Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
Wykład 3b- 4a. Wyznaczniki c.d. Układy równao c.d.
I. Własności wyznaczników (c.d. Wykładu 3a)
Twierdzenie 7 ( O macierzy nieosobliwej i wyznaczniku). Macierz
A M(n,n) jest macierzą nieosobliwą wtedy i tylko wtedy, gdy
det (A) 0.
Dowód pomijamy.
Wniosek. Układ wektorów a1,a1,& ,an; ai i=1,2,& ,n, jest
niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy det[a1,a1,& ,an] 0.
(Przypominamy [a1,a1,& ,an] jest macierzą o kolumnach utworzonych
przez układ wektorów).
Twierdzenie 8. (Rozwinięcie Laplace a).
Jeśli A=*aij] M(n,n), n to
a)det(A) = (-1)i+1 Ai1+ (-1)i+2 Ai2+ & + (-1)i+j Aij+...+ (-1)i+n Ain
(rozwinięcie względem i-tgo wiersza. Przypominam, że dla i=1 mamy
definicję wyznacznika)
b) det(A) = (-1)1+j A1j+ (-1)2+j A2j+...+ (-1)i+j Aij+...+ (-1)n+j Anj
(rozwinięcie względem j-tej kolumny).
gdzie Aij jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z A przez
wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Przykład. Niech A = .
Zauważmy, że dużo łatwiej jest liczyd wyznacznik względem
rozwinięcia 3 wiersza (ze względu na 2 zera w tym wierszu).
1
Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
Przyjmijmy wygodniejsze oznaczenie: det(A)= .
Mamy
= 3(-1)3+1 + (-5)(-1)3+3 =
3(2-3-4 -1+2+12) -5(12-1-8+12-4 +2)=3  (5  41
Zauważmy, że przy rozwinięciu względem pierwszego wiersza
dostaniemy ten sam wynik.
=2(-1)1+1 +1(-1)1+2 +
-2(-1)1+3 +1(-1)1+4 .
Dalsze rachunki zostawiam jako dwiczenie.
Twierdzenie 9. (Podstawowe własności wyznacznika)
Niech A=[aij] M(n,n); wtedy
a) det(AT) = det(A).
b) Jeśli A ma kolumnę (lub wiersz) złożoną z samych zer, to det(A)=0.
c)Jeśli A jest macierzą trójkątną górną ( pod przekątną główną
wszystkie elementy są zerowe.) lub trójkątną dolną (nad przekątną
główną wszystkie elementy są zerowe), to det(A)= a11 a22 & ann.
2
Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
d) Jeśli A* jest macierzą otrzymaną z A przez zamianę dwu wierszy
lub dwu kolumn, to det(A*)= det(A).
e) Jeśli A ma dwie kolumny identyczne (lub dwa wiersze) identyczne
to det(A)=0
Twierdzenie 10. (Twierdzenie Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu
macierzy)
Jeżeli A M(n,n) i B M(n,n), to det(A B)=det(A)det(B)
Twierdzenie 11 (O liniowości wyznacznika względem kolumny)
Niech A=[a1,a1,& ,an], aj M(n,1) j=1,2,& ,n i niech będzie dowolną
liczbą. Wtedy dla 1 mamy
a) det[a1, a2, & , ai,& , an ]= det[a1, a2, & , ai,& , an ]
b) det[a1, a2, & , ai + ai  ,& , an] = det[a1, a2, & , ai ,& , an]+
[a1, a2, & , ai  ,& , an], dla dowonych ai , ai  M(n,1).
Wniosek. Zauważmy , że jeśli do i-tej kolumny (wiersza) macierzy A
dodamy j-tą , (j kolumnę (wiersz) macierzy A pomnożoną przez
stałą, to
det[a1, a2, & , ai + aj ,& , an]= det[a1, a2, & , ai,& , an ].
Wynika to z faktu, że wyznacznik macierzy, która ma dwie takie same
kolumny, równa się zero (punkt e) zTw.8).
2. Wzór wyznacznikowy na macierz odwrotną
Niech A M(n,n). Niech, jak wcześniej (np.w rozwinięciu Laplace a), Aij
będzie wyznacznikiem macierzy otrzymanej z A przez wykreślenie
i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
3
Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
Niech, ponadto = (-1)i+j Aij .
Definicja. Dla dowolnej macierzy nieosobliwej A macierzą dopełnieo
nazywamy macierz
AD =
Twierdzenie 12. Macierz odwrotna do macierz A określona jest
następującym wzorem:
Przykład. Obliczyd macierz odwrotną do macierzy A=
za pomocą macierzy dopełnieo.
det(A)=(-2+6)+(-3-2)=-1. Na mocy Twierdzenia 7 macierz odwrotna
istnieje.
Dopełnienia:
= 1 = 1 =1
= 4 = 5 = 6
=3 =3 = 4
Macierz odwrotna:
4
Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
3. Układ Cramera
Definicja. W przypadku gdy macierz współczynników układu równao:
Ax=b należy do M(n,n) i det(A) , układ nazywamy układem
Cramera.
Zapiszmy układ Cramera dokładniej.
(*)
b = , x= , A=[ + i=1,2,& ,n; j =1,2,& ,n; det (A)
Twierdzenie 13. (Twierdzenie Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
dane jest wzorem.
gdzie macierz powstaje z macierzy współczynników A przez
zastąpienie k-tej kolumny wektorem wyrazów wolnych b.
Dowód. Zapiszmy układ w postaci Ax=b. Zatem mnożąc obie
strony przez mamy: (Ax)= . Z łączności mnożenia
macierzy wynika, że A)x= , a więc Ix=x=
5
Zastosowania matematyki w ekonomii. 2014.Wykład 3b-4a. R. Rempała
I-macierz jednostkowa. Zajmiemy się otrzymaną równością
x=
Rozpisując układ równao i wstawiając w miejsce wzór na macierz
odwrotną wykorzystujący macierz dopełnieo z Twierdzenia 12
otrzymujemy:
=
Zauważmy, że - rozwiniecie wyznacznika
macierzy Ak względem k-tej kolumny.
Zatem = , k=1,2,& ,n c.b.d.o.
Zadanie (rozwiązywane na dwiczeniach.
2x1+ x2- 2x3+x4= -1
-x1 + 3x2+ x3+ 2x4 = 0
3x1  5x3 =2
Rozwiązanie ogólne: =( -1/14) + t , t-dowolna liczba.
6