Matematyka
Mieczysław Kula
Wyższa Szkoła
Bankowości i Finansów
w Katowicach
Wykład 2
Granice i pochodne
funkcji
Otoczenie liczby
Otoczeniem liczby rzeczywistej a nazywamy dowolny przedział postaci
(a - µ, a + µ), gdzie µ > 0.

( )
a - µ a a + µ
Sąsiedztwem liczby rzeczywistej a nazywamy dowolny zbiór postaci
(a - µ, a + µ) \ {a}, gdzie µ > 0.
Granica ciÄ…gu
Mówimy, że liczba rzeczywista a jest granicą ciągu an przy n dążącym do
nieskończoności, gdy w każdym otoczeniu liczby a zawarte są prawie
wszystkie wyrazy tego ciÄ…gu.
Zapis:
lim an = a.
n"
Granica ciÄ…gu
Mówimy, że ciąg an jest zbieżny
do nieskończoności do minus nieskończoności
jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu
są większe są mniejsze
od dowolnie wybranej liczby rzeczywistej.
lim an = " lim an = -".
n" n"
Przykłady
1
1. Wszystkie wyrazy ciągu an = o numerach większych od 1000 należą
n
do otoczenia zera (-0,001 , 0,001).
1
Ogólnie wszystkie wyrazy tego ciągu o numerach większych od należą do
µ
otoczenia zera postaci (-µ, µ).
Stąd wynika, że
1
lim = 0.
n"
n
Przykłady
2. Załóżmy, że bn = an jest ciągiem geometrycznym i |a| < 1. Wszystkie
wyrazy tego ciągu o numerach większych od 1000 należą do otoczenia zera
(-|a|1000, |a|1000).
Ogólnie wszystkie wyrazy tego ciÄ…gu o numerach wiÄ™kszych od log|a| µ
należą do otoczenia zera postaci (-µ, µ).
Stąd wynika, że lim an = 0
n"
Przykłady
3. CiÄ…g an = (-1)n nie ma granicy. Wszystkie wyrazy ciÄ…gu o numerach
parzystych są równe 1, a wszystkie wyrazy o numerach nieparzystych są
rowne -1.
Stąd wynika, że nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu leży poza
otoczeniem (-3, -1) liczby -1 i podobnie nieskończenie wiele wyrazów
2 2
3
tego ciągu leży poza otoczeniem (1, ) liczby 1.
2 2
Ponadto, jeśli a = -1 i a = 1 to wszystkie wyrazy tego ciągu leżą poza

otoczeniem (a - µ, a + µ) liczby a, gdzie µ jest mniejszÄ… z liczb |a - 1| i
|a + 1|.
Logarytm naturalny
Można udowodnić, że
n
1
e = lim 1 + H" 2, 7182818284590452353602874713527...
n"
n
Jeśli podstawą funkcji wykładniczej jest liczba e to taką funkcję
oznaczamy czasem exp tzn exp x = ex.
Jeśli podstawą funkcji logarytmiczej jest liczba e to taką funkcję
oznaczamy ln tzn. ln x = loge x i nazywamy logarytmem naturalnym.
Granica funkcji
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie x0, jeżeli dla każdego
ciągu (xn) spełniającego warunki
1
xn " Df dla wszystkich liczb naturalnych n;
2
xn = x0 dla wszystkich liczb naturalnych n;

3
limn" xn = x0.
ciąg (f (xn)) jest zbieżny do g.
Zapis:
lim f (x) = g
xx0
Granice jednostronne
Jeżeli zastąpimy warunek 2 warunkiem
2 . xn > x0, dla xn " Df 2 . xn < x0, xn " Df
to takÄ… granicÄ™ nazywamy
prawostronnÄ… lewostronnÄ…
i oznaczamy
lim f (x) = g lim f (x) = g.
+ -
xx0 xx0
Przykłady granic funkcji
lim c = c; (granica funkcji stałej)
xa
lim x = a; (granica funkcji identycznościowej)
xa
1
lim = ";
x0+ x
1
lim = -";
x0- x
Działania na granicach funkcji
Tw. Jeśli istnieją granice funkcji f (x) oraz g(x) w punkcie x0 i są
skończone to:
1
lim (f (x) Ä… g(x)) = lim f (x) Ä… lim g(x)
xx0 xx0 xx0
2
lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)
xx0 xx0 xx0
f (x)
3
lim = lim f (x)/ lim g(x)
xx0 xx0 xx0
g(x)
pod warunkiem, że g(x) = 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x0 oraz

lim g(x) = 0

xx0
Podobne wzory są spełnione dla granic jednostronnych.
Asymptota pionowa
Jeśli funkcja f (x) jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu a oraz
przynajmniej jedna z granic jednostronnych jest nieskończona, to prostą o
równaniu x = a nazywamy asymptotą pionową tej funkcji w punkcie a.
Asymptota ukośna
Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną krzywej o
równaniu y = f (x), jeżeli zachodzi:
lim [f (x) - (ax + b)] = 0 lub lim [f (x) - (ax + b)] = 0.
x-" x"
Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdy a = 0, jest asymptota
pozioma o równaniu y = b.
Asymptota ukośna
Tw. Jeżeli krzywa o równaniu y = f (x) ma asymptotę ukośną o równaniu
y = ax + b, to
f (x) f (x)
a = lim lub a = lim
x-" x"
x x
i
b = lim [f (x) - ax] lub b = lim [f (x) - ax]
x-" x"
Przykład
Wyznaczmy asymptotę ukośną funkcji
3x2 - 2x - 1
f (x) = .
x
f (x) 3x2 - 2x - 1 1 1
a = lim = lim = lim (3 - 2 - ) = 3.
x" x" x"
x x2 x x2
3x2 - 2x - 1
b = lim [f (x) - ax] = lim [ - 3x] =
x" x"
x
1
lim (-2 - ) = -2.
x"
x
Stąd wynika, że funkcja ma asymptotę ukośną o równaniu y = 3x - 2.
Ciągłość funkcji
Niech funkcja f (x) będzie określona w przedziale [a, b] oraz niech
x0 " [a, b]. Mówimy, że funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0, jeżeli
lim f (x) = f (x0).
xx0
Funkcja jest ciągła w przedziale, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego
przedziału.
Przykłady funkcji ciągłych
Funkcje wielomianowe są ciągłe w przedziale (-", ").
Funkcje pierwiastkowe i wymierne są ciągłe w każdym przedziale
zawartym w dziedzinie.
Funkcje wykładnicze są ciągłe w przedziale (-", "), to znaczy
lim ax = au dla wszystkich liczb rzeczywistych u.
xu
Funkcje logarytmiczne są ciągłe w przedziale (0, "), to znaczy
lim loga x = loga u dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich u.
xu
Pochodna funkcji
PochodnÄ… funkcji f (x) w punkcie x0 nazywamy
f (x0 + h) - f (x0)
2
f (x0) = lim .
h0 h
f (x) - f (x0)
Wyrażenie nazywamy ilorazem
x - x0
różnicowym funkcji f (x) w punkcie x0.
Iloraz różnicowy funkcji f (x) w punkcie x0 może mieć również postać
f (x0 + h) - f (x0)
. (podstawienie x = x0 + h).
h
Obliczanie pochodnych nazywamy różniczkowaniem. Jeśli funkcja ma
pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest różniczkowalna w tym
punkcie.
Interpretacja geometryczna pochodnej

f (x)-f (x0)
tg Ä… =
x-x0

üÅ‚
f (x)

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
żł

f (x) - f (x0)

ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
þÅ‚
Ä…
f (x0)



x0 x



x-x0



Interpretacja geometryczna pochodnej

f (x)-f (x0)
tg Ä… =
x-x0



üÅ‚
f (x)

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
żł

f (x) - f (x0)

ôÅ‚
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
þÅ‚
Ä…
f (x0)



x0
x



x-x0



Interpretacja geometryczna pochodnej

2
tg Ä… = f (x0)







f (x0)


Ä…

x0





Pochodna funkcji
f (x)-f (x0)
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia
x-x0
siecznej przechodzÄ…cej przez punkty (x0, f (x0)) oraz (x, f (x)) wykresu
funkcji.
Pochodna funkcji w punkcie x0 jest równa tengensowi kąta nachylenia
stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f (x0)).
Reguły różniczkowania
Tw. Jeśli funkcje f (x) i g(x) posiadają pochodne w pewnym zbiorze A, to
2
1
(af (x))2 = af (x)
2
2
(f (x) Ä… g(x))2 = f (x) Ä… g2 (x)
2
3
(f (x)g(x))2 = f (x)g(x) + f (x)g2 (x)
2 2
f (x) f (x)g(x) - f (x)g2 (x)
4
=
g(x) [g(x)]2
2
5
(f (g(x)))2 = f (g(x))g2 (x).
Pochodne podstawowych funkcji
1. c2 = 0
2. (xa)2 = axa-1
1
3 . (ex)2 = ex
3 . (ln x)2 =
x
1
4 . (ax)2 = ax ln a
4 . (loga x)2 =
x ln a
Interpretacja pochodnej w ekonomii
Funkcję C : [0, ") - R nazywamy funkcją kosztów producenta, jeśli
wyprodukowanie x jednostek pewnego produktu kosztuje C(x) złotych.
Załóżmy, że zakład produkuje s jednostek tego produktu.
Pytanie 1 Jaki jest średni koszt wyprodukowania jednej jednostki tego
towaru?.
Pytanie 2 Przypuśćmy, że zakład zamierza zwiększyć produkcję o h
jednostek. Jaki będzie średni koszt dodatkowej produkcji?
Interpretacja pochodnej w ekonomii
C(s)
Odp. 1 Średni koszt obliczony dla całej produkcji jest równy .
s
C(s + h) - C(s)
Odp. 2 Średni koszt dodatkowej produkcji jest równy
h
Ćwiczenie Wykonać obliczenia dla funkcji kosztów
C (x) = 0.1x2 + 3x + 500 i s = 100. Sprawdzić, czy produkcja jest
opłacalna i czy warto zwiększać produkcję, jeśli wiadomo, że cena rynkowa
produkowanego towaru wynosi 20 zł.
Koszt krańcowy
Def. Pochodną funkcji kosztów (jeżeli istnieje)
C(s + h) - C(s)
C2 (s) = lim
h0 h
nazywamy kosztem krańcowym przy produkcji s (lub kosztem krańcowym
s-tej jednostki).
Zastosowania pochodnych do badania funkcji.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f (x) jest różniczkowalna (tzn. posiada pochodną) w
przedziale (a, b), to jest ciągła w tym przedziale.
Twierdzenie Lagrange a
Jeśli funkcja f (x) jest ciągła w pewnym przedziale [a, b] i posiada
pochodną w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki
punkt c " (a, b), że
f (b) - f (a)
2
f (c) = .
b - a
Pochodna a monotoniczność funkcji
Tw. Załóżmy, że funkcja f (x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b).
2
1
Jeśli f (x) = 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest
stała w tym przedziale.
2
2
Jeśli f (x) > 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest
rosnÄ…ca w tym przedziale.
2
3
Jeśli f (x) < 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja jest
malejÄ…ca w tym przedziale.
Ekstrema lokalne - warunek konieczny
Definicja
Mówimy, że funkcja f (x) ma w punkcie x0
maksimum lokalne minimum lokalne
jeżeli istnieje takie otoczenie (x0 - ´, x0 + ´) punktu x0,
że dla każdego x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi nierówność
f (x) f (x0) f (x) f (x0)
Warunek konieczny
Jeżeli funkcja różniczkowalna f (x) ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, to
2
f (x0) = 0.
Ekstrema lokalne - warunek wystarczajÄ…cy
Twierdzenie (Warunek wystarczajÄ…cy)
Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0,
2
f (x0) = 0 i w pewnym otoczeniu punktu x0 pochodna zmienia znak,
tzn. dla x " (x0 - ´, x0 + ´)
2 2
f (x) < 0, gdy x < x0 f (x) > 0, gdy x < x0
2 2
f (x) > 0, gdy x0 < x f (x) < 0, gdy x0 < x
to funkcja f (x) ma w punkcie x0
minimum lokalne maksimum lokalne.
Ekstrema lokalne - warunek wystarczajÄ…cy
Twierdzenie
Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x0 i
2 2
f (x0) = 0 oraz pochodna f (x) w sąsiedztwie punktu x0 ma stały znak, to
funkcja f (x) nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x0.
Badanie funkcji (częściowe)
1
Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
2
Obliczyć pochodną.
3
Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
4
Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
5
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji.
Badanie funkcji - przykład
Przykład:
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
x2
f (x) =
x - 1
1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji.
x " Df Ð!Ò! x - 1 = 0 Ð!Ò! x = 1

Df = (-", 1) *" (1, ") = R \ {1}
Badanie funkcji - przykład
x2
f (x) =
x - 1
2. Obliczyć pochodną.
(x2)2 (x - 1) - x2(x - 1)2 2x(x - 1) - x2 · 1 x2 - 2x
2
f (x) = = =
(x - 1)2 (x - 1)2 (x - 1)2
Badanie funkcji - przykład
x2 - 2x
2
f (x) =
(x - 1)2
3. Wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej.
2
f (x) = 0 Ð!Ò! x2 - 2x = 0 Ð!Ò! x(x - 2) = 0
x1 = 0 x2 = 2
Badanie funkcji - przykład
4. Wyznaczyć przedziały, w których pochodna ma stały znak.
x2 - 2x
2
f (x) > 0 Ð!Ò! > 0 Ð!Ò!
(x - 1)2
Ð!Ò! (x2 - 2x > 0 '" (x - 1)2 = 0)

x2 - 2x jest funkcją kwadratową z najwyższym współczynnikiem dodatnim,
2
zatem f (x) > 0 dla x " (-", 0) *" (2, ").
2
Podobnie f (x) < 0 dla x " (0, 1) *" (1, 2).
Zatem, pochodna jest dodatnia w przedziałach (-", 0) i (2, ").
Pochodna jest ujemna w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
Badanie funkcji - przykład
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
Funkcja f (x) jest rosnąca w przedziałach (-", 0) i (2, ").
Funkcja f (x) jest malejąca w przedziałach (0, 1) i (1, 2).
W punkcie x1 = 0 funkcja ma maksimum lokalne o wartości f (0) = 0.
W punkcie x2 = 2 funkcja ma minimum lokalne o wartości f (2) = 4.