1) Błędy:
a) Bezwzględny
i) Obliczamy f(a,b,c& )
ś�f ś�f ś�f
ii) Obliczmy ; ; &
ś�a ś�b ś�c
ś�f ś�f ś�f
iii) D�f =� D�a +� D�b +� D�c +� ...
ś�a ś�b ś�c
b) Względny
D�f
Bw =� r =� ; "f  błąd bezwzględny, f  wartość dokładna
f
a -� b
c) f (a,b, c) =�
c
ś�f 1 ś�f 1 ś�f a -� b
=� , =� -� =� -�
ś�a c ś�b c ś�c c2
ab
d) f (a,b,c) =�
c
ś�f b ś�f a ś�f ab
=� , =� =� -�
ś�a c ś�b c ś�c c2
C �� D
e) K =�
A �� B
ś�K C �� D ś�K C �� D ś�K D ś�K C
=� -� , =� -� , =� , =�
ś�A A2 �� B ś�B A�� B2 ś�C A �� B ś�D A�� B
2) Obliczanie miejsca zerowego wielomianu:
a) Metoda bisekcji
i) Jeżeli mamy wielomian W2(x) =� f (x) oraz przedział na którym szukamy miejsca zerowego [�a0;b0]�
ii) Tworzymy tabelkę składająca się z następujących kolumn:
an +� bn
an | bn | pn =� | f (an) | f (bn)
2
iii) Jeżeli f (an ) *� f (bn )��0 , to an+�1= an bn+�1= pn
iv) Jeżeli f (an ) *� f (bn )ń�0 , to an+�1= pn bn+�1=bn
b) Metoda Newtona
i) Jeżeli mamy wielomian W2(x) =� f (x) oraz punkt startowy x0
ii) Obliczamy pochodną f '(x)
iii) Tworzymy tabelkę składającą się z następujących kolumn:
f (xn )
xn | f (xn ) | f '(xn ) | xn+�1 =� xn -�
f '(xn)
c) Metoda siecznych
i) Jeżeli mamy wielomian W (x) =� f (x) i punkty startowe x0 i x1
ii) Tworzymy tabelkę składającą się z następujących kolumn:
f (xn ) �� (xn -� xn-�1)
xn-�1 | xn | f (xn-�1) | f (xn ) | xn+�1 =� xn -�
f (xn ) -� f (xn-�1)
3) Metoda różnic centralnych:
i) Jeżeli mamy stablicowaną funkcję i dany krok h oraz punkt x w którym mamy obliczyć wartość
pochodnej to formuła różnic centralnych wygląda następująco:
f (x +� h) -� f (x -� h)
f '(x) =� błąd metody rzędu h2
2h
4) Ekstrapolacja Richardsona:
h1
i) Jeżeli mamy funkcję f (x) oraz kroki h1 i h2 takie, że h2 =�
2
ii) Liczymy f (x) z krokiem h1 i h2
iii) Wzór na ekstrapolację wygląda następująco:
4 �� f (h2 ) -� f (h1)
M =� błąd metody rzędu h2 (cztery razy wynik z krokiem mniejszym minus wynik
3
z krokiem większym podzielone przez trzy)
16 �� f (h2) -� f (h1)
M =� błąd metody rzędu h4
15
5) Obliczanie całek oznaczonych:
a) Analitycznie
i) Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale a,b , tzn. jeżeli
F (x) = f(x), to ma miejsce wzór:
b
f (x)dx =� F(b) -� F(a)
��
a
b) Metodą trapezów
i) Jeżeli mamy funkcję f (x) daną na przedziale x ��<� a,b >� i krok h
ii) Tworzymy tabelkę składającą się z kolumny x oraz f (x) na przedziale x ��<� a,b >�
iii) Wzór na obliczenie całki metodą trapezów wygląda następująco:
ć� f0 +� fm m-�1 ��
T (h) =� h ���� +� fi �� ; ( fm - ostatni wyraz)
��
2
Ł� i=�1 ł�
iv) Metoda trapezów daje błąd rzędu h2
c) Metodą Simpsona
i) Jeżeli mamy funkcję f (x) daną na przedziale x ��<� a,b >� i krok h
ii) Tworzymy tabelkę składającą się z kolumny x oraz f (x) na przedziale x ��<� a,b >�
iii) Wzór na obliczenie całki metodą Simpsona wygląda następująco:
h
S(h) =� ��(�f0 +� 4 f1 +� 2 f2 +� 4 f3 +� 2 f4 +� ... +� 4 fm-�1 +� fm )�; ( fm - ostatni wyraz, m-parzyste)
3
iv) Metoda Simpsona daje błąd rzędu h4
6) Ilorazy różnicowe:
a) Iloraz różnicowy zerowego stopnia
i) Jeżeli mamy stablicowaną funkcję to wzór na iloraz różnicowy zerowego stopnia ma postać
f [�x0]�=� f (x0) =� y0 �� f [�xi]�=� yi
b) Iloraz różnicowy pierwszego stopnia
i) Jeżeli mamy stablicowaną funkcję to wzór na iloraz różnicowy pierwszego stopnia ma postać
y1 -� y0 y2 -� y1
f [�x0, x1]�=� , f [�x1, x2]�=�
x1 -� x0 x2 -� x1
c) Iloraz różnicowy drugiego stopnia
i) Jeżeli mamy stablicowaną funkcję to wzór na iloraz różnicowy drugiego stopnia ma postać
f [�x1, x2]�-� f [�x0, x1]�, f [�x1, x2, x3]�=� f [�x2, x3]�-� f [�x1, x2]�
f [�x0, x1, x2]�=�
x2 -� x0 x3 -� x1
7) Regresja liniowa:
a) Wzory dla regresji y =� ax +� b :
2
M =� n xi2 -� (��� xi)�
��
[�n(��� xi yi)�-� (��� xi)�(��� yi)�]� n
2
sa =� s2 �� ł�
a =�
ę�M ś�
�� ��
M
[�(��� yi)�(��� xi2)�-� (��� xi)�(��� xi yi)�]� �� ł�
(��� xi2)�ś�
2
b =�
sb =� s2 ę�
M
M
ę� ś�
�� ��
2
[���(�yi -� axi -� b)� ]�
s2 =�
(�n -� 2)�
b) Tworzymy tabelkę o następujących kolumnach:
2
x | y | x2 | x �� y | y -� ax -� b | (�y -� ax -� b)�
c) Obliczamy wartości M , a , b , s2 , sa , sb
8) Numeryczne obliczanie pochodnej:
a) Jeżeli dana jest równaniem różniczkowym zależność między x i y oraz x0 i y(x0) , a także krok D�x z
jakim prowadzić należy obliczenia to wzór numeryczny na pochodną ma postać:
dy y(�x +� D�x)�-� y(�x)� dy
ć� ��
� �� y(�x +� D�x)�=� y(�x)�+� D�x �� ��
�� ��
dx D�x dx
Ł� ł�
�� yi+�1 =� yi +� D�x �� y(�xi, yi )�
b) Tworzymy tabelkę o następujących kolumnach:
dy
xi | yi |
dx
dy
c) Obliczamy a następnie y(�x +� D�x)� ze wzoru powyżej
dx
9) Wielomian interpolacyjny
a) Jeżeli mamy daną stablicowaną funkcję to do obliczenia współczynników wielomianu n-tego stopnia
korzystamy ze schematu Hornera
i) Najpierw obliczamy ilorazy różnicowe n-tego stopnia
ii) Następnie zapisujemy b0,b1,b2,...,bn (b  ilorazy różnicowe n-tego stopnia dla x0 )
iii) Następnie podstawiamy do wzoru:
W4 =� b4
W3 =� (x -� x3) ��W4 +� b3
W2 =� (x -� x2) ��W3 +� b2 W0 jest wielomianem o szukanych współczynnikach
W1 =� (x -� x1) ��W2 +� b1
W0 =� (x -� x0) ��W1 +� b0
10) Macierze:
a) Podstawowe pojęcia
1 2 3
�� ł�
ę�4
i) Macierz to po prostu tablica liczb. 5 6ś� - jest to przykładowa macierz
ę� ś�
ę� ś�
��7 8 9��
ii) Macierz kwadratową, której wszystkie elementy oprócz przekątnej głównej są równe zero,
nazywamy macierzą diagonalną
iii) Macierz diagonalną, której wszystkie elementy na przekątnej równe są 1 nazywamy macierzą
jednostkową lub po prostu jedynką i oznaczamy I
iv) Transpozycja jest operacją często używaną w obliczeniach na macierzach. Operacja transpozycji to
zamiana macierzy tak aby jej wiersze stały się kolumnami. Transpozycję oznaczamy indeksem
górne T.
AT  transpozycja macierzy A
-�1 7
�� ł�
T
-�1 0 3
�� ł�
ę� ś�
Np.: =� 0 6
ę�
ś�
7 6 -� 4ś� ę�
�� ��
ę� ś�
3 -� 4��
��
v) Macierz kwadratową A nazywamy ortogonalną, jeżeli
AAT =� I
Jeżeli macierz jest ortogonalna to również jej transpozycja jest ortogonalna
Macierz jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny dwóch wierszy (kolumn) tej
macierzy był równy zeru, a iloczyn skalarny każdego wiersza (kolumny) był równy 1.
b) Działania na macierzach:
i) Dodawanie
ii) Mnożenie przez skalar
iii) Mnożenie macierzy
Dla macierzy Am��n oraz Bn�� p ich iloczynem nazywamy macierz [�A�� B]�
m��p
Np.:
iv) Odwracanie macierzy
-�1
(1) (�A-�1)� =� A
-�1
(2) (�A �� B)� =� A-�1 �� B-�1
-�1 T
(3) (�AT )� =� (�A-�1)�
AD
(4) A-�1 =�
det A
-�1
a b d -� b
�� ł� 1 �� ł�
(5) =�
ę�c d ś� ę� ś�
ad -� bc c a
�� �� ��-� ��
c) Macierz charakterystyczna. Wyznaczanie pierwiastków charakterystycznych macierzy
i) Jeżeli mamy daną macierz np.
0 1 0 1
�� ł�
ę�1 0 1 0ś�
ę� ś�
K =� A -� l�I
A =� zapisujemy macierz K taką, że
ę� ś�
0 1 0 1
ę�1 0 1 0ś�
�� ��
0 -� l� 1 0 1
�� ł�
ę� ś�
1 0 -� l� 1 0
ę� ś�
K =�
ę� ś�
0 1 0 -� l� 1
ę�
1 0 1 0 -� l�ś�
�� ��
ii) Obliczamy wyznacznik macierzy K
iii) Przyrównujemy wyznacznik macierzy K do zera: det K =� 0
iv) Wyznaczając pierwiastki wielomianu otrzymujemy pierwiastki charakterystyczne macierzy:
l�1 =� 0
l�2 =� 0
l�4 -� 4l�2 =� 0 ��
l�3 =� 2
l�4 =� -�2
d) Przekształcanie przez podobieństwo
i) Jeżeli mamy daną macierz ortogonalną Q i macierz A to macierz B możemy obliczyć przez
podobieństwo korzystając ze wzoru:
B =� Q-�1 �� A��Q