Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do metody
elementów skończonych (MES)
materiały do wykładu nr 4a
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
Istota MES
üðMES sÅ‚uży do rozwiÄ…zywania różnorodnych problemów mechaniki
(wyznaczanie pól przemieszczeń, naprężeń, temperatury, itp.), dla których
rozwiązanie ścisłe nie jest możliwe do uzyskania.
http://www.sofistik.gr/fileadmin/_temp_/bridge_2.jpg
http://www.aecweb.de/bilder/2006/i/0056-sofistik.jpg.htm
http://www.ara.com/Projects/SVO/popups/weld_geometry.html http://www.portusproject.org/
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
2
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
Istota MES
üðZastÄ…pienie ciÄ…gÅ‚ego kontinuum (zasada wariacyjna typu przemieszczeÅ„
wirtualnych) obliczeniowym modelem dyskretnym (równania algebraiczne).
üðAproksymacja funkcji (interpolacja) opisujÄ…cych zjawiska fizyczne w obszarze
elementu.
üðZapewnienie wiarygodnoÅ›ci
rozwiązań MES wymaga spełnienia
kryteriów zbieżności metody.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
3
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
MES  historia
üðHRENNIKOFF [1941], MCHENRY [1943]  kontinuum  opis kratownicowy
(jednowymiarowy),
üðCOURANT [1943]  kontinuum podziaÅ‚ na skoÅ„czone kawaÅ‚ki (trójkÄ…ty),
üðLEVY [1953]  metoda przemieszczeÅ„ (sztywnoÅ›ci) uogólnienie,
üðTURNER, CLOUGH, MARTIN, TOPP [1956]  poÅ‚Ä…czenie koncepcji dyskretnych
kawałków i sztywności,
üðCLOUGH [1960]  metoda elementów skoÅ„czonych
üðZIENKIEWICZ, CHEUNG [1965]  problemy pola, temperatura i przepÅ‚ywy.
http://pl.m.wikipedia.org/wiki/Plik:Karta_dziurkowana-80kolumn_Odra1300.jpg
FRANK by Czesław Branicki
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
4
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
MES  aktualnie
integrowanie systemów MES z systemami do modelowania geometrycznego
CAD w całość
wg. Chróścielewski J., Malinowski M., Miśkiewicz M.: Próbne obciążenie mostu przez Wisłę w Puławach. Seminarium Mosty stalowe, Wrocław 2008.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
5
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
MES  składnik projektowania inżynierskiego
Kombinacja odpowiednich elementów skończonych pozwala
stosunkowo wiernie odwzorować w modelu obliczeniowym złożoność
formy i właściwości konstrukcji inżynierskich oraz zachodzących zjawisk.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
6
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
Kroki rozwiązania MES problemu inżynierskiego
0. wybór modelu teoretycznego konstrukcji (niezależnie od MES)
poziom mechaniki, sposób opisu konstrukcji, ciała i jego brzegu ,
B Å›ðB
1. zbudowanie dyskretnego modelu obliczeniowego
wybór siatki węzłów i elementów
üðPodziaÅ‚ dziedziny z brzegiem (czÄ™sto jej przybliżeniem z brzegiem )
B Å›ðB Bh
Å›ðBh
na zbiór prostych rozłącznych podobszarów o brzegu zwanych
B(e)
Å›ðB(e)
elementami skończonymi.
Ne
B ð Bh =ð
åðB
(e)
e=ð1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
7
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
üðpodziaÅ‚ dziedziny na elementy skoÅ„czone wiąże siÄ™ z jednoczesnym
xa
doborem węzłów
a =ð1,2,3,..., N
üðprzykÅ‚ady elementów skoÅ„czonych:
1D 2D 3D
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
8
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
üðliczba stopni swobody w wÄ™z
le elementu zależy od typu konstrukcji
i przyjętej teorii
üðpodstawowa klasyfikacja elementów skoÅ„czonych
kontynualne strukturalne
prętowe powierzchniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
9
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
2. Analiza indywidualnych elementów
a) aproksymacja w elementach
üðZostaje dobrana funkcja aproksymacyjna uh(x) okreÅ›lajÄ…ca jednoznacznie
stan przemieszczeń wewnątrz elementu skończonego w zależności od
przemieszczeń punktów węzłowych
N
u(x) ð uh(x) =ð
åðN (x)ui
i
i=ð1
ui  wartości węzłowe
Ni(x)
 funkcje interpolacyjne
(funkcje kształtu)
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
10
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
üðFunkcja aproksymacyjna uh(x) przyjmuje te same wartoÅ›ci co funkcja
przybliżana w punktach interpolacji (węzłach elementu)
üðFunkcje interpolacyjne Ni(x):
żð W MES nazywajÄ… siÄ™ funkcjami ksztaÅ‚tu
żð Zazwyczaj sÄ… to wielomiany Lagrange a lub Hermite a
1 dla a =ð b
ìð
żð W wÄ™zÅ‚ach muszÄ… speÅ‚niać warunek
Na(xðb) =ð dðab =ð
íð
îð0 dla a Ä…ð b
üðWielomian Lagrange'a rzÄ™du p w
węz
le a, gdzie a = 1, 2, & , N+1=p
ma ogólną postać:
N =ð p+ð1
r -ð r(b)
p
La (r ) =ð
Õð
r(a) -ð r(b)
bÄ…ða
b=ð1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
11
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka
Metody Obliczeniowe
Wprowadzenie do MES
b) Tworzenie macierzy elementowych K(e) i wektorów obciążeń P(e) oraz ich
transformacja do układu globalnego
u(x) =ð N(e)u(e)
N(e)
 macierz funkcji kształtu
B(e)  macierz wiążąca przemieszczenie
K(e) =ð BTe)CB(e)
i odkształcenie
(
òð
B(e)
C  macierz konstytutywna
3. Analiza całego układu
utworzenie (agregacja) globalnej macierzy K oraz P,
uwzględnienie warunków brzegowych
4. Rozwiązanie układu równań Kq = P q = K-1P
5. Wyznaczenie naprężeń, odkształceń
µ(x) =ð B(e)u(e) Ã(x) =ð Cµ(x)
w elementach
6. Ocena błędu i weryfikacja rozwiązania
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski
12
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4 Magdalena Rucka