Met mat i stat w inz chem W 1

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
Wykład 1
Sprawy formalne
Cz. I. Przypomnienie elementarnych zagadnień z matematyki
Cz. II. Rozwiązywanie analityczne równań algebraicznych
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
Sprawy formalne:
Forma: Wykład w postaci prezentacji komputerowych
Wymiar: 14 h/semestr (2 h/co 2 tygodnie)
Czas i miejsce: ŚR N 13.15 15.00 s. 27 C-6
Wykład bez przerwy (do godz.14.45)
Przeznaczenie: studenci I roku Studium magisterskie (II go stopnia)
na Wydziale chemicznym i kierunku Inżynieria chemiczna i
procesowa
oraz inni studenci Politechniki Wrocławskiej
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
Sprawy formalne cd.:
Obecność: nieobowiązkowa (sprawdzana)
Obecność na wykładzie będzie premiowana dodatkowymi
punktami przy zaliczeniu: brak nieobecności 3 pkt.,
jedna nieobecność 2 pkt., dwie nieobecności 1 pkt.
Zaliczenie:
Test wielokrotnego wyboru na ostatnich zajęciach
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład
Sprawy formalne cd.:
Kontakt: p. 115 C-6, tel. 71-320-33-58
email: Antoni.Koziol@pwr.wroc.pl
Konsultacje:
Wtorek godz. 11 13
Środa godz. 11 13
Informacje internetowe:
www.prochembio.pwr.wroc.pl/studenci.html
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4
UWAGI OGÓLNE
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Struktura inżynierii chemicznej
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Uwagi ogólne
Inżynieria chemiczna jest nauką dosyć mocno
zmatematyzowaną tzn. matematyka odgrywa w niej
bardzo ważną rolę. Zasadniczo matematykę Państwo
poznali na kursach ściśle matematycznych (analiza
matematyczna i algebra liniowa). W ramach naszego
kursu będą Państwo poznawali te elementy
matematyki, które są szczególnie ważne dla inżynierii,
a które nie zawsze są odpowiednio eksponowane
przez matematyków.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Tematyka wykładów z Metod
matematycznych i statystycznych w
inżynierii chemicznej
Przypomnienie elementarnych wiadomości z algebry
liczby, funkcje i równania
Analityczne metody rozwiązywania równań algebraicznych
Numeryczne (przybliżone) metody rozwiązywania równań
liczbowych
Podstawowe pojęcia analizy pól skalarnych i wektorowych
Matematyczne opracowanie wyników doświadczalnych
Podstawowe pojęcia algebry i analizy zespolonej
Transformata Laplace a
Funkcje specjalne
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
LITERATURA
1. A. Kozioł: Materiały pomocnicze do wykładu. Internet.
2. T. Traczyk, M. Mączyński: Matematyka stosowana w
inżynierii chemicznej. WNT Warszawa 1970.
3. Z. Kosma: Metody numeryczne dla zastosowań
inżynierskich. Wydawnictwo Politechniki Radomskiej,
Radom 1999.
4. M. Huettner, M. Szembek, R. Krzywda: Metody numeryczne
w typowych problemach inżynierii procesowej. Oficyna
Wydawnicza Polit. Warsz. Warszawa 1997.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
LITERATURA
5. E. Kącki, L. Siewierski: Wybrane działy matematyki
wyższej z ćwiczeniami. PWN, Warszawa 1975.
6. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. J.
Wiley, New York 1993.
7. K. A. Stroud: Advanced Engineering Mathematics.
Industrial Press, New York 2003.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
PRZYPOMNIENIE PODSTAWOWYCH
POJĆ MATEMATYCZNYCH
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest pojęcie liczby.
Liczby tworzą pewne systemy (zbiory) nazywane przestrzeniami
algebraicznymi. W przestrzeniach algebraicznych kluczową rolę
odgrywają różne operacje na elementach nazywane działaniami.
Przypomnimy teraz najważniejsze rodzaje liczb i związanych z nimi
przestrzeni algebraicznych.
1. Liczby naturalne, N={1,2,3,& .}.
W zbiorze liczb naturalnych możliwe jest tylko dodawanie i
mnożenie.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
2. Liczby całkowite, I={& -2,-1,0,1,2& }.
W zbiorze liczb całkowitych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie oraz mnożenie.
3. Liczby wymierne, wŹ W<=>w=i1/i2, i1,i2Ź I, i2`"0.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postać ułamka dwu
liczb całkowitych. W zbiorze liczb wymiernych możliwe jest
dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
4. Liczby rzeczywiste, rŹ R.
Zbiór liczb rzeczywistych odgrywa podstawową rolę zarówno w
algebrze jak i analizie matematycznej. Dokładna definicja liczb
rzeczywistych jest dosyć trudna i nie będę jej tutaj podawał.
W zbiorze liczb rzeczywistych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie, mnożenie i dzielenie ( z wyjątkiem zera). Ze
względu na te działania zbiór liczb rzeczywistych jest tzw. ciałem
algebraicznym. Z pewnymi ograniczeniami w zbiorze liczb
rzeczywistych można definiować inne operacje algebraiczne takie
jak: potęgowanie i pierwiastkowanie.
Za pomocą liczb rzeczywistych opisujemy wielkości fizyczne
nazywane skalarami.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
5. Liczby zespolone, zŹ C
z=(x,y) x,yŹ R, i="(-1) jednostka urojona.
Liczby zespolone odgrywają ważną rolę w różnych modelach
matematycznych stosowanych w inżynierii. Zbiór liczb zespolonych,
podobnie jak zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem algebraicznym, w
którym możliwe są dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i
dzielenie. Liczby zespolone mają tradycyjną interpretację algebraiczną,
w której zapisywane są one jako suma dwu części: rzeczywistej
i urojonej
z x iy
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
Oprócz algebraicznej istnieje też geometryczna interpretacja
liczb zespolonych, w której liczby te są utożsamiane z punktami
na płaszczyznie:
z=x+iy
y
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje
Funkcją nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie pewnego elementu
yŹ Y elementowi xŹ D. Elementy x oraz y najczęściej są liczbami.
Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci:
y f (x)
Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji, natomiast zbiór D jest
to tzw. dziedzina funkcji. Zbiory D i Y mogą być podzbiorami
różnego rodzaju przestrzeni algebraicznych.
Elementy zbioru D nazywamy zmienną niezależną x.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje
y f (x)
x
y
D
Y
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Klasyfikacja funkcji
W zależności od typu zbiorów D i Y rozróżniamy funkcje:
1. Funkcje rzeczywiste gdy zarówno zbiory D jak i Y są zbiorami
liczb rzeczywistych. Są to najczęściej stosowane rodzaje funkcji.
2. Funkcje zespolone gdy zbiory D i Y są zbiorami liczb zespolonych.
3. Funkcje wektorowe gdy zbiory D i Y są zbiorami wektorowymi.
Czasami używane są funkcje, w których zbiory D i Y są różnego typu.
Przykładowo jeżeli D jest zbiorem liczb rzeczywistych a Y zbiorem
liczb zespolonych mówimy o funkcjach zespolonych zmiennej rzeczywistej.
Jeżeli natomiast D jest zbiorem liczb zespolonych a Y zbiorem liczb
rzeczywistych, mamy do czynienia z funkcjami rzeczywistymi zmiennej
zespolonej.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne
Z pośród wielu funkcji rzeczywistych wyróżniamy tzw. funkcje
elementarne, do których należą:
1. Funkcje algebraiczne. Są to funkcje zapisane za pomocą wzoru,
w którym występują tylko operatory algebraiczne tzn. dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie całkowite.
Przykłady funkcji algebraicznych:
y 2x 5
y 3x3 2x2 5
x
y
4x 3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
2. Funkcje potęgowe.
Są to funkcje, w których zmienna niezależna x występuje jako
podstawa podniesiona do potęgi ą (ą dowolna liczba naturalna,
całkowita, wymierna lub rzeczywista).
y x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
3. Funkcje wykładnicze. Są to funkcje, w których zmienna niezależna x
występuje w wykładniku potęgi jakiegoś wyrażenia. Dosyć często
podstawą takiej funkcji jest niewymierna liczba e. W takim przypadku
funkcję nazywamy ekspotencjalną i oznaczamy ją za pomocą symbolu:
y exp(x) ex
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
4. Funkcje logarytmiczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji
wykładniczych. Zmienna niezależna x występuje tutaj pod znakiem
logarytmu, najczęściej o podstawie e. W takim przypadku mamy do
czynienia z tzw. logarytmem naturalnym. Najprostsza funkcja
logarytmiczna ma zapis:
y ln( x) x ey
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
5. Funkcje trygonometryczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą
odpowiednich stosunków długości boków trójkąta prostokątnego.
Zmienną niezależną w tych funkcjach jest kąt w trójkącie wyrażony
w mierze łukowej. Najczęściej stosowane są podstawowe 4 funkcje
trygonometryczne:
y sin( x) y cos(x) y tan( x) y cot(x)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
6. Funkcje hiperboliczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą pewnych
kombinacji funkcji ekspotencjalnych.
x x
ex e ex e
sinh( x) cosh( x)
2 2
x x
sinh( x) ex e cosh( x) ex e
tanh( x) coth( x)
x x
cosh( x) ex e sinh( x) ex e
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
Wykresy funkcji hiperbolicznych:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji
Niektóre funkcje spełniają pewne szczególne własności pomocne
w ich zastosowaniu. Najważniejsze są następujące własności:
1. Parzystość. Funkcja f(x) jest parzysta jeżeli spełnia warunek:
f ( x) f (x)
Parzyste są np. funkcje: x2, cos(x), cosh(x). Wykresy funkcji
parzystych są symetryczne względem osi y.
2. Nieparzystość. Funkcja f(x) jest nieparzysta jeżeli spełnia
warunek:
f ( x) f (x)
Nieparzyste są np. funkcje: x3, sin(x), tan(x). Wykresy funkcji
nieparzystych są symetryczne względem początku układu
współrzędnych.
Uwaga. Większość funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji cd.
3. Okresowość. Funkcja f(x) jest okresowa jeżeli spełnia warunek:
f (x) f (x x0)
Stałą wartość x0 nazywamy okresem funkcji. Okresowe są
wszystkie funkcje trygonometryczne. Okres funkcji sinus i kosinus
wynosi 2Ą a funkcji tanges i kotanges Ą.
4. Monotoniczność. Mówimy że funkcja jest monotoniczna jeżeli
jest ona w całym rozważanym przedziale albo rosnąca albo
malejąca. Funkcje które posiadają ekstrema tzn. maksima
lub minima nie są monotoniczne.
Monotoniczne są np. funkcje 2x, x3, ex. Funkcje trygonometryczne
są monotoniczne tylko w ograniczonych przedziałach.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA
Olbrzymią rolę w zastosowaniach matematyki odgrywają wszelkiego
rodzaju równania.
Równaniem nazywamy formułę, w której po dwu stronach równości
występują różne wyrażenia. W wyrażeniach tych występują pewne
nieznane obiekty które oznaczymy ogólnie {x} oraz znane parametry
które oznaczymy jako {a}. Ogólną postać równania możemy zapisać
następująco:
W1[{x},{a}] W2[{x},{a}]
lub prościej po przeniesieniu jednego z wyrażeń na drugą stronę:
W[{x},{a}] 0
W zależności od rodzaju obiektów {x} i {a} mamy różne rodzaje równań.
Najprostsze są równania liczbowe, w których niewiadoma jest jedna lub
kilka liczb zwanych pierwiastkami równania. Parametry {a} stanowią
w takim przypadku układ znanych liczb. W wyrażeniu W występują
operatory algebraiczne (działania) oraz na ogół funkcje elementarne.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Część II wykładu 1
Rozwiązywanie równań algebraicznych
Rozwiązywanie układów równań
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA LICZBOWE
Równania liczbowe mogą mieć jedną lub więcej niewiadomych.
Ogólną postać równania liczbowego z jedną niewiadomą możemy
zapisać w postaci:
F(x,a1,a2,...an) 0
W zależności od funkcji występujących w równaniu, równania
dzielimy na algebraiczne, wymierne i przestępne. Równanie
algebraiczne ma postać:
anxn an 1xn 1 an 2xn 2 ... a0 0 an 0
Mówimy, że równanie takie jest stopnia n. Najprostsze są równania
algebraiczne stopnia 1 liniowe i 2 kwadratowe. Parametry równania
algebraicznego nazywamy współczynnikami. Najczęściej współczynniki
są liczbami rzeczywistymi. Ogólnie równanie algebraiczne ze współczynnikami
rzeczywistymi stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Równanie stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej 1 pierwiastek.
Równanie stopnia parzystego może nie mieć w ogóle pierwiastków
rzeczywistych.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ROZWIZYWANIE RÓWNAC
Rozwiązanie równania liczbowego polega na znalezieniu wszystkich
wartości x1, x2, & xn spełniających dane równanie. Rozwiązywanie
równań może być analityczne (dokładne), gdy pierwiastki równania
mogą być przedstawione za pomocą wzoru:
x (a1,a2,...an)
Analitycznie można rozwiązywać wszystkie równania algebraiczne do stopnia 4,
niektóre równania algebraiczne wyższych stopni oraz niektóre równania
przestępne.
Druga grupa metod rozwiązywania równań są to metody przybliżone,
często określane jako tzw. metody numeryczne. Metody te polegają
na konstrukcji pewnego ciągu nieskończonego, którego granicą jest szukany
pierwiastek danego równania.
x1, x2,...xi,... x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH
1. Równania 1 go stopnia (liniowe).
a1x a0 0
a0
x
a1
2. Równania 2 go stopnia (kwadratowe)
a2x2 a1x a0 0
2
a1 4a0a2
a1 a1
x1 x2
2a2 2a2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
3. Równania 3 go stopnia (kubiczne).
a3y3 a2 y2 a1y a0 0
a2
y x
Podstawienie 3a3 prowadzi do równania z dwoma
parametrami p i q:
x3 px q 0 gdzie
3
2
3a3a1 a2 a0 a1a2 2 a2
p q
2 2
3a3 a3 3a3 27 a3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
Równania 3 go stopnia cd.
Otrzymane po podstawieniu równanie rozwiązuje się w zależności
od wartości wyróżnika " zdefiniowanego wzorem:
3 2
p q
3 2
Mogą zachodzić 3 przypadki:
I. Równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy
0
obliczyć za pomocą wzoru Cardana (lub Tartagli):
q q
3 3
x
2 2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
0 Równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
II.
obliczyć za pomocą wzorów:
q 0
p
x1 x2 3 4q dla q 0
3
p
x1 x2 3 4q dla q 0
3
Równanie ma 1 (potrójny) pierwiastek
0 q 0
rzeczywisty:
x 0 dla q 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
Równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
0
III.
obliczyć za pomocą wzorów:
2 4
x1 2r cos x2 2r cos x2 2r cos
3 3 3
p q
gdzie : r arccos
3 2r3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
Przykłady liczbowe rozwiązywania równań kubicznych
P1:
y3 2y2 2y 3 0
2 2
Podstawienie y x x
3 3
Obliczając parametry p i q:
2
3a3a1 a2 3 1 ( 2) ( 2)2 10
p
2
3a3 3 12 3
3
3
a0 a1a2 2 a2 3 2 ( 2) 2 2 133
q
2
a3 3a3 27 a3 1 3 27 1 27
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
10 133
x3 x 0
3 27
Teraz obliczamy wyróżnik ":
3 2 3 2
p q 10 133 169 13
0
3 2 3 3 2 27 36 6
Równanie ma zatem 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy obliczyć
za pomocą wzoru Cardano:
133 13 133 13 7
3 3
x
2 27 6 2 27 6 3
Pierwiastek wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
2 7 2
y x 3
3 3 3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
P2:
y3 8y2 20y 16 0
8 8
Podstawienie y x x
3 3
Obliczając parametry p i q:
2
3a3a1 a2 3 1 (20) ( 8)2 4
p
2
3a3 3 12 3
3
3
a0 a1a2 2 a2 16 20 ( 8) 2 8 16
q
2
a3 3a3 27 a3 1 3 27 1 27
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
4 16
x3 x 0
3 27
Teraz obliczamy wyróżnik ":
3 2 3 2
p q 4 16
0
3 2 3 3 2 27
Równanie ma zatem 2 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów dla q<0:
p 4 2 16 4
3
x1 x2 3 4q 4
3 3 3 3 27 3
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
8 2 8 8 4 8
y1 x1 2 y2 x2 4
3 3 3 3 3 3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
P3: 8y3 20y2 194y 91 0
Podstawienie
a2 20 5
y x x x
3a3 3 8 6
prowadzi do równania z parametrami p i q:
2
3a3a1 a2 3 8 ( 194) ( 20)2 79
p
2
3a3 3 82 3
3
3
a0 a1a2 2 a2 91 194 ( 20) 2 20 884
q
2
a3 3a3 27 a3 8 3 82 27 8 27
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
79 884
x3 x 0
3 27
Teraz obliczamy wyróżnik ":
3 2 3 2
pq 79 884 1225
3 2 3 3 2 27 3
0
Równanie ma zatem 3 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów :
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
p 79 79
r
3 3 3 3
q 884
arccos arccos 0.889913
2r3
2 27( 79 / 3)3
79 0.889913 17
x1 2r cos 2 cos
3 3 3 3
2 79 0.889913 2 13
x2 2r cos 2 cos
3 3 3 3
2 79 0.889913 4 4
x2 2r cos 2 cos
33 33
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
5 17 5 13
y1 x1
6 3 6 2
5 13 5 7
y2 x2
6 3 6 2
5 4 5 4
y3 x3
6 3 6 3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
4. Równania 4 go stopnia .
a4x4 a3y3 a2 y2 a1y a0 0
Podzielenie równania przez a4 prowadzi do równania z czterema
parametrami b, c, d i e:
x4 bx3 cx2 dx e 0
a3 a2 a1 a0
gdzie:
b c d d
a4 a4 a4 a4
Jedna z metod analitycznych rozwiązania tego równania jest
następująca:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
W kroku 1 znajdujemy dowolny pierwiastek rzeczywisty z równania
3 go stopnia:
2
8z3 4cz2 (2bd 8e)z e(4c b2) d 0
W kroku 2� rozwiązujemy 2 równania kwadratowe
gdzie:
b A1 bz d
x2 x z 0
2 A1
A1 8z b2 4c
A2 A1
b A2 bz d
x2 x z 0
2 A2
Pierwiastki tych równań kwadratowych są szukanymi pierwiastkami
równania 4 tego stopnia.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
Przykład rozwiązania równania 4 tego stopnia:
x4 7x3 5x2 31x 30 0
b 7 c 5 d 31 e 30
W kroku 1� znajdujemy równanie 3 go stopnia:
a3 8 a2 20
4c
2
a1 2bd 8e 194 a0 e(4c b2) d 91
8z3 20z2 194z 91 0
Równanie to rozwiązaliśmy jako przykład P3. Jednym z pierwiastków
rzeczywistych był z1=13/2. Na podstawie tego pierwiastka
w kroku 2� znajdujemy współczynniki równań kwadratowych:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC ALGEBRAICZNYCH cd.
A1 8z1 b2 4c 9 A2 9
b A1 bz1 d
b1 1 c1 z1 2
2 A1
b A2 bz1 d
b2 8 c2 z1 15
2 A2
Końcowe równania kwadratowe oraz ich pierwiastki mają postać:
x2 x 2 0 9 3 x1 2 x2 1
x2 8x 15 0 4 2 x3 3 x4 5
Znalezione pierwiastki są równocześnie pierwiastkami
wyjściowego równania 4 tego stopnia.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
To tyle jak na początek.
Dziękuję bardzo Państwu
za uwagę !
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Met mat i stat w inz chem W 2
Met mat i stat w inz chem W 3
Met mat i stat w inz chem W 5
Met mat i stat w inz chem W 4
Met mat i stat w inz chem W 6
Mat Stat WykĹ? 2 ( 2013L)
Mat Stat WykĹ? 3 (2013L)(1)
ICh S Inz chem wstep
Mat Stat WykĹ 7b Es c d (2013L)
Mat Stat WykĹ? 4 5a 2013
Mat Stat WykĹ 6 7 Est c d (2013L)
Mat Stat WykĹ? 5 Ws Estym ( 2013L)
Mat Stat Wyk 8 PrzedziaĹ y(2013L)
Mat Stat WykĹ? 1 ( 2013L)
INZ MAT!!!!!!!!!!!!!!!!
Materialy do seminarium inz mat czesc III
stat biot wyklady z mat
Przykladowe zadania stat mat

więcej podobnych podstron