STATYSTYKA
wykład 3
średnie
arytmetyczna
ważona
geometryczna
harmoniczna
Mediana wartość środkowa
Dominanta (Modalna) wartość najczęściej występująca w próbie
miary zmienności
empiryczny obszar zmienności
zakres
odchylenie przeciętne
określa jak wszystkie jednostki różnią się od wartości średniej
wariancja
jest średnia arytmetyczną z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średnie
arytmetycznej całej zbiorowości
miary zmienności
odchylenie standardowe
jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji
określa o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej
odchylenie standardowe
N=4
8;9;6;8;
Łx=31
śred. aryt. = 7,75
odchylenie od średniej = 0.25; 1,25; -1,75, 0,25
kwadraty odchyleń = 0,0625; 1,5625; 3,0625; 0,0625
Łx�=4,75
N-1=4-1=3 s�=4,75/3=1,5833 s=1,258
miary zmienności
odchylenie standardowe
wielkość obliczona na podstawie wszystkich obserwacji w danym szeregu
wartość się nie zmienia jeżeli wyrazimy je w liczbach względnych
wartość się nie zmienia jeżeli dodamy lub odejmiemy ta samą wartość
jeżeli pomnożymy wartości szeregu to odchylenie będzie o tyle większe
miary zmienności
współczynnik zmienności
-jest ilorazem bezwzględnych miar zmienności i wartości średnich w %
przykład
średnie miesięczne wpływy do zakładów
średnie arytmetyczne ( w tyś. zł)
A) 600 B) 300 C) 500
odchylenie standardowe ( w tyś. zł)
A) 110 B) 90 C) 120
współczynnik zmienności
A) 110/600=18,3% B) 90/300=30% C)120/500=24%
największe miesięczne zróżnicowanie wpływów było w zakładzie B
standaryzacja pomiarów
porównanie jednej wartości z średnią i odchyleniem standardowym
wzrost 173 K / wzrost 175 M
K (xa =162,6;s=5,6) M (xa =175,7;s=6,8)
Zk =173-162,6/5,6=1,86 Zm =-0,10
ROZKA
ADY
rozkład
stosowany zazwyczaj do dużej wartości N zazwyczaj powyżej 100
obrazem jest krzywa
parametrami rozkładu jest proporcja i odchylenie standardowe
obrazuje rozkład elementów w populacji
przedstawionych jako proporcję
ROZKA
ADY
tendencja centralna - wartość znajdująca się w pobliżu środka rozkładu liczebności
zmienność - określa stopień rozproszenia od wartości centralnej
skośność - określa symetryczność lub jej brak rozkładu (skośność dodatnia lub ujemna)
kurtoza (szpiczastość) - stromość rozkładu
symetryczny normalny
krzywa Gaussa
rozkład normalny
Rozkład normalny (rozkład Gaussa lub krzywa dzwonowa).
jest to rozkład jednomodalny z funkcją gęstości prawdopodobieństwa:
rozkład normalny
wartość średnia decyduje o przesunięciu wykresu w lewo lub prawo
odchylenie standardowe decyduje o smukłości wykresu
rozkłady - przykład
rozkłady - przykład
rozkład normalny
rozkład Gaussa
k - liczba sukcesów
powierzchnia pod krzywą równa się jedności
ramiona zbliżają się do nieskończoności
średnia określa szczyt krzywej a odchylenie standardowe spłaszczenie
2/3 powierzchni (68,26%) = 1 odchylenie standardowe od średniej
95,46% =95,46% pomiarów
rozkład normalny
rozkład normalny
rozkład normalny
rozkład normalny
rozkłady - przykład
przykład
10 000 pracowników
średnia zarobków - 2 tys PLN
odchylenie standardowe - 200 PLN
połowa pracowników ponad 2 tys. PLN i poniżej 2 tys. PLN
68,26% mieści się w granicach 1800 - 2200 PLN
np. ile osób zarabia mniej niż 2100 tys
przykład
Z=2100-2000/200=5
z=0,1915=19,15% powierzchni
>2000 PLN i <2100 PLN
pow. = 0,5+0,1915=0,6915 (przy 10 000)
pracowników jest 6915 osób
proporcja pracowników poniżej 2100 PLN wynosi 0,6915
30,85 zarabia więcej niż 2100
rozkład normalny
przykład
Ile osób zarabia 1800zł
1799,5-1800,5
z=-1,005 z= -0,9775
pow=-0,3413 pow=-0,3340
pow 1800 = -0,0073
x=s*z+xa
asymetria lewostronna
rozkłady - przykład
miary asymetrii
rozkład symetryczny
rozkład z asymetrią prawostronną
rozkład z asymetrią lewostronną
miary asymetrii
wskaz
nik asymetrii
rozkład z asymetrią prawostronną (>0)
rozkład z asymetrią lewostronną (<0)
miary asymetrii
rozkład symetryczny
rozkład z asymetrią prawostronną (>0)
rozkład z asymetrią lewostronną (<0)
miary asymetrii
współczynnik asymetrii (skośności)
przyjmują wartość -1 d"As d"1
rozkład symetryczny As =0
prawostronny As >0 lewostronny As <0