Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
materiały do wykładu nr 2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Wpływ obciążeń przęsłowych na wektor obciążenia
Siły przywęzłowe w elemencie powstają:
" na skutek przemieszczeń końców elementu
" jako reakcje od obciążeń przęsłowych
T
0 0 0 0
éðûð
S =ð Tik Mik Tki Mki T
S0 =ð
[ð ]ð
j
j
ëðTik Mik Tki Mki Å‚ð
Równanie równowagi dla elementu obciążonego w przęśle:
S =ð kelD +ð S0
j j j j
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
2
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
3
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Agregacja macierzy sztywności
" Proces budowy globalnej macierzy sztywności układu z macierzy sztywności
poszczególnych elementów.
" W procesie agregacji wykorzystuje siÄ™ wektory alokacji.
" W wektorach alokacji pamiętane są adresy poszczególnych przemieszczeń
lokalnych.
" W wektorach alokacji uwzględnione są warunki brzegowe.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
4
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Agregacja macierzy sztywności i wektora obciążeń
vi ji vk jk
Element 1
Element 2
Element 3
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
5
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Agregacja globalnej macierzy sztywności
12EI3 6EI3 -ð12EI3 6EI3
éðÅ‚ð
12EI1 6EI1 -ð12EI1 6EI1 12EI2 6EI2 -ð12EI2 6EI2
éðÅ‚ð éðÅ‚ð
Ä™ð
3 2 3 2
Ä™ð Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
L1 L1 L1 L1 Å›ð L3 L2 L3 L2 Å›ð
3 3 3 3
2 2 2 2
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð
6EI3 4EI3 -ð6EI3 2EI3
Ä™ðÅ›ð
6EI1 4EI1 -ð6EI1 2EI1 6EI2 4EI2 -ð6EI2 2EI2
Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð
Ä™ð 22 Ä™ð
L2 L2 L2 L2 Å›ðL3 L2 L3 Å›ð
L1 L1 L1 L1 Å›ð
3 3
el
2 2
el
Ä™ðÅ›ð 5Ø$Ü5ØRÜ5ØYÜ= Ä™ð L2 -ð6EI3 12EI3 -ð6EI3 Å›ð
5ØRÜ5ØYÜ
kel =ð
=ð
5Ø$Ü5ØRÜ5ØYÜ= 3
2 3k =ð Ä™ðÅ›ð
1
2
5Ø$Ü1k= Ä™ðÅ›ð Ä™ð-ð12EI3
Ä™ð -ð12EI2 -ð6EI2 12EI2 -ð6EI2 Å›ð
Ä™ð -ð12EI1 -ð6EI1 12EI1 -ð6EI1 Å›ð
Ä™ð
Ä™ð
Ä™ð 3 2 3 2 Å›ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
L1 L1 L1 L1 Å›ð
3 3 3 3
2 2 2 2
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð
Ä™ðÅ›ð
6EI3 2EI3 -ð6EI3 4EI3
Ä™ð 6EI2 2EI2 -ð6EI2 4EI2 Å›ð
Ä™ð 6EI1 2EI1 -ð6EI1 4EI1 Å›ð
Ä™ð
Ä™ð
Ä™ð 22
L2 L3 L2 L3 Å›ð
L2 L2 L2 L2 Å›ð
L1 L1 L1 L1 Å›ð
ëð 3 3 ûð
ëð 2 2 ûð
ëðûð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
6
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Agregacja globalnego wektora sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
pL1
éðÅ‚ð
Ä™ð-ð 2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
2
pL1
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð 12 Å›ð
0
S1 =ð Ä™ðÅ›ð
pL1 Å›ð
Ä™ð
Ä™ð-ð 2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
2
pL1 Å›ð
Ä™ð
Ä™ðÅ›ð
ëð 12 ûð
P
éðÅ‚ð
-ð
Ä™ðÅ›ð
2
Ä™ðÅ›ð
éð Å‚ð
PL2 Å›ð 0
Ä™ð
Ä™ð0Å›ð
Ä™ð-ð 8 Å›ð
0
Ä™ð Å›ð
S0 =ð
S3 =ð
Ä™ðÅ›ð
2
P
Ä™ð Å›ð
0
Ä™ðÅ›ð
-ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð
2
ëð0ûð
Ä™ð
PL2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
ëð 8 ûð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
7
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Uwzględnianie więzi sprężystych
" W układach konstrukcyjnych oprócz podpór sztywnych występują podpory sprężyste.
" Zwykle zakłada się, że siła w podporze sprężystej jest wprost proporcjonalna
do przemieszczenia.
" Podpory sprężyste charakteryzuje sztywność:
üðsztywność podpór liniowych kx, ky [kN/m],
üðsztywność podpór obrotowych kj [kNm/rad].
Rys. Tomasz Musiał
Obiekty mostowe z przyczółkami zintegrowanymi - cz. I
Inżynier budownictwa, 2012-05-10
Rys. Piotr Iwicki
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
8
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
9
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Macierzowa metoda przemieszczeń (MMP)
" Niewiadomymi są uogólnione przemieszczenia
" Najprostszym przypadkiem MMP jest Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń
(BMP), w której stosuje się element belkowy macierzy sztywności o pełnym
komplecie więzów, co wiąże się z koniecznością zakwalifikowania obrotów
w przegubach wewnętrznych oraz podporach przegubowych jako
niewiadomych.
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
LL
L2 L2
kel =ð
Ä™ðÅ›ð
j
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
LL
ëð L2 L2 ûð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
10
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm MMP
1. Dyskretyzacja układu
2. Określenie wektora przemieszczeń węzłowych
3. Określenie wektora obciążeń węzłowych
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
11
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm MMP
vi ji vk jk
4. Zestawienie wektorów alokacji
Element 1
Element 2
Element 3
Element 4
Element 5
Element 6
Element 7
Element 8
Element 9
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
12
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm MMP
5. Utworzenie dla każdego elementu j
üðmacierzy sztywnoÅ›ci
üðwektorów siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych
6. Agregacja globalnej macierzy sztywności układu z macierzy sztywności
poszczególnych elementów
7. Agregacja globalnego wektora obciążeń węzłowych od obciążeń
przęsłowych z poszczególnych wektorów sił przywęzłowych od obciążeń
przęsłowych
8. Obliczenie sumarycznego wektora obciążeń węzłowych
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
13
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm MMP
9. Rozwiązanie macierzowego równania równowagi
10. Wykonanie dla każdego elementu j
üðutworzenie wektora przemieszczeÅ„ przywÄ™zÅ‚owych
z odpowiednich elementów globalnego wektora przemieszczeń
üðobliczenie siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
14
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Kondensacja i modyfikacja macierzy sztywności
W praktycznych zadaniach dla określonych elementów mogą wystąpić:
" zerowe elementy wektora
przemieszeń przywęzłowych
" zerowe elementy wektora sił
przywęzłowych
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
15
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Modyfikacja macierzy sztywności
Proces modyfikacji:
" ma miejsce przy występowaniu w węzłach więzów geometrycznych
" polega na usunięciu z wyjściowej macierzy sztywności wierszy i kolumn
odpowiadających zerowym przemieszczeniom końców elementu
S =ð k D
j j j
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
S* k* kr D*
=ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
T
krr ûð ëðDr ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëðSr ûð ëðkr
S* =ð k*D*
Sr =ð kT D*
r
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
16
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Kondensacja macierzy sztywności
Proces kondensacji:
" ma miejsce przy występowaniu zerowych sił wewnętrznych w węzłach
" proces wyznaczania macierzy sztywności elementu o niektórych więzach
zwolnionych polegający na przekształceniu macierzy sztywności pręta
o komplecie więzów łączących go z węzłami
S =ð k Dj
j j
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
S' k11 k12 D'
=ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
k22 ûð ëðD2 ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
ëðS2 ûð ëðk21
'
ìð
ïðS =ð k11D' +ð k12D2
íð
Þð D2 =ð -ðk-ð1k21D'
ïðS2 =ð k21D' +ð k22D2 =ð 0
îð
22
-ð1
S' =ð k11D' -ð k12k22k21D'
-ð1
S' =ð k11 -ð k12k22k21 D'
(ð )ð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
17
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
vk
vi
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
fi
vi
vk
Kondensacja macierzy sztywności
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
ji
Kondensacja względem
Ä™ð
l3 l2 l3 l2 Å›ð
fk
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
fi
Ä™ðÅ›ð
vk
Ä™ðÅ›ð
k ' =ð k11 -ðk12k-ð1k21
vi l2 l l2 l
22
k =ð
Ä™ðÅ›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð l3 l2 l3 l2 Å›ð
12EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 6EI 2EI -ð6EI 4EI
éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ðÅ›ð
l3 l3 l2 Å›ð éðÅ‚ð l2
Ä™ð Å›ð 6EI -ð6EI 2EI
ëð l2 l l ûð
l2
Ä™ðÅ›ð
k21 =ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð
-ð12EI 12EI -ð6EI
Ä™ðÅ›ð l2 l2l
ëðûð
-ð6EI
k11 =ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð k12 =ð Ä™ð l2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
4EI
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
6EI -ð6EI 4EI
k22 =ð
Ä™ðÅ›ð 2EI
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
l
ëð ûð
Ä™ðÅ›ð
l2 l2 l
ëðûð
Ä™ð Å›ð
l
ëð ûð
12EI -ð12EI 6EI 6EI 3EI -ð3EI 3EI
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð Ä™ð l2 Å›ð l3 l3 l2 Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
l 6EI -ð6EI 2EI
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð-ð12EI 12EI -ð6EI Å›ð Ä™ð-ð6EI Å›ð Ä™ð-ð3EI 3EI -ð3EI Å›ð
k ' =ð -ð =ð
Å›ð
Ä™ð Ä™ð
l3 l3 l2 Å›ð Ä™ð l2 Å›ð Ä™ð4EI Å›ð Ä™ð l2 l2 l l3 l3 l2 Å›ð
ëð ûð ëð ûð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
6EI -ð6EI 4EI 2EI 3EI -ð3EI 3EI
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
l2 l2 l l l2 l2 l
ëð ûð ëð ûð ëð ûð
f
k
v
k
v
i
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
18
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Modyfikacja i kondensacja macierzy  podsumowanie
modyfikacja kondensacja
S* =ð k*D*
S' =ð k' D'
12EI 6EI 6EI
éðÅ‚ð 3EI 3EI 3EI
éðÅ‚ð
-ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð
l2 l3 Å›ð ìðvi üð
Tik Ä™ð l3 l2 l2 Å›ð vi
ìð üð ìð üð Tik Ä™ð l3
ìð üð
Å›ð
6EI 4EI 2EI
ïðM ïð ïð ïð
3EI 3EI -ð3EI
ïðM ïð ïð ïð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
=ð
=ð
íð żð íðj żð
ik i íð żð íðj żð
ik
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð
l2 l l
l2 l l2 Å›ð ïðvi ïð
ïðM ïð ïðj ïð
ïð ïð
Ä™ðÅ›ð
Tki
Ä™ðÅ›ð
îð ki þð îð k þð
îð þð îð k þð
6EI 2EI 4EI
EI
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð33 -ð3EI 3EI Å›ð
Ä™ðÅ›ð
l2 l l
Ä™ðÅ›ð
ëðûð l l2 l3 ûð
ëð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
19
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4