MATEMATYKA STOSOWANA W
INŻYNIERII CHEMICZNEJ
Wykład  5
Elementy algebry i analizy zespolonej
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ALGEBRA ZESPOLONA
Liczby zespolone pod względem algebraicznym tworzą tzw. ciało algebraiczne.
Ciało jest to zbiór elementów, w którym możliwe są następujące działania:
" dodawanie
" odejmowanie
" mnożenie
" dzielenie (z wyjątkiem elementu zerowego)
Liczby zespolone mają dwie interpretacje: algebraiczną i geometryczną.
W interpretacji algebraicznej liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną
parę liczb rzeczywistych. Tradycyjny zapis liczb zespolonych wykorzystuje
tzw. jednostkę urojoną oznaczaną literą  i :
z =� x +� iy =� (x, y)
Pierwszy element pary  liczba x nazywana jest częścią rzeczywistą,
natomiast drugi element  liczba y nazywany jest częścią urojoną.
Odpowiednie oznaczenia:
x =� Re(z) y =� Im(z) i =� (0,1)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2
ALGEBRA ZESPOLONA  INTERPRETACJA
GEOMETRYCZNA
W interpretacji geometrycznej liczby zespolone traktowane są jako
punkty na płaszczyz
nie z prostokątnym kartezjańskim układem
współrzędnych.
z=(x,y)=x+iy
y=Im(z)
x=Re(z)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAA
ANIA
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na dodawaniu i odejmowaniu
odpowiednich elementów tych liczb:
z1 ą� z2 =� (x1, y1) ą� (x2, y2) =� (x1 ą� x2, y1 ą� y2)
Mnożenie liczb zespolonych jest bardziej złożone i wyraża się wzorem:
z1 �� z2 =� (x1, y1)��(x2, y2) =� (x1x2 -� y1y2, x1y2 +� x2 y1)
Obliczmy zgodnie z tą definicją kwadrat jednostki urojonej czyli liczby i=(0,1):
(0,1)��(0,1) =� (0��0 -�1��1, 0��1+� 0��1) =� (-�1,0)
Jeżeli liczby zespolone, których część urojona jest równa zero utożsamimy
z liczbami rzeczywistymi (z=x+i"0=x) to możemy napisać:
(0,1)��(0,1) =� i2 =� -�1�� i =� -�1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAA
ANIA
Własność powyższa pozwala na mnożenie liczb zespolonych zapisanych
w tradycyjnej formie jako dwumianów algebraicznych:
z1 �� z2 =� (x1 +� iy1)��(x2 +� iy2) =� x1x2 +� ix1y2 +� ix2 y1 -� y1y2 =�
x1x2 -� y1y2 +� i(x1y2 +� x2 y1) =� (x1x2 -� y1y2, x1y2 +� x2 y1)
Dzielenie liczb zespolonych jest działaniem odwrotnym do mnożenia tzn:
z1
=� z3 �� z1 =� z2 �� z3 z2 ą� (0,0)
z2
Jeżeli dzielnik jest liczbą rzeczywistą (jego część urojona jest równa zero)
to dzielenie jest proste i sprowadza się do zwykłego dzielenia obydwu części
przez dzielnik:
ć� ��
z1 (x1, y1) x1 y1 ��
��
=� =� ,
��
z2 (x2,0) x2 x2 ��
Ł� ł�
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5
ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAA
ANIA
W przypadku gdy dzielnik nie jest liczbą rzeczywistą należy albo wykorzystać
definicję dzielenia i rozwiązać odpowiedni układ równań liniowych albo też
wykorzystać pojęcie tzw. liczby sprzężonej: Liczbą sprzężoną nazywamy liczbę
zespoloną mającą taką samą część rzeczywistą oraz część urojoną przeciwnego
znaku czyli:
z =� x +�iy �� z =� x -�iy
Można zauważyć, że iloczyn danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej
zawsze jest liczbą rzeczywistą gdyż:
(x +� iy)(x -�iy) =� x2 -� (iy)2 =� x2 +� y2
Dzielenie liczb zespolonych za pomocą liczb sprzężonych polega na pomnożeniu
dzielnej i dzielnika przez liczbę sprzężoną do dzielnika. W taki sposób dzielnik
staje się liczbą rzeczywistą a dzielenie jest dalej proste.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6
ALGEBRA ZESPOLONA 
TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB
ZESPOLONYCH  MODUA
I ARGUMENT
Geometryczna interpretacja liczb zespolonych umożliwia zupełnie inny sposób
zapisu liczb zespolonych. Podstawowymi narzędziami tego zapisu są pojęcia
modułu i argumentu.
Modułem danej liczby zespolonej z nazywamy odległość punktu reprezentującego
tą liczbę od początku układu współrzędnych.
Argumentem danej liczby zespolonej nazywamy kąt między dodatnią osią x
a prostą łączącą dany punkt z początkiem układu.
A
r =� z =� x2 +� y2 =� z �� z
x
z=x+iy
r
y
Ć
Arg(z) =� j�
O
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 7
TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB
ZESPOLONYCH  MODUA
I ARGUMENT
Moduł liczby zespolonej jest zawsze liczbą nieujemną. Jedyną liczbą, której moduł
wynosi 0 jest liczba (0,0).
Argument liczby zespolonej jako kąt jest wyrażany w mierze łukowej (w radianach)
i mieści się w zakresie: [0,2Ą). Ścisłe wyznaczenie argumentu wymaga uwzględnienia
w której ćwiartce leży punkt reprezentujący daną liczbę zespoloną. Podstawowe
zależności trygonometryczne prowadzą do wzoru:
y
ć� ��
Arg(z) =� j� =� arctan +�j�0
gdzie:
�� ��
x
Ł� ł�
��
0 dla x ł� 0, y ł� 0 (I ćw.)
��
j�0 =� p� dla x <� 0 (II i III ćw.)
��
��2p� dla y <� 0, x ł� 0 (IV ćw.)
��
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 8
ALGEBRA ZESPOLONA 
TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB
ZESPOLONYCH
Uwzględniając podstawowe zależności trygonometryczne między modułem,
argumentem i składowymi liczby zespolonej możemy napisać:
xy
=� cosj� =� sinj� ��
rr
x =� r cosj� y =� r sinj� ��
z =� x +� iy =� r cosj� +� ir sinj� =� r(cosj� +� i sinj�) ��
z =� r(cosj� +� i sinj�)
Zapis ten nazywamy trygonometryczną postacią liczb zespolonych. Postać ta
bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie
w dziedzinie liczb zespolonych.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 9
ALGEBRA ZESPOLONA  MNOŻENIE
Trygonometryczna postać liczb zespolonych pozwala na stosunkowo prostą
interpretację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Niech z1 i z2 oznaczają
dwie dowolne liczby zespolone:
z1 =� r1(cosj�1 +� i sinj�1) z2 =� r2(cosj�2 +� i sinj�2)
z1 �� z2 =� r1(cosj�1 +� i sinj�1)r2(cosj�2 +� i sinj�2) =�
r1r2 cosj�1 cosj�2 -� sinj�1 sinj�2 +� i(cosj�1 sinj�2 +� cosj�2 sinj�1 ��
[� ]�
z1 �� z2 =� r1r2 cos(j�1 +�j�2) +� isin(j�1 +�j�2)
[� ]�
Mnożenie liczb zespolonych jest jednoznaczne z mnożeniem modułów
i dodawaniem argumentów.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 10
ALGEBRA ZESPOLONA  DZIELENIE
W podobny sposób można wyprowadzić odpowiedni wzór określający
dzielenie liczb zespolonych:
z1r1
=� cos(j�1 -�j�2) +� isin(j�1 -�j�2)
[� ]�
z2 r2
Zgodnie z tym wzorem dzielenie jest równoznaczne z dzieleniem modułów
i odejmowaniem argumentów.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 11
ALGEBRA ZESPOLONA - POT
GOWANIE
Stosując własność określającą mnożenie do tego samego elementu
n razy otrzymujemy tzw. wzór de Moivre a pozwalający potęgować
liczby zespolone:
zn =� rn[cos(nj�) +� isin(nj�)]
Potęgowanie liczb zespolonych jest równoznaczne z potęgowaniem
modułu i mnożeniem argumentu przez potęgę n.
Wzór ten obowiązuje dla całkowitych wartości n.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 12
ALGEBRA ZESPOLONA - PIERWIASTKOWANIE
W przypadku pierwiastkowania stopnia n otrzymuje się n różnych
pierwiastków dla których wzór de Moivre a ma postać:
�� j� +� 2kp� j� +� 2kp� ł�
ć� �� ��
n n
z =� r +� i sinć�
�� �� ��ś�
ę�cos��
n n
Ł� ł� Ł� ł�
�� ��
k =� 0,1,2,...,n -�1
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13
ANALIZA ZESPOLONA  Ciągi i szeregi
Podobnie jak w zbiorze liczb rzeczywistych , w zbiorze liczb zespolonych
możemy rozpatrywać pojęcia ciągu oraz szeregu.
Ciągiem zespolonym nazywamy nieskończony uporządkowany układ liczb
zespolonych:
{zn} =� z1, z2,..., zn,...
Szeregiem zespolonym nazywamy nieskończoną uporządkowaną sumę
liczb zespolonych:
Ą�
��z =� z1 +� z2 +�...+� zn +�...
n
n=�1
Ciąg zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są odpowiednie
ciągi rzeczywiste części rzeczywistych i części urojonych tzn.:
{zn} =�{xn +� iyn} jest zbież. ��{xn} i {yn} są zbież.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14
ANALIZA ZESPOLONA  Ciągi i szeregi
Mówimy że dany szereg liczb zespolonych jest zbieżny jeżeli zbieżny jest
ciąg jego sum częściowych:
Ą� n
ć�
��
��z =� ��z ��
n i
lim��
n��Ą�
n=�1 Ł� i=�1 ł�
Jeżeli dany szereg zespolony jest zbieżny to zbieżne są również odpowiednie
szeregi rzeczywiste składowych i ważny jest wzór:
Ą� Ą� Ą�
��
�� yn ��
��z =� ��x +� i��
n n
n=�1 n=�1 Ł� n=�1 ł�
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 15
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcje
Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy literą C. Niech D i Y będą
podzbiorami C.
Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy jednoznaczne
przyporządkowanie elementów zbioru Y elementom zbioru D.
D �� C Y �� C
f ( z)
D Y
��
f (z)
z �� D
f (z)��Y
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcje
Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji, natomiast zbiór Y jest to zbiór wartości
funkcji. Zbiory D i Y mogą być rozłączne, mogą się pokrywać częściowo lub
całkowicie, mogą też pokrywać się ze zbiorem C.
Elementy zbiory Y czyli wartości funkcji są oczywiście liczbami zespolonymi
tzn. można je zapisać za pomocą części rzeczywistej i urojonej:
f (z) =� f (x +� iy) =� fx(z) +� i fy (z)
fx(z) =� fx (x +� iy) =� fx(x, y)
fy (z) =� fy (x +� iy) =� fy (x, y)
Funkcje rzeczywiste fx i fy nazywamy częścią rzeczywistą i urojoną danej funkcji f(z).
Z powyższego zapisu wynika, że każda funkcja zespolona jest równoznaczna
z układem dwu funkcji rzeczywistych dwu zmiennych.
f (z) ��{ fx(x, y), fy (x, y)}
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 17
ANALIZA ZESPOLONA  Sposoby
definiowania funkcji zespolonych
Mamy 3 zasadnicze sposoby definiowania funkcji zespolonych:
1. Bezpośrednio za pomocą działań algebraicznych tzn. dodawania, odejmowania,
mnożenia, dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania. W przypadku użycia
pierwiastków konieczne jest zapewnienie jednoznaczności przez wybór jednego
z wyników pierwiastka.
Przykłady:
f (z) =� z2
5z +� i
f (z) =�
z3 +� z(z -� i)
3
f (z) =� z2 +� i +� z -� i
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18
ANALIZA ZESPOLONA  Sposoby
definiowania funkcji zespolonych
2. Za pomocą jawnych postaci części rzeczywistej i urojonej.
f (z) =� fx(x, y) +� i fy (x, y)
Przykłady:
f (z) =� (x +� y) +� i(x -� y) �� fx (x, y) =� x +� y, fy (x, y) =� x -� y
ć� �� ć� ��
x2 �� �� y3 �� x2 y3
��
f (z) =� +� i�� �� fx (x, y) =� , fy (x, y) =�
�� �� ��
x +� y x -� y x +� y x -� y
Ł� ł� Ł� ł�
f (z) =� z =� x +� i(-�y) �� fx (x, y) =� x, fy (x, y) =� -�y
f (z) =� z =� x2 +� y2 �� fx (x, y) =� x2 +� y2 , fy (x, y) =� 0
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19
ANALIZA ZESPOLONA  Sposoby
definiowania funkcji zespolonych
3. Za pomocą szeregów potęgowych.
Wiele ciekawych funkcji można zdefiniować przy użyciu zbieżnych
szeregów potęgowych. Funkcja taka ma postać:
Ą�
f (z) =�
��[a (z)]zn
n
n=�0
Warunkiem prawidłowej definicji jest tzw. zbieżność jednostajna powyższego
szeregu. Współczynniki szeregu an(z) są w ogólnym przypadku funkcjami
zespolonymi zdefiniowanymi w inny sposób. W praktyce najczęściej są to
stałe liczby rzeczywiste (zależne od n).
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Sposoby
definiowania funkcji zespolonych
Rozważmy prosty ale ważny przykład tzw. funkcji ekspotencjalnej.
Niech:
Ą�
1 1 1 1 1
an =� f (z) =�1+� z +� z2 +� z3 +�...+� zn +�... =� zn
��
n! 2! 3! n! n!
n=�0
Jeżeli zmienna z ograniczymy tylko do części rzeczywistej tzn. przyjmiemy,
że część urojona z jest równa zero, wtedy z=x, szereg powyższy pokrywa
się z szeregiem rzeczywistym określającym zwykłą funkcję
ekspotencjalną ex.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 21
Elementy analizy zespolonej cd.
Różniczkowanie i całkowanie
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Metodami analizy matematycznej można wykazać, że szereg powyżej
zdefiniowany jest jednostajnie zbieżny dla dowolnej liczby zespolonej z.
W związku z tym funkcję zespoloną określoną za pomocą tego szeregu
również nazywamy funkcją ekspotencjalną i oznaczamy ją jako ez.
def Ą�
zn
f (z) =� ez
��
=�
n!
n=�0
Ponieważ szereg jest zbieżny jednostajnie dla dowolnej liczby zespolonej,
zatem dziedziną funkcji ekspotencjalnej jest cały zbiór liczb zespolonych.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Rozważmy teraz funkcję ez dla osi urojonej tzn. przyjmijmy z=iy.
W celu zbadania funkcji obliczmy kolejne potęgi z=iy:
z0 =� (iy)0 =�1 z1 =� (iy)1 =� iy z2 =� (iy)2 =� -�y2
z3 =� (iy)3 =� -�iy3 z4 =� (iy)4 =� y4 z5 =� (iy)5 =� iy5
z6 =� (iy)6 =� -�y6
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Podstawiając otrzymane wyrażenia do szeregu otrzymujemy:
y2 iy3 y4 iy5 y6
eiy =�1+� iy -� -� +� +� -� -�... =�
2! 3! 4! 5! 6!
ć� ��
y2 y4 y6 y3 y5
�� ��
=�1-� +� -� +�...+� i�� y -� +� -�...��
2! 4! 6! 3! 5!
Ł� ł�
Po rozłożeniu szeregu na część rzeczywistą i urojoną stwierdzamy, że części te
są równoznaczne z szeregowym zapisem prostych funkcji trygonometrycznych
kosinus i sinus:
y2 y4 y6
1-� +� -� +�... =� cos y
2! 4! 6!
y3 y5
y -� +� -�... =� sin y
3! 5!
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Podstawiając otrzymane zapisy do wyrażenia na funkcję ekspotencjalną osi
urojonej otrzymujemy słynny wzór Eulera wiążący funkcję ekspotencjalną
z funkcjami trygonometrycznymi:
eiy =� cos y +�isin y
Można wykazać, że funkcja ekspotencjalna zmiennej zespolonej spełnia większość
własności funkcji ex a w szczególności że:
1 1 2
ez +�z2 =� ez ez
W związku z tym:
ez =� ex+�iy =� exeiy ��
ez =� ex(cos y +� isin y)
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Jeżeli otrzymany wzór porównamy z tzw. trygonometryczną postacią liczb
zespolonych to otrzymamy pewne własności zespolonej funkcji ekspotencjalnej:
ez =� ez [(cosj�e ) +� i(sinj�e )] =� ex cos y +� i sin y ��
(� )�
zz
ez =� ex Arg(ez ) =� y
Oraz:
Re(ez ) =� fx(x, y) =� ex cos y
Im(ez ) =� fy (x, y) =� ex sin y
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcja
ekspotencjalna
Niech:
z =� z0 +� i(2kp� ) =� x0 +� iy0 +� i(2kp� ) =� x0 +� i(y0 +� 2kp� ) k =� 0,ą�1,ą�2,...
00
ez =� ez +�i(2kp� ) =� ex [cos y0 +� 2kp� +� i sin y0 +� 2kp� ] =�
(� )� (� )�
00
=� ex [cos y0 +� i sin y0 ] =� ez
(� )� (� )�
0 0
ez +�(2kp� )i =� ez
Funkcja ez jest funkcją okresową (!!!) o okresie 2Ąi.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcje
trygonometryczne
Za pomocą szeregów potęgowych można oprócz funkcji ekspotencjalnej definiować
również funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej. Odpowiednie definicje są
uogólnieniem wzorów określających rozwinięcia szeregowe funkcji trygonometrycznych
zmiennej rzeczywistej:
Ą�
z3 z5 z7 z2n+�1
n
sin z =� z -� +� -� +�... =�
��(-�1) (2n +�1)!
3! 5! 7!
n=�0
Ą�
z2 z4 z6 z2n
n
cos z =�1-� +� -� +�... =�
��(-�1) (2n)!
2! 4! 6!
n=�0
sin z cos z
tan z =� cot z =�
cos z sin z
Funkcje sin(z) i cos(z) są określone dla dowolnych liczb zespolonych. Z zapisu szeregowego
wynika, że funkcja sin(z) jest nieparzysta natomiast cos(z) jest parzysta.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcje
trygonometryczne
Można wykazać, że funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są ściśle
związane z funkcją ekspotencjalną za pomocą ogólnego wzoru Eulera:
eiz =� cos z +�isin z
Napiszmy powyższy wzór dla z oraz  z.
eiz =� cos z +� isin z
e-�iz =� cos(-�z) +� isin(-�z) =� cos z -� isin z
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Funkcje
trygonometryczne
Dodając i odejmując stronami otrzymane równania dostajemy wzory wiążące
funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej z funkcją ekspotencjalną:
eiz +� e-�iz =� 2cos z ��
eiz +� e-�iz
cos z =�
2
eiz -� e-�iz =� 2i sin z ��
eiz -� e-�iz
sin z =�
2i
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Otoczenie
punktu zespolonego
Otoczeniem punktu z0=x0+iy0 o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich liczb
zespolonych spełniających nierówność:
z -� z0 <� r r >� 0
y
r
z0
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Otoczenie
pierścieniowe
Otoczeniem pierścieniowym punktu z0=x0+iy0 o promieniach r i R nazywamy zbiór
wszystkich liczb zespolonych spełniających podwójną nierówność:
r <� z -� z0 <� R R >� r ł� 0
y
R
r
z0
x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Pochodna
funkcji zespolonej
Jeżeli dla danego punktu z0 i danej funkcji zespolonej f(z) istnieje otoczenie tego
punktu o promieniu r>0 takie, ze dla dowolnego ciągu zn->z0 zawartego w tym
otoczeniu istnieje granica:
�� ł�
f (zn) -� f (z0)
=� f '(z0)
ę� ś�
lim
zn -� z0
zn ��z0
�� ��
to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w z0 a liczbę f (z) nazywamy pochodną
funkcji z. Ponieważ z jest zmienną więc otrzymana w wyniku różniczkowania pochodna
również jest nową funkcją zespoloną.
Funkcje zespolone, które są różniczkowalne nazywamy funkcjami analitycznymi.
Różniczkowanie za pomocą powyższej definicji jest bardzo uciążliwe i w praktyce
nie stosowane.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
W praktyce technika różniczkowania zespolonego zależy od sposobu zdefiniowania
funkcji. Dla funkcji zdefiniowanych za pomocą wzorów zawierających operatory
algebraiczne i proste funkcje elementarne stosuje się wszystkie metody analogiczne
do różniczkowania funkcji rzeczywistych. Prawie wszystkie stosowane tam
twierdzenia (o różniczkowaniu sumy, iloczynu, ilorazu itd.) można przenieść
bezpośrednio na różniczkowanie zespolone. W szczególności wielomiany zespolone
oraz zespolone funkcje wymierne różniczkuje się tak samo jak funkcje rzeczywiste.
Proste funkcje zespolone zdefiniowane za pomocą szeregów takie jak funkcja
ekspotencjalna i funkcje trygonometryczne różniczkuje się identycznie jak odpowiednie
funkcje rzeczywiste. Mamy więc:
(ez )'=� ez (sin z)'=� cos z (cos z)'=� -�sin z
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
Istotna różnica między różniczkowaniem zespolonym a rzeczywistym zachodzi
dla funkcji zdefiniowanych za pomocą części rzeczywistej i urojonej. Dla tego
przypadku obowiązuje tzw. twierdzenie Cauchy  Riemanna:
Niech f (z) =� fx(x, y) +� i fy(x, y) z0 =� x0 +�iyo
1. Jeżeli funkcja f(z) jest różniczkowalna w z0 to istnieją pochodne cząstkowe
funkcji fx i fy oraz spełniają one tzw. równania Cauchy  Riemanna:
ś�fy
ś�fx ś�fy ś�fx
=� =� -�
ś�x ś�y ś�y ś�x
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
2. Jeżeli funkcje fx(x,y) oraz fy(x,y) określające daną funkcję zespoloną spełniają
powyższe równania Cauchy  Riemanna a wszystkie pochodne cząstkowe
występujące w tych równaniach są ciągłe w punkcie (x0,y0) to funkcja zespolona
f(z)=fx(x,y)+ify(x,y) jest różniczkowalna a jej pochodna wyraża się wzorem:
ś�fy ś�fy
ś�fx ś�fx
f '(z) =� +� i =� -�i
ś�x ś�x ś�y ś�y
Technika różniczkowania za pomocą twierdzenia Cauchy  Riemanna polega
na znajdowaniu odpowiednich pochodnych cząstkowych funkcji składowych.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
Przykład:
f (z) =� f (x +�iy) =� ex cos(y) +�i ex sin(y)
Mamy zatem: fx(x, y) =� ex cos(y) fy(x, y) =� ex sin(y)
W celu zróżniczkowania tej funkcji należy najpierw sprawdzić jej różniczkowalność
za pomocą równań Cauchy  Riemanna. Musimy zatem wyznaczyć 4 pochodne cząstkowe:
ś�fy (x, y)
ś�fx(x, y)
=� ex cos(y) =� ex cos(y)
ś�x ś�y
ś�fy (x, y)
ś�fx(x, y)
=� -�ex sin(y) =� ex sin(y)
ś�y ś�x
Widzimy że równania Cauchy  Riemanna są spełnione.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
ś�fy (x, y)
ś�fx(x, y)
=� ex cos(y) =� ex cos(y)
ś�x ś�y
ś�fy (x, y)
ś�fx(x, y)
=� -�ex sin(y) =� ex sin(y)
ś�y ś�x
Zatem zgodne ze wzorem Cauchy  Riemanna możemy wyznaczyć pochodną:
ś�fy
ś�fx
f '(z) =� +� i =� ex cos(y) +� i ex sin(y) =� f (z) !!!
ś�x ś�x
Czyli pochodna tej funkcji jest tożsama z tą funkcją. Ale można sprawdzić, że
funkcja ta jest równoznaczna z funkcją ekspotencjalną więc własność ta jest
oczywista.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA 
Różniczkowanie funkcji zespolonych
W przypadku funkcji zdefiniowanych za pomocą szeregu, możemy skorzystać
z jednostajnej zbieżności tego szeregu i różniczkować szereg wyraz po wyrazie.
Przykładowo zróżniczkujmy funkcję ekspotencjalną zdefiniowaną za pomocą szeregu:
Ą�
1 1 1 1
f (z) =�
��n! zn =�1+� z +� 2! z2 +� 3! z3 +�...+� n! zn +�...
n=�0
Ą�
n -�1 2 3 n
f '(z) =� zn-�1 =� 0 +�1+� z +� z2 +�...+� zn-�1 +�... =�
��
n! 2! 3! n!
n=�0
11
1+� z +� z2 +�.... zn-�1 +�.... =� ez
2! (n -�1)!
Otrzymaliśmy oczywistą postać pochodnej funkcji ekspotencjalnej.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Całkowanie
funkcji zespolonych
W przypadku funkcji zespolonych podstawową operacją odwrotną do różniczkowania
jest tzw. całkowanie krzywoliniowe. Teraz zdefiniujemy pojęcie całki funkcji
zespolonej po pewnej linii leżącej w płaszczyz
nie zespolonej.
Niech f(z) będzie daną funkcją zespoloną a K pewną linią regularną (gładką) leżącą
w dziedzinie funkcji zaczynającą się w punkcie zp i kończącą się w zk.
y
zk=zn
zn-1
K
zi
zi-1
z2
x
z1
zp=z0
Podzielmy linię K na skończoną liczbę n części za pomocą punktów:
z0 =� zp, z1, z2,..., zi-�1, zi,..., zn =� zk
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Całkowanie
funkcji zespolonych
y
zk=zn
zn-1
K
zi
zi-1
z2
x
z1
zp=z0
Z każdej części wybierzmy dowolny punkt
z�i ��[zi-�1, zi]
D�zi =� zi -� zi-�1
Dla każdej części możemy obliczyć różnicę
i=�n
Utwórzmy teraz sumę
Sn =� f (z�i )D�zi
��
i=�1
Jeżeli teraz będziemy zwiększać liczbę n i dla każdego nowego podziału linii będziemy
powtarzać powyższą operację to otrzymamy ciąg liczb zespolonych Sn. Jeżeli ciąg ten ma
granicę to funkcja jest całkowalna a granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f(z) po
krzywej K i oznaczamy wzorem:
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALIZA ZESPOLONA  Całkowanie
funkcji zespolonych
n
lim(S ) =� f (z)dz
��
n��Ą�
K
D�zi ��0
Z pojęciem całki krzywoliniowej związane jest pojęcie funkcji pierwotnej.
Mówimy, że funkcja F(z) jest funkcją pierwotną do funkcji f(z) w obszarze D
jeżeli w każdym punkcie tego obszaru zachodzi równość F (z)=f(z).
Funkcję pierwotną oraz całkę krzywoliniową łączy następujące twierdzenie:
Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła w obszarze D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną F(z)
to całka krzywoliniowa po dowolnej linii regularnej zawartej w D o początku zp i końcu zk
wyraża się prostym wzorem:
f (z)dz =� F(zk ) -� F(zp)
��
K
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Na tym kończymy dzisiejszy wykład.
Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.
� Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej