Met mat i stat w inz chem W 2

MATEMATYKA STOSOWANA
W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład 2
Układy równań metody analityczne
Metody numeryczne rozwiązywania
równań liczbowych
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół
n niewiadomych.
Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:
F1(x1, x2,..., xn) 0
F2(x1, x2,..., xn) 0
Fn(x1, x2,..., xn) 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Przykładowy układ równań
2 3
F1(x1, x2, x3) x1 x2 x3 61.4411ln( x1 x2 x3) 0
F2(x1, x2, x3) x1 sin( x2 x3) 0.989351 0
1
F3(x1, x2, x3) ex x2 1.33904x1x2x3 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:
r�
r�
r�
F(x) 0
r�
F [F1, F2,...Fn] funkcjawektorowa
r�
x [x1, x2,...xn] wektorniewiadomych
r�
0 [0,0,...0] wektorzerowy
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Analityczne rozwiązanie układów jest możliwe w rzadkich przypadkach,
gdy za pomocą różnych przekształceń można układ sprowadzić do równania
algebraicznego stopnia co najwyżej 4.
Przykład:
22
x1 x2 13
2
2x1 x1 x2 3
Wyznaczając z drugiego równania x2 i podstawiając do równania pierwszego
otrzymujemy równanie 4 tego stopnia:
4 3 2
4x1 4x1 10x1 6x1 4 0
Równanie to ma dwa pierwiastki rzeczywiste: x1,1=2 x1,2=-1.537
Podstawienie tych wartości do drugiego równania daje x2,1=3 x2,2=3.2616
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC LINIOWYCH
Stosunkowo często w wielu zastosowaniach występują układy równań liniowych.
Układy takie można rozwiązywać analitycznie za pomocą wielu metod.
Układ równań liniowych można zapisać następująco:
a11x1 a12x2 ... a1nxn w1
a21x1 a22x2 ... a2nxn w2
an1x1 an2x2 ... annxn wn
Współczynniki liczbowe występujące po lewej stronie tworzą tzw. macierz
główną układu. Liczby po prawej stronie tworzą tzw. wektor wyrazów wolnych.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC LINIOWYCH
Układ równań liniowych ma jednoznaczne rozwiązanie wtedy, gdy wyznacznik
macierzy głównej jest różny od zera.
Spośród wielu metod analitycznych rozwiązywania układów liniowych
przypominam metodę wyznacznikową Cramera:
Zgodnie z tą metodą rozwiązanie liniowego układu równań jest dane
za pomocą wzorów:
det(A1) det(A2) det(An)
x1 x2 xn
....
det(A) det(A) det(A)
gdzie:
A macierz główna układu
Ai macierz główna, w której i - tą kolumnę zastąpiono wektorem
wyrazów wolnych
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Numeryczne metody rozwiązywania
równań liczbowych
1. Uwagi ogólne
2. Błąd pierwiastka i równania
3. Metoda bisekcji
4. Metoda regula falsi
5. Metoda siecznej
6. Metoda Newtona (stycznej)
7. Metoda iteracji prostej
8. Numeryczne rozwiązywanie układów
równań
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
Załóżmy że mamy do rozwiązania równanie:
F(x) G(x)
Numeryczne rozwiązywanie tego równania polega na konstrukcji ciągu
liczbowego zbieżnego do szukanego pierwiastka:
{x(i)} x(1), x(2),..., x(i),...
(i)
szukany pierwiastek równania.
lim(x ) x
i
F(x ) G( x )
� Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
W związku z tym, że w praktyce zamiast granicy należy przyjąć konkretny,
skończony wyraz ciągu, w metodach numerycznych dużą rolę odgrywa
zagadnienie dokładności obliczeń lub też błędu pierwiastka lub równania.
Błędem pierwiastka będziemy nazywać wartość absolutną różnicy
rzeczywistego pierwiastka x* a konkretnym wyrazem xi ciągu liczbowego
kończącym konstrukcję:
(i)
x x(i)
x
Błędem równania nazywamy wartość absolutną różnicy rzeczywistych
wartości funkcji F i G w punkcie xi:
(i)
F(x(i)) G(x(i))
y
� Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 10
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
Pojęcia błędu pierwiastka i równania dla równania F(x)=0
można pokazać graficznie:
(i)
x x(i)
x
y
y=F(x)
xi
x
x*
F(xi)
(i)
F(x(i))
y
� Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 11
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
Konstrukcję ciągu {xi} kończy się gdy błąd pierwiastka lub błąd równania
(lub obydwu wartości) będzie mniejszy od z góry zadanej liczby dodatniej �.
(i)
x
(i)
lub
y
(i) (i)
lub ( )
x y
� Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, prof. Antoni Kozioł 12
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
Istnieje kilka metod przybliżonego (numerycznego) rozwiązywania
równań z jedną niewiadomą. Tutaj zaprezentuję Państwu 5 takich metod.
Wszystkie metody zostaną przedstawione w postaci algorytmów
(przepisów) za pomocą kolejnych kroków.
1. Metoda połowienia przedziału (bisekcji)
Metodę stosujemy do równania postaci:
F(x) 0
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a0,b0],
w którym funkcja F(x) ma na brzegach przedziału różne
znaki czyli spełnia warunek:
F(a0) F(b0) 0
Jeżeli funkcja F jest ciągła to wiemy wtedy że pierwiastek
znajduje się w przedziale [a0,b0].
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC
Krok 2 - Dzielimy przedział na pół tzn. zakładamy że pierwszym
przybliżeniem pierwiastka jest środek przedziału:
b0 a0 a0 b0
x1 a0
2 2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda bisekcji cd.
Krok 3 - Badamy znak funkcji F(x) w punkcie x1 i porównujemy ze
znakami tej funkcji na brzegach przedziału. Porównanie to
daje nam informację, w której połówce znajduje się szukany
pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie znaki na brzegach są
różne. Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury
bierzemy odpowiednią połówkę. W tym celu środek przedziału
podstawiamy jako brzeg b1 lub a1.
F(x1) F(a0) 0 (b1 : x1) (a1 : a0)
F(x1) F(b0) 0 (a1 : x1) (b1 : b0)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda bisekcji cd.
Krok 4 - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na pół
i znajdujemy drugie przybliżenie pierwiastka x2. Następnie
powtarzamy krok 3 itd.
Powstaję w ten sposób typowa pętla numeryczna,
którą przerywamy wtedy gdy osiągniemy żądaną dokładność
obliczeń. Żądaną dokładność obliczeń na ogół określa się
wybierają pewną dostatecznie małą dodatnią liczbę �,
np. � =10-6. Pętla kolejnych obliczeń zostaje przerwana, gdy
długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od zadanej
dokładności, tzn.:
(bn an) x xn
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda bisekcji cd.
W przypadku metody bisekcji można z góry określić liczbę kroków
wymaganą do osiągnięcia żądanej dokładności. Konstrukcja metody
prowadzi do wzoru:
b0 a0
n lg
2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda bisekcji cd.
Graficzna ilustracja metody bisekcji:
y
F(b0)
y=F(x)
a0 x1
x
b0
x2
x*
F(a0)
Metoda bisekcji jest zawsze zbieżna, pod warunkiem znalezienia
przedziału [a0,b0]
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda regula falsi
2. Metoda regula falsi
Metodę stosujemy do równania postaci:
F(x) 0
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przedział [a0,b0],
w którym znajduje się szukany pierwiastek x*.
Funkcja F(x) ma wtedy na brzegach przedziału różne znaki
czyli musi spełniać warunek:
F(a0) F(b0) 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda regula falsi
Krok 2 - Zakładamy, że w przedziale tym funkcja jest liniowa.
Prowadzi to do następującego wzoru określającego pierwsze
przybliżenie pierwiastka:
a0F(b0) b0F(a0)
x1
F(b0) F(a0)
Otrzymany punkt x1 dzieli pierwotny przedział na dwa na ogół
nierówne podprzedziały. W jednym z tych podprzedziałów będzie
się znajdował szukany pierwiastek.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 20
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda regula falsi cd.
Krok 3 - Obliczamy wartość funkcji F(x) w punkcie x1 a znak tej wartości
porównujemy ze znakami tej funkcji na brzegach przedziału.
Porównanie to daje nam informację, w którym podprzedziale
znajduje się szukany pierwiastek. Jest on zawsze tam gdzie
znaki na brzegach są różne.
Po tej lokalizacji pierwiastka do dalszej procedury wybieramy
odpowiedni podprzedział. W tym celu obliczony punkt x1
podstawiamy jako brzeg b1 lub a1.
F(x1) F(a0) 0 (b1 : x1) (a1 : a0)
F(x1) F(b0) 0 (a1 : x1) (b1 : b0)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda regula falsi cd.
Krok 4 - Wracamy do kroku 2 tzn. nowy przedział dzielimy na dwie
części za pomocą założenia liniowości i znajdujemy drugie
przybliżenie pierwiastka x2.
Wzór wynikający z tego założenia dla i tego przybliżenia
jest następujący:
ai 1F(bi 1) bi 1F(ai 1)
xi
F(bi 1) F(ai 1)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 22
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda regula falsi cd.
Następnie powtarzamy krok 3� itd. Pętla kolejnych obliczeń zostaje
przerwana, gdy długość aktualnego przedziału będzie mniejsza od
zadanej dokładności, tzn.:
(bn an) x xn
W przypadku metody regula falsi nie można z góry określić liczby
kroków koniecznych do osiągnięcia żądanej dokładności.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda regula falsi cd.
Graficzna ilustracja metody regula falsi :
y
F(b0)
y=F(x)
a0 x1
x
b0
x*
x2
F(a0)
Metoda regula falsi podobnie jak metoda bisekcji jest zawsze zbieżna,
pod warunkiem znalezienia przedziału [a0,b0]
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 24
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda siecznej
3. Metoda siecznej
Metodę stosujemy do równania postaci:
F(x) 0
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy dwie różne
liczby a i b leżące w pobliżu szukanego pierwiastka x*.
Następnie obliczamy wartości funkcji F(a) i F(b).
W zależności od tych wartości określamy dwa pierwsze
przybliżenia x1 i x2:
F(a) F(b) (x1 : a) (x2 : b)
F(a) F(b) (x1 : b) (x2 : a)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda siecznej
Krok 2 - Na podstawie znajomości wartości funkcji w dwu poprzednich
przybliżeniach obliczmy wartość kolejnego przybliżenia stosując
wzór zakładający liniową postać funkcji (prowadzimy sieczną
przez te punkty stąd nazwa metody) :
xi 1F(xi 2) xi 2F(xi 1)
xi
F(xi 2) F(xi 1)
Otrzymujemy w ten sposób ciąg kolejnych wartości pierwiastka
x1,x2,& xi,&
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 26
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda siecznej cd.
W celu oszacowania dokładności na każdym etapie obliczamy wartość
szacunkowego błędu :
xi xi 1
i
Na ogół pętlę obliczeń przerywa się gdy:
i
Metoda siecznej może być rozbieżna tzn. kolejne błędy mogą
wzrastać. W takim przypadku należy zmienić punkty startowe
lub metodę.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 27
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC metoda siecznej cd.
Graficzna ilustracja metody siecznej:
y
F(x1)
x*
y=F(x) F(x2)
x
x2 x1
x3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 28
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda Newtona (stycznej)
4. Metoda Newtona (stycznej)
Metoda ta jest bardzo znana i często stosowana.
Metodę stosujemy do równań w postaci:
F(x) 0
Warunkiem stosowalności metody jest różniczkowalność
funkcji F w pobliżu pierwiastka.
Ponadto wartość pochodnej funkcji F musi być różna od zera.
Oznacza to, że metoda nie nadaje się do równań, w których
pierwiastek jest jednocześnie ekstremum lub punktem
przegięcia.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda Newtona (stycznej)
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość
pierwiastka x1 oraz przyjmujemy że i=1
Krok 2 - Różniczkujemy funkcję F(x) i obliczamy pochodną F (xi)
Krok 3 - Obliczamy przybliżenie następne xi+1 za pomocą wzoru
iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego xi)
F(xi )
xi 1 xi
F'(xi )
Istotą metody Newtona jest przyjęcie że funkcja ma w pobliżu
pierwiastka przebieg liniowy zbliżony do stycznej jej wykresu
w punkcie xi. Wzór powyższy wynika z tego założenia.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda Newtona (stycznej)
Krok 4 - Obliczamy różnicę |xi+1-xi| i porównujemy ją z zadaną
dokładnością �.
Krok 5 - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to
zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 3 .
Obliczenia przerywamy po uzyskaniu zadanej dokładności.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 31
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda Newtona cd.
Graficzna ilustracja metody stycznej:
y
x*
F(x1)
y=F(x)
x
x1
x2
x3
F(x1) F(x1)
F'(x1) x2 x1
x1 x2 F'(x1)
Metoda Newtona może być rozbieżna. W takim przypadku należy albo
poszukać nowego przybliżenia początkowego albo przekształcić równanie
do innej postaci albo też zmienić metodę.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 32
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda iteracji prostej
5. Metoda iteracji prostej Jest to najprostsza z istniejących metod
numerycznych.
x f (x)
Metodę stosujemy do równań postaci:
Krok 1 - Za pomocą dowolnej metody znajdujemy przybliżoną wartość
pierwiastka x1 oraz przyjmujemy że i=1
Krok 2 - Obliczamy przybliżenie następne xi+1 za pomocą wzoru
iteracyjnego (na podstawie przybliżenia poprzedniego xi)
będącego bezpośrednim zapisem równania:
xi 1 f (xi )
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda iteracji prostej
Krok 3 - Obliczamy różnicę |xi+1-xi| i porównujemy ją z zadaną
dokładnością �.
Krok 4 - Jeżeli aktualna dokładność jest mniejsza od założonej to
zwiększamy numer i o 1 i wracamy do kroku 2 . Obliczenia
przerywamy po osiągnięciu zadanej dokładności.
Również metoda iteracji prostej dosyć często jest rozbieżna. W takim
przypadku zmiana przybliżenia początkowego nic nie daje. Należy albo
przekształcić równanie do innej postaci albo też zmienić metodę.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 34
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda iteracji prostej cd.
Za pomocą ilustracji graficznej można pokazać przypadki, w których
metoda ta jest zbieżna lub rozbieżna. Rozpatrzmy najpierw funkcje
rosnące.
y=f(x)
y
y=x
y
y=x
y=f(x)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x*
x x
x*
x1 x2 x3
x3 x2 x1
Metoda zbieżna
Metoda rozbieżna
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 35
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda iteracji prostej cd.
A teraz funkcje malejące.
y
y=x
f(x1)
y=f(x)
y
y=x
f(x1)
y=f(x)
f(x2)
f(x2)
x3
x
x2 x
x1 x*
x3
x2
x1
x*
Metoda zbieżna
Metoda rozbieżna
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 36
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
RÓWNAC Metoda iteracji prostej cd.
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna to można w prosty sposób określić
zbieżność metody iteracji prostej. O zbieżności metody decyduje
następujące twierdzenie:
Jeżeli w pobliżu pierwiastka równania x=f(x) pochodna funkcji f spełnia
warunek:
1 f '(x) 1
to metoda jest zbieżna. Jeżeli natomiast
f '(x) 1
to metoda jest rozbieżna.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 37
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Układem równań nazywamy n równości, w których występuje na ogół
n niewiadomych.
Każdy układ równań daje się sprowadzić do postaci:
F1(x1, x2,..., xn) 0
F2(x1, x2,..., xn) 0
Fn(x1, x2,..., xn) 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 38
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Przykładowy układ równań
2 3
F1(x1, x2, x3) x1 x2 x3 61.4411ln( x1 x2 x3) 0
F2(x1, x2, x3) x1 sin( x2 x3) 0.989351 0
1
F3(x1, x2, x3) ex x2 1.33904x1x2x3 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 39
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej:
r�
r�
r�
F(x) 0
r�
F [F1, F2,...Fn] funkcjawektorowa
r�
x [x1, x2,...xn] wektorniewiadomych
r�
0 [0,0,...0] wektorzerowy
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 40
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Układy podobnie jak pojedyncze równania można rozwiązywać metodami
analitycznymi (dokładnymi) lub numerycznymi (przybliżonymi).
Analitycznie można rozwiązywać np. układy równań liniowych lub
niektóre proste układy nieliniowe.
W metodach numerycznych konstruuje się ciąg wektorów zbieżny do
wektora pierwiastków niewiadomych. W związku z tym, że jest to ciąg
wektorowy, charakter wektorowy ma również dokładność pierwiastka
i dokładność równań.
r�(i)
(i) (i) (i) ( ( (
[ , ,..., ] [ x1 x1i) , x2 x2i) ,..., xn xni) ]
x x1 x2 xn
r�(i)
r� r� r�
(i) (i) (i)
[ , ,..., ] [ F1(x(i)) , F2(x(i)) ,..., Fn(x(i)) ]
y y1 y2 yn
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 41
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
W celu stwierdzenia kiedy należy zakończyć konstrukcję ciągu rozwiązań
konieczne jest znormalizowanie (czyli zmierzenie ) powyższych wektorów.
Najczęściej stosowane są dwie normy: jednostajna i średniokwadratowa.
Stosowanie normy jednostajnej jest bardziej rygorystyczne niż normy
średniokwadratowej, tzn. że norma jednostajna zazwyczaj prowadzi do
dłuższych obliczeń.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 42
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Norma jednostajna:
r�
j
max( )
1 j n
Norma średniokwadratowa:
n
r�
1
2
j
2
n
j 1
Rozważmy przykładowy wektor:
[0.1 ,0.01 ,0.001]
max(0.1 ,0.01 ,0.001) 0.1
1
(0.12 0.012 0.0012) 0.058026
2
3
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 43
ROZWIZYWANIE UKAADÓW
RÓWNAC
Konstrukcja ciągu rozwiązań jest przerywana gdy norma wybranej
dokładności (pierwiastka lub równania) staje się mniejsza lub równa
zadanej dokładności obliczeń � czyli:
(i) (i)
lub
x y
albo
(i) (i)
( )
x y
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 44
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
1. Metoda iteracji prostej.
Aby zastosować tę metodę układ równań należy przekształcić
do postaci:
r�
r� r�
x f (x)
W pierwszym kroku trzeba znalezć pierwsze przybliżenie wektora
niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych.
Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy bezpośrednio za pomocą równania tzn.:
r�
r� r�
x(i) f (x(i 1))
Metoda jest zbieżna gdy ciąg norm wektora dokładności jest zbieżny do zera.
Na ogół jednak metoda iteracji prostej nie jest zbieżna.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 45
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Spróbujmy rozwiązać metodą iteracji prostej nasz przykładowy
układ równań:
2 3
F1(x1, x2, x3) x1 x2 x3 61.4411ln( x1 x2 x3) 0
F2(x1, x2, x3) x1 sin( x2 x3) 0.989351 0
1
F3(x1, x2, x3) ex x2 1.33904x1x2x3 0
Za pomocą prostych przekształceń układ ten można doprowadzić do postaci:
0.989351
x1 f1(x1, x2, x3)
sin( x2 x3)
ln(1.33904x1x2x3)
x2 f2(x1, x2, x3)
x1
2
3
x3 f3(x1, x2, x3) 61.4411ln( x1 x2 x3) x1 x2
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 46
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:
( ( (
x10) 0.9 x20) 2.9 x30) 4.9
Za pomocą wzorów określających postać iteracyjną układu można obliczyć
kolejne wektory rozwiązania:
( ( (
x11) 0.990794 x21) 3.15615 x31) 4.98139
( ( (
x12) 1.0305 x22) 3.066 x32) 4.9989
( ( (
x13) 1.01177 x23) 2.9613 x33) 5.0029
( ( (
x14) 0.9954 x24) 2.9644 x34) 5.0073
( ( (
x15) 0.9955 x25) 2.9974 x35) 4.9993
Widzimy że metoda jest zbieżna a wektor rozwiązań wynosi:
x1 1.0 x2 3.0 x3 5.0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 47
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
2. Metoda Newtona - Raphsona.
Jest to adaptacja metody stycznej do układów równań.
Metodę stosuje się do układu w postaci:
r�
r�
r�
F(x) 0
W pierwszym kroku trzeba znalezć pierwsze przybliżenie wektora
niewiadomych czyli startowe wartości wszystkich niewiadomych.
Kolejne wyrazy ciągu znajdujemy za pomocą następującej procedury:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
r�(i)
r� r�
x(i) x(i 1) gdzie
r�(i)
(i) (i) (i) - wektor przyrostów wyznaczany za
[ , ,..., ]
1 2 n
pomocą układu równań liniowych
w zapisie macierzowym:
r� r�(i) r�
r� r�
F'(x(i 1)) F(x(i 1))
F oznacza macierz kwadratową pochodnych cząstkowych funkcji
wektorowej F.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 49
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Pełny zapis tego pomocniczego układu równań jest następujący:
r� r� r�
F1(x(i 1)) F1(x(i 1)) F1(x(i 1)) r�
(i) (i) (i)
... F1(x(i 1))
1 2 n
x1 x2 xn
r� r� r�
F2(x(i 1)) F2(x(i 1)) F2(x(i 1)) r�
(i) (i) (i)
... F2(x(i 1))
1 2 n
x1 x2 xn
......................................................................................................
r� r� r�
Fn (x(i 1)) Fn(x(i 1)) Fn(x(i 1)) r�
(i) (i) (i)
... Fn (x(i 1))
1 2 n
x1 x2 xn
Proces konstrukcji ciągu rozwiązań przerywamy gdy norma
(średniokwadratowa lub jednostajna) wektora przyrostów osiągnie zadaną
n
dokładność �.
2
1
(i) (i)
j
2
n
j 1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 50
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Rozwiążmy za pomocą metody Newtona Raphsona nasz przykładowy
układ równań.
Załóżmy że początkowy wektor rozwiązań wynosi:
( ( (
x10) 0.8 x20) 2.7 x30) 5.5
Podstawiając te wartości do zasadniczego układu równań liniowych
otrzymujemy wektor przyrostów ":
(1)
[0.323508 ,0.671782 , 0.422735]
Dodając odpowiednie przyrosty otrzymujemy poprawiony wektor
rozwiązań:
( ( (
x11) 1.12351 x21) 3.37178 x31) 5.07724
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 51
NUMERYCZNE ROZWIZYWANIE
UKAADÓW RÓWNAC
Podstawieniu nowych wartości prowadzi do drugiego wektora ":
(2)
[ 0.116344, 0.17273, 0.073858]
co daje kolejny wektor rozwiązań:
( ( (
x12) 1.00716 x22) 3.19905 x32) 5.0034
i dalej:
(3)
[ 0.01354, 0.1583, 0.002946]
( ( (
x13) 0.99362 x23) 3.0408 x33) 5.00044
(4)
[0.00585, 0.03925, 0.00044]
( ( (
x14) 0.99948 x24) 3.0015 x34) 5.00000
Widzimy, że w czwartej iteracji otrzymaliśmy dokładność
rzędu jednej tysięcznej.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 52

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Met mat i stat w inz chem W 1
Met mat i stat w inz chem W 3
Met mat i stat w inz chem W 5
Met mat i stat w inz chem W 4
Met mat i stat w inz chem W 6
Mat Stat WykĹ? 2 ( 2013L)
Mat Stat WykĹ? 3 (2013L)(1)
ICh S Inz chem wstep
Mat Stat WykĹ 7b Es c d (2013L)
Mat Stat WykĹ? 4 5a 2013
Mat Stat WykĹ 6 7 Est c d (2013L)
Mat Stat WykĹ? 5 Ws Estym ( 2013L)
Mat Stat Wyk 8 PrzedziaĹ y(2013L)
Mat Stat WykĹ? 1 ( 2013L)
INZ MAT!!!!!!!!!!!!!!!!
Materialy do seminarium inz mat czesc III
stat biot wyklady z mat
Przykladowe zadania stat mat

więcej podobnych podstron