Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
materiały do wykładu nr 5
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Zastosowanie w problemach inżynierskich
T
K(e) =� EA BdL
��B
L
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
2
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
b
Cel  przybliżyć całkę
f (x)dx =� I
��
a
używając wartości funkcji f w równoodległych punktach
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
3
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Metody całkowania:
 zamknięte (ustalone wartości na końcach przedziału)
 otwarte (ustalone wartości wewnątrz przedziału)
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
4
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Metody obliczania całek
1. Metoda Newtona-Cotesa
Polega na zastąpieniu danej funkcji lub danego zbioru funkcji pewną
funkcją aproksymującą, która jest łatwo całkowalna.
bb
I =� f (x)dx � fn(x)dx
����
aa
fn(x) =� a0 +� a1x +� a2x2 +�...+� an-�1xn-�1 +� anxn
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
5
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
a) metoda trapezów
bb
I =� f (x)dx � f1(x)dx
����
aa
f (b) -� f (a)
f1(x) =� f (a) +� (x -� a)
b -� a
b
f (b) -� f (a)
ć�
I =� f (a) +� (x -� a)��dx
����
��
a
b -� a
Ł�ł�
f (a) +� f (b)
I =� b -� a
(� )�
2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
6
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład (Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
f (x) =� 0.2 +� 25x -� 200x2 +� 675x3 -� 900x4 +� 400x5
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
7
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Sposobem na poprawę dokładności  podział przedziału całkowania na
podprzedziały i zastosowanie metody trapezów do każdego
z podprzedziałów
b -� a
h =�
n
x1 x2 xn
I =� f (x)dx +� f (x)dx +�...+� f (x)dx
�� �� ��
x0 x1 xn-�1
n-�1
h ��ł�
I � f (x0) +� 2 f (xi) +� f (xn)ś�
��
��
2
�� i=�1
n-�1
f (x0) +� 2 f (xi) +� f (xn)
��
i=�1
I � b -� a
(� )�
2n
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
8
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład (Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
f (x) =� 0.2 +� 25x -� 200x2 +� 675x3 -� 900x4 +� 400x5
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów z podziałem na 2, 3, 4, 5
podprzedziałów.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
9
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
10
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
b) metoda Simpsona
3h
h
J � f (x0) +� 3 f (x1) +� 3 f (x2) +� f (x3)
J � f (x0) +� 4 f (x1) +� f (x2)
[� ]�
[� ]�
8
3
f (x0) +� 4 f (x1) +� f (x2)
f (x0) +� 3 f (x1) +� 3 f (x2) +� f (x3)
J � (b -� a)
J � (b -� a)
6
8
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
11
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład (Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
f (x) =� 0.2 +� 25x -� 200x2 +� 675x3 -� 900x4 +� 400x5
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 1/3.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
12
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład (Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
f (x) =� 0.2 +� 25x -� 200x2 +� 675x3 -� 900x4 +� 400x5
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 3/8.
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
13
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
2. Kwadratura Gaussa-Legendre a
n
b
I =� f (x)dx � f (xi )wi
��
��
a
i=�1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
14
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Wartości węzłów i wag kwadratury Gaussa-Legendre'a
n
1
I =� f (x� )dx� � f (x�i )wi
��
��
-�1
i=�1
x�i wi
n = 1 0 2
 0.5773502692 1
n = 2
0.5773502692 1
 0.7745966692 0.5555555556
n = 3
0 0.8888888889
0.7745966692 0.5555555556
 0.8611363116 0.3478548451
 0.3399810436 0.6521451549
n = 4
0.3399810436 0.6521451549
0.8611363116 0.3478548451
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
15
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Zmiana przedziału całkowania
b -� a a +� b
x =� x� +�
22
dx b -� a
b -� a
=�=� J
dx =� dx�
dx� 2
2
n
b 1
I =� f (x)dx =� f x(x� ) Jdx� � f x(x�i ) wiJ
(� )� (� )�
��
����
a -�1
i=�1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
16
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład
2
Obliczyć całkę funkcji f (x) =� x w przedziale <1; 4>.
I =� f x(x�1) w1J
(� )�
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
17
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
Przykład
2
Obliczyć całkę funkcji f (x) =� x w przedziale <1; 4>.
2
I =� f x(x�i ) wiJ =� f x(x�1) w1J +� f x(x�2) w2J
(� )� (� )� (� )�
��
i=�1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
18
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
3. Metoda Monte-Carlo
��podejście probabilistyczne
��losujemy n liczb pi o rozkładzie jednostajnym na odcinku <0,1>
��obliczamy współrzędne
��obliczamy całkę
n =10 n =10
16 16
I=21 I=21
14 14
IMC=21.0597 IMC=14.457
12 12
error = 0.28449 % error = 31.1572 %
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
19
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Metody Obliczeniowe
Całkowanie numeryczne
n =100 n =100
16 16
I=21 I=21
14 14
IMC=20.9987 IMC=22.4752
12 12
error = 0.006062 % error = 7.0247 %
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
0 0
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
20
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4