Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
materiały do wykładu nr 3
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Transformacja układu współrzędnych
" Dla elementów nachylonych pod dowolnym kątem konieczna jest ich
transformacja do globalnego układu współrzędnych
" Macierzowe równanie równowagi dla elementu
zapisane jest w lokalnym układzie współrzędnych
" Macierzowe równanie równowagi układu
zapisane jest w globalnym układzie współrzędnych
" Zamiana układu lokalnego na globalny na poziome elementu wiąże się
z transformacją macierzy sztywności i wektorów obciążeń
" Transformację wykonuje się poprzez macierz transformacji z układu
globalnego do lokalnego
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
2
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
XY  układ globalny
x y  układy lokalny
u =ð u cosað +ð v sinað
v =ð -ðu sinað +ð v cosað
u c s u
ìð üð éð Å‚ð ìð üð
c =ð cosað
=ð
íðvżð íð żð
Ä™ðÅ›ð
s =ð sinað
îð þð ëð-ðs cûð îðv þð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
3
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
ua c s 0 0 ua
ìð üð éðÅ‚ð ìð üð
ïðv ïð Ä™ð ïðv ïð
ïð ïð
a
Ä™ð-ðs c 0 0Å›ð ïð a ïð
Å›ð
=ð
íðu żð íðu żð
Ä™ðÅ›ð
0 0 c s
bb
ïð ïð ïð ïð
Ä™ðÅ›ð
ïðvb ïð
0 0 -ðs cûð ïðvb ïð
îð þð ëð îð þð
D =ð ua va ub vb T
[ð ]ð
j
D =ð L D
j j j
D =ð ua va ub vb T
[ð ]ð
j
D =ð LTjD
j j
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
4
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
S =ð k D +ð S0
S =ð L S
Dj =ð L Dj
j j j j
j j j
j
L S =ð k D +ð S0
j j j j j
L S =ð k L D +ð L S0
j j j j j j j
L-ðj1L S =ð L-ðj1k L D +ð L-ðj1L S0
j j j j j j j
S =ð LTjk L D +ð S0
j j j j j
S =ð k D +ð S0
j j j j
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
5
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm BMP  ogólny
1. Dyskretyzacja układu
2. Zestawienie wektora przemieszczeń węzłowych
q
3. Zestawienie wektora obciążeń węzłowych R
4. Zestawienie cech elementów, wektorów alokacji
5. Utworzenie dla każdego elementu j
k
üðlokalnej macierzy sztywnoÅ›ci
j
S0
üðwektorów siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych
j
k =ð LTjk L
üðtransformacja macierzy sztywnoÅ›ci do ukÅ‚adu globalnego
j j j
üðtransformacja wektorów siÅ‚ do ukÅ‚adu globalnego
S0 =ð LTjS0
j j
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
6
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Algorytm BMP  ogólny
k
K
6. Agregacja macierzy do macierzy globalnej
j
S R0
7. Agregacja wektora 0 do wektora
j
8. Rozwiązanie macierzowego układu równowagi
Kq =ð P =ð R -ð R0
q =ð K-ð1P
9. Obliczenia dla każdego elementu j
q
üðekstrakcja z globalnego wektora przemieszczeÅ„
D
wektora przemieszczeń końców elementów
j
üðtransformacja do ukÅ‚adu lokalnego
D =ð L D
j j j
üðobliczenie siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych
S =ð k D +ð S0
j j j j
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
7
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Element prętowy
EA EA
éðÅ‚ð
-ð
Ä™ðÅ›ð
Ni ui
ìð üð ìð üð
LL
=ð
Ä™ðÅ›ð
íðN żð íðu żð
EA EA
îð k þð Ä™ðÅ›ð k þð
îð
Ä™ð-ð LL ûð
ëðÅ›ð
1 -ð1
EA éðÅ‚ð
k =ð
j
Ä™ðÅ›ð
L
ëð-ð1 1 ûð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
8
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Element kratownicy 2D
Na 1 0 -ð1 0 ua Na
ìð üð éð Å‚ð ìð üð ìð üð
ïð ïð Ä™ð ïð ïð
Ta 0 0 0 0Å›ð ïðva ïð ïð 0
EA
ïð ïð ïð ïð ïð
Ä™ðÅ›ð
=ð+ð
íðN żð íðu żð íð żð
Ä™ðÅ›ð
L -ð1 0 1 0
bb b
ïð ïð ïð ïð ïðN ïð
Ä™ðÅ›ð
ïð ïð ïð
Tb 0 0 0 0ûð ïðvb ïð ïð 0
îð þð ëð îð þð îð þð
1 0 -ð1 0
éðÅ‚ð
Ä™ð
0 0 0 0Å›ð
EA
Ä™ðÅ›ð
k =ð
j
Ä™ðÅ›ð
-ð1 0 1 0
L
Ä™ðÅ›ð
0 0 0 0ûð
ëð
c s 0 0
éðÅ‚ð
Ä™ð
Ä™ð-ðs c 0 0Å›ð
Å›ð
L =ð
j
Ä™ðÅ›ð
0 0 c s
Ä™ðÅ›ð
0 0 -ðs cûð
ëð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
9
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Element ramowy 2D
EA EA
éðÅ‚ð
0 0 -ð 0 0
Ä™ðÅ›ð
LL
Ä™ðÅ›ð
12EI 6EI -ð12EI 6EI
Ä™ðÅ›ð
00
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
12EI 6EI -ð12EI 6EI
éðÅ‚ð 6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
00
Ä™ð
Ä™ðÅ›ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
LL
L2 L2
Ä™ðÅ›ð
k =ð
j Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
EA
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð-ð EA 0 Å›ð
0 0 0
Ä™ðÅ›ð
LL
L2 L2 Ä™ðÅ›ð
LL
k =ð
Ä™ðÅ›ð
j
Ä™ðÅ›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ð-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI Å›ð
Ä™ðÅ›ð
00
Ä™ð
L3 L2 L3 L2 Å›ð
L3 L2 L3 L2
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
00
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
LL
ëð L2 L2 ûð LL
ëðûð
L2 L2
1 -ð1
EA éðÅ‚ð
k =ð
j
Ä™ðÅ›ð
L
ëð-ð1 1 ûð
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
10
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Element ramowy 2D
ua c s 0 0 0 0 ua
ìð üð éðÅ‚ð ìð üð
ïðv ïð Ä™ð ïðv ïð
a
ïð ïð Ä™ð-ðs c 0 0 0 0Å›ð a
Å›ð ïð ïð
ïð ïð Ä™ðÅ›ð ïð ïð
0 0 1 0 0 0
ïðjð ïð ïðjð ïð
aa
=ð
Ä™ðÅ›ð
íðu żð íðu żð
0 0 0 c s 0Å›ð ïð b ïð
b
Ä™ð
ïð ïð
Ä™ð
ïðvb ïð
0 0 0 -ðs c 0Å›ð ïðvb ïð
Ä™ðÅ›ð
ïð ïð ïð ïð
0 0 0 0 0 1ûð îð þð
Ä™ðÅ›ð
ïðjðb ïð ïðjðb ïð
îð þð ëð
D =ð ua va jða ub vb jðb T
[ð ]ð
j
D =ð ua va jða ub vb jðb T
[ð ]ð
j
ua =ð ua cosað +ð va sinað
va =ð -ðua sinað +ð va cosað
jða =ð jða
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
11
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
12
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
Element ramowy 2D  przykład
T
q =ð u1 v2 jð3
[ð ]ð
üðwektor przemieszczeÅ„ wÄ™zÅ‚owych
üðwektory alokacji
T
R =ð 0 0 0
üðwektor obciążeÅ„ wÄ™zÅ‚owych
[ð ]ð
üðtablica cech elementów
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
13
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðlokalne macierze sztywnoÅ›ci poszczególnych elementów (ke_frame)
1 2 3 0 0 0
0 0 0 1 2 3
EA -ðEA
éðÅ‚ð
EA -ðEA
éðÅ‚ð
0 0 0 0
0 0 0 0
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
L2 L2
L1 L1
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ð 12EI 6EI -ð12EI 6EI Å›ð
Ä™ð 12EI 6EI -ð12EI 6EI Å›ð
00
00
Ä™ð
Ä™ð
L23 L22
L13 L12 L13 L12 Å›ð L23 L22 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
Ä™ðÅ›ð
6EI 4EI -ð6EI 2EI
00
00 Ä™ð
Ä™ð
L22 L2
L12 L1 L12 L1 Å›ð L22 L2 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
k2 =ð
k1 =ð
Ä™ð-ðEA Å›ð
Ä™ð-ðEA Å›ð EA
EA
0 0 0 0
Ä™ðÅ›ð
0 0 0 0
Ä™ðÅ›ð
L2 L2
L1 L1
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
-ð12EI -ð6EI 12EI -ð6EI
Ä™ð 00 Å›ð
Ä™ð 00 Å›ð
L23 L22
Ä™ð
L13 L12 L13 L12 Å›ð L23 L22 Å›ð
Ä™ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
6EI 2EI -ð6EI 4EI
6EI 2EI -ð6EI 4EI
Ä™ðÅ›ð
00
Ä™ðÅ›ð
00
L22 L2
Ä™ðÅ›ð
L12 L1 L12 L1 ûð L22 L2 ûð
Ä™ðÅ›ð ëð
ëð
k1 =
2.2188e+006 0 0 -2.2188e+006 0 0
0 51.203 92.308 0 -51.203 92.308
0 92.308 221.88 0 -92.308 110.94
-2.2188e+006 0 0 2.2188e+006 0 0
0 -51.203 -92.308 0 51.203 -92.308
0 92.308 110.94 0 -92.308 221.88
k2 =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
14
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðmacierze transformacji (LT)
cos(að2 ) sin(að2 ) 0 0 0 0
cos(að1) sin(að1) 0 0 0 0 éðÅ‚ð
éðÅ‚ð
Ä™ð
Ä™ð
0 0Å›ð
0 0Å›ð
Ä™ð-ðsin(að2 ) cos(að2 ) 0 0 Å›ð
Ä™ð-ðsin(að1) cos(að1) 0 0 Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0
T2 =ð
T1 =ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
0 0 0 cos(að2 ) sin(að2 ) 0Å›ð
0 0 0 cos(að1) sin(að1) 0Å›ð
Ä™ð
Ä™ð
Ä™ð
Ä™ð
0 0 0 -ðsin(að2 ) cos(að2) 0Å›ð
0 0 0 -ðsin(að1) cos(að1) 0Å›ð
Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
0 0 0 0 0 1ûð
0 0 0 0 0 1ûð Ä™ðÅ›ð
Ä™ðÅ›ð
ëð
ëð
T1 =
0.5547 0.83205 0 0 0 0
-0.83205 0.5547 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.5547 0.83205 0
0 0 0 -0.83205 0.5547 0
0 0 0 0 0 1
T2 =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
15
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðtransformacja macierzy elementowych do ukÅ‚adu globalnego
T
k1 =ð T1 k1T1
(ð )ð
T
k2 =ð T2 k2T2
(ð )ð
k1_g =
6.8274e+005 1.024e+006 -76.805 -6.8274e+005 -1.024e+006 -76.805
1.024e+006 1.5361e+006 51.203 -1.024e+006 -1.5361e+006 51.203
-76.805 51.203 221.88 76.805 -51.203 110.94
-6.8274e+005 -1.024e+006 76.805 6.8274e+005 1.024e+006 76.805
-1.024e+006 -1.5361e+006 -51.203 1.024e+006 1.5361e+006 -51.203
-76.805 51.203 110.94 76.805 -51.203 221.88
k2_g =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200
üðagregacja macierzy elementowych do globalnej macierzy sztywnoÅ›ci
2
K =ð
åðk
j
j =ð1
K =
2.6827e+006 1.024e+006 76.805
1.024e+006 1.5361e+006 23.797
76.805 23.797 421.88
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
16
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðwektory siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych
T
0
S1 =ð 0 0 0 0 0 0
[ð ]ð
T
éðÅ‚ð
pL2 pL22 pL2 pL22
S0 =ð
2 Ä™ð0 -ð 2 -ð 12 0 -ð 2 12 Å›ð
ëðûð
S10 =
0
0
0
0
0
0
S20 =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
17
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðtransformacja wektorów siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych do ukÅ‚adu globalnego
00
S1 =ð T1 T S1
(ð )ð
0
S2 =ð T2 T S0
(ð )ð
2
S10_g =
0
0
0
0
0
0
S20_g =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667
üðagregacja wektora siÅ‚ przywÄ™zÅ‚owych od obciążeÅ„ przÄ™sÅ‚owych do globalnego wektora R0
22
Ro =
T 0
0
R0 =ð
åðT S0 =ð åðS
j j j
-16
j=ð1 j=ð1
-10.667
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
18
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðrozwiÄ…zanie ukÅ‚adu równaÅ„ BezpoÅ›redniej Metody PrzemieszczeÅ„
q =
Kq =ð P P=R -ð R0 q =ð K-ð1P
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
üðekstrakcja wektorów przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementu z wektora przemieszczeÅ„ globalnych q
T
D1_g =
D1 =ð 0 0 0 u1 v2 jð3
[ð ]ð
0
0
0
T
D2 =ð u1 v2 jð3 0 0 0
-6.1032e-006
[ð ]ð
1.4093e-005
0.025284
D2_g =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
19
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðtransformacja wektorów przemieszczeÅ„ koÅ„ców elementów do ukÅ‚adów lokalnych
D1 =ð T1D1
D2 =ð T2D2
D1 =
0
0
0
8.3403e-006
1.2895e-005
0.025284
D2 =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
20
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Macierzowa metoda przemieszczeń
üðprzywÄ™zÅ‚owe siÅ‚y przekrojowe w poszczególnych elementach
0
S1 =ð k1 ×ð D1 +ð S1
S2 =ð k2 ×ð D2 +ð S0
2
S1 =
-18.505
2.3332
2.8038
18.505
-2.3332
5.6088
S2 =
-12.206
-14.103
-5.6088
12.206
-17.897
13.196
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
21
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4