dane: n=10, s� = 2.4, a� =� 0.05.
Założenia. Badana cecha ma rozkład normalny N(m�,2.4).
Estymujemy parametr m�. Wyliczenia:x =� 601.6,
Odczyt z tablicy rozkłady normalnego N(0,1) : u1-�0.025 =� 1.96
Podstawiając dane do wzoru na przedział ufności dla m�
s� s�
[X -� u1-�a� / 2 , X +� u1-�a� / 2 ]
n n
2.4 2.4
Otrzymujemy [X  1.96 , X + 1.96 ].
10 10
W tym przykładzie mamy następującą realizację przedziału ufności na
poziomie 0.95
2.4 2.4
[601.6  1.96 , 601.6 + 1.96 ]�[600.11,603.09]
10 10
Estymacja z zadaną precyzją. Przypadek a)
Niech 2d oznacza długość przedziału ufności na poziomie1-� a�
dla parametru m� w rozważanym modelu. Zatem
s�
2d = 2u1-�a� / 2
n
Stąd wynika, że
s�2u2
1-�a� / 2
n=� .
d2
�� Jeśli badacz może ustalać rozmiary próby (wielkość n), to
dla otrzymania przedziału ufności o zadanej długości, która
nie przekracza 2d (zadanej precyzji ), wystarczy rozważać
7
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
s�2u2-�a� / 2
1
próby o rozmiarze n ł� . Mówimy wówczas o
d2
estymacji z zadaną precyzją.
Przypadek 2. Populacja normalna N(m�,s�), nieznane m�,
nieznane s�
Niech X1,L�,Xn będzie próbą losową z tego rozkładu.
Przy konstrukcji przedziału ufności zamiast statystyki
X -� m�
U =�
s�
n
stosuje się statystykę
n
1
X -� m�
t =� gdzie S =� (Xi -� X)2
��
s
n -�1i=�1
n
Statystyka ta ma rozkład t-Studenta z (n-1) stopniami
swobody (por. definicji rozkładu t-Studenta). Postępując
podobnie jak w przypadku statystyki U, konstruujemy
przedział ufności dla średniej m� na zadanym poziomie ufności
1-� a� (dokładną konstrukcję zostawiamy jako ćwiczenie).
W tym przypadku otrzymujemy przedział
S S
[X -� t1-�a� / 2,n-�1 , X +� t1-�a� / 2,n-�1 ]
n n
gdzie t1-�a� / 2,n-�1 jest kwantylem rzędu 1- a� / 2 z rozkładu
t-Studenta o (n-1) stopniach swobody (kwantyle dla
8
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
rozkładów t-Studenta podane są w tablicach statystycznych).
Przykład 2.
Zauważono, że waga ludzi dorosłych odwiedzających pewną
przychodnię rodzinną ma rozkład normalny.
Postanowiono ocenić, na podstawie 15-elementowej próby prostej,
średnią wagę dorosłych pacjentów odwiedzających przychodnię.
Posłużono się metodą opartą na przedziałach ufności, przy
współczynniku ufności 0.95 i przy nieznanym odchyleniu
standardowym populacji. Podać realizację przedziału ufności dla
wartości oczekiwanej znając wyniki próby (dane w kg): 76, 82, 67,
52, 79, 86, 77, 70, 68, 76, 80, 74, 66, 60, 73.
Dane zadania: n=15, a� = 0,05, liczba stopni swobody =14.
Założenia. Cecha ma w populacji rozkład normalny o
nieznanych parametrach. Estymujemy wartość oczekiwaną m� .
Wyliczenia: x =� 72.4 , s = 8.84
Odczyt z tablic : t0.975,14 =� 2.145
Podstawienie do wzoru
8.84 8.84
[72.4 -� 2.145�� ,72.4 +� 2.145�� ]
15 15
Wniosek. Przedział (67.5,77.3) jest realizacją takiego
przedziału ufności, który z prawdopodobieństwem 0.95
pokrywa nieznaną wartość średniej wagi pacjenta w badanej
przychodni.
2. Przedziały ufności dla wariancji
Rozważmy ten sam model, który opisuje Przypadek 2.
Badana zmienna ma rozkład N(m�,s�), nieznane m�, nieznane s�.
Estymujemy s�2.
Niech X1,L�,Xn będzie próbą losową z tego rozkładu.
9
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Przy budowie przedziału ufności posłużymy się statystyką
(n -�1)S2
, która ma rozkład c�2(n -�1) (por. Wykład 3).
s�2
Niech c�a� / 2,n-�1 i c�1-�a� / 2,n-�1 oznaczają odpowiednie kwantyle
z rozkładu c�2(n -�1). Zatem
Pm�s�[c�a� / 2,n-�1 Ł� (n -�1)S2 / s�2 Ł� c�1-�a� / 2,n-�1] =�1-� a�
Stąd
ć�
(n -�1)S2 (n -�1)S2 ��
��
Pm�s��� Ł� s�2 Ł� =�1-� a�
��
c�1-�a� / 2,n-�1 c�a� / 2,n-�1 ��
Ł� ł�
Zatem przedziałem ufności dla s�2 jest
ć�
(n -�1)S2 (n -�1)S2 ��
�� ��
,
��
c�1-�a� / 2,n-�1 c�a� / 2,n-�1 ��
Ł� ł�
Natomiast przedział ufności dla odchylenia standardowego s�
przyjmuje postać
ć�
(n -�1)S2 (n -�1)S2 ��
�� ��
,
��
c�1-�a� / 2,n-�1 c�a� / 2,n-�1 ��
Ł� ł�
Przykład 3. W celu zbadania zróżnicowania płac (brutto) w
pewnej firmie wybrano losowo 20 pracowników i zbadano ich
miesięczne zarobki. Podać realizację 95% przedziału ufności
dla wariancji i odchylenia standardowego całej populacji
pracowników firmy, jeżeli wariancja (s2) obliczona z próby
wynosiła 0.313.
Dane: n = 20, = 0.05, s2 = 0.313.
Wartości kwantyli wyznaczonych z tablic wynoszą:
c�a� / 2,n-�1 =� 8.907, c�1-�a� / 2,n-�1 =� 32.852
10
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Zatem realizacja 95% przedziału ufności dla wariancji
to przedział:
ć�
(n -�1)s2 (n -�1)s2 �� 19��0.313 19��0.313
�� ��
, =� [ , ] � [0.18,0.668]
��
c�1-�a� / 2,n-�1 c�a� / 2,n-�1 �� 32.852 8.907
Ł� ł�
95% realizacją przedziału ufności dla odchylenia
standardowego jest przedział [0.424, 0.817].
3.Przedział ufności dla ilorazu wariancji
Rozważmy dwie niezależne próby X1,X2,L�,Xn
i Y1,Y2,L�,Ym gdzie Xi ~� N(m�X,s�X) Yi ~� N(m�Y,s�Y)
Załóżmy, że nieznane są parametry: m�X,s�X , m�Y,s�Y.
s�2
Y
Zbudujemy przedział ufności dla ilorazu
s�2
X
Zadanie takie pojawia się np. wówczas gdy chcemy porównać
dokładność pomiarów dokonanych dwoma przyrządami.
Statystyki X, i S2 określone dla próby X1,X2,L�,Xn oraz
X
Y, i S2 określone dla próby Y1,Y2,L�,Ym
Y
Z wykładu 3 wiadomo, że
S2 s�2
X Y
~�F(n-1,m-1)  rozkład F-Snedecora z
S2 s�2
Y X
(n-1)  stopniami swobody licznika i (m-1)- stopniami
swobody mianownika.
Niech f1 i f2 oznaczają odpowiednio kwantyle rzędu a� / 2
i 1-a� / 2 z rozkładu F(n-1,m-1).
f1 =� F(a� / 2,n-�1,m-�1), f2 =� F(1-�a� / 2,n-�1,m-�1)
Z definicji kwantyli mamy więc
11
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
S2 s�2
X Y
Pm� (f1 Ł� Ł� f2) = 1-� a�
xm� ys�xs�y
S2 s�2
Y X
Stąd po przekształceniu otrzymujemy
S2 s�2 S2
Y
Pm� (f1 Y Ł� Ł� f2 Y ) = 1-� a�.
xm� ys�xs�y
S2 s�2 S2
X X X
(Warto pamiętać (np. przy korzystaniu z tablic), że kwantyle
dowolnego ustalonego rozkładu F są związane zależnością
1/ , .
Ostatecznie przedział ufności na poziomie 1- dla ilorazu
s�2
Y
wariancji przybiera postać
s�2
X
S2 S2
[(f1 Y , f2 Y ]
S2 S2
X X
Przykład. Automat produkuje pewne detale, których długości
mają rozkład normalny. Dokonano nowego ustawienia
automatu. Zakładamy, że zmiana nie naruszyła typu rozkładu.
Zbudować 90% przedział ufności dla ilorazu wariancji
długości z ustawień po zmianie i przed zmianą , jeżeli w dwu
niezależnych próbkach o 10 pomiarach przed zmianą
ustawienia i 10 po zmianie, wariancje długości wynosiły
odpowiednio 4cm i 6cm.
Rozwiązanie. Niech oznacza wariancje w próbce przed
zmianą, po zmianie. Zatem =4,
12
Mat. Statystyka.Wykład 8. (2013 L) R. Rempała. Materiały dydaktyczne
Odczyt z tablic kwantyla rzędu 0.95 z rozkładu F-Snedecora dla
rzędu (9,9) daje: F(1-�a� / 2,9,9) =�2.98 . Zatem (F(1-�a� / 2,9,9))-�1 =� 0.33.
s�2
Y
Realizacją 90% przedziału ufności dla ilorazu wariancji
s�2
X
jest więc przedział [0.33 (6/4). 2.98 (6/4)]=[0.495, 4.47].
13