Tematy na egzamin
(1) Rachunek zdań: koniunkcja, alternatywa, implikacja i ich zaprzeczenia; tautologie.
(2) Operacje na zbiorach: suma, przeciecie, różnica, dopeńienie.
Ä…
(3) Liczby wymierne i niewymierne, wartość bezwzgledna.
Ä…
(4) Uklady równań liniowych, sposoby rozwiazywania.
Ä…
(5) Wyznacznik definicja (wzór rekurencyjny rozwiniecie Laplace a) i podstawowe wlasności: lin-
Ä…
iowość wzgledem kolumn(wierszy), zmiana znaku przy zamianie kolumn(wierszy) miejscami.
Ä…
(6) Rola wyznacznika w rozwiazywaniu ukladów równań liniowych, wzory Cramera.
Ä…
(7) Wektory, operacje na wektorach, liniowa niezależność wektorów, rzad macierzy.
Ä…
(8) Granica ciagu, definicja, podstawowe twierdzenia o granicach: granica sumy, różnicy, iloczynu, ilo-
Ä…
razu; przyklady ciagów zbieżnych, podstawowe sposoby obliczania granic: wielomian/wielomian,
Ä…
różnica pierwiastków, ciag geometryczny, procent skladany.
Ä…
(9) Co to znaczy, że ciag daży do "?
Ä… Ä…
(10) Twierdzenie o 3 ciagach, przyklady.
Ä…
(11) Granica funkcji w punkcie, ciaglość funkcji w punkcie, przyklady funkcji ciaglych i nieciaglych.
Ä… Ä… Ä…
Suma, różnica, iloczyn, iloraz i zlożenie funkcji ciaglych.
Ä…
(12) Podstawowe wlasności funkcji ciaglych: wlasność Darboux, funkcji ciaglych. przyjmowanie wartości
Ä… Ä…
najmniejszej i najwiekszej na odcinku domknietym i ograniczonym.
Ä… Ä…
(13) Pochodna funkcji w punkcie, geometryczna interpretacja pochodnej, przyklad funkcji ciaglej i
Ä…
nieróżniczkowalnej w jakimś punkcie.
(14) Pochodna sumy, iloczynu, ilorazu; pochodna funkcji zlożonej.
(15) Pochodna funkcji a monotoniczność; ekstrema a pochodna funkcji.
(16) Funkcje elementarne: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potegowe, funkcje trygonometryczne,
Ä…
funkcja wykladnicza i logarytm. Jakościowy charakter wykresów.
(17) Calka oznaczona  idea (pole pod wykresem), podstawowe wlaności.
Ä…
(18) Funkcja pierwotna, zwiazek z calka oznaczona.
Ä… Ä… Ä…
Przykladowe zadania
(1) Każde zadanie, które pojawilo sie na kolokwiach.
Ä…
(2) Wiemy, że zdanie (p Ò! q) '" (<" (r Ò! q)) jest prawdziwe. Co można orzec o wartoÅ›ci logicznej
zdań p, q, r.
(3) Niech p oznacza zdanie: Jutro bedzie niedziela , q zdanie: Wczoraj byl poniedzialek a s zdanie:
Ä…
Jutro bedzie Å›roda. W zależnoÅ›ci od dnia tygodnia zbadać prawdziwość zdania: (s '" (p (" q)) Ò!<"
Ä…
(q '" s).
(4) Ocenić wartość logiczna zdań: a)  Jeżeli dziś jest czwartek, to (jeżeli dziś jest piatek, to wczoraj
Ä… Ä…
byl wtorek) ; b)  Czy możesz podać mi parasol?
(5) Niech A := {n " N : n d" 33 i n dzieli sie przez 8}, B := {n " N : n d" 27 i n dzieli sie przez 6},
Ä… Ä…
C := {n " N : n d" 1000 i n dzieli sie przez 17}. Wyliczyć zbiory A \ B , B \ A , A )" B , B *" A , (A )"
Ä…
C) *" C , (B *" C) )" B , (A )" C) \ (A *" C) , [(C \ B) *" (C )" A] \ C.
(6) Rozwiazać nierówność: |4x + 2| < |x - 1|.
Ä…
(7) Rozwiazać nierówność: x2 + 5|x| + 6 > 0.
Ä…
(8) Narysować A, B, A *" B, A )" B, A \ B, B \ A dla A := {x " R : x2 > 4} , B := {x " R : |x| d" 3}
5 11
(9) Podać liczbe niewymierna x, spelniajaca nierówność: < x < .
Ä… Ä… Ä… Ä…
2 4
(10) Czy uklad równań:
x + 2y + 3z + 4t = 0
4x + 3y + 2z + 4t = 0
3x + y + 2z + 4t = 0
-3x + 4y + 2z - 3t = 0
posiada jednoznaczne rozwiaznie?
Ä…
(11) Wzory Cramera.
(12) Dane sa produkty A,B,C o zawartości bialka: A 10%, B 30%, C 60%; zawartości weglowodanów:
Ä… Ä…
A 20%, B 50%, C 30%; tluszczów: A 65%, B 15%, C 5%; kaloryczności: A 450kcal/100g, B
300kcal/100g, C 250kcal/100g.
" Czy z A i B można ulożyć diete skladajaca sie z 20% bialka i 40% weglowodanów ?
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
1
2
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 30% bialka, 20% tluszczów i 40%
Ä… Ä… Ä… Ä…
weglowodanów ?
Ä…
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 25% bialka i 40% tluszczów ?
Ä… Ä… Ä… Ä…
" Czy z A, B i C można ulożyć diete skladajaca sie z 40% bialka i 40% weglowodanów i 2000
Ä… Ä… Ä… Ä… Ä…
kcal ?
" Napisać uklad równaÅ„ dla diety skladajacej sie z A, B, C skladajacej sie z Ä…% bialka, ²%
Ä… Ä… Ä… Ä…
weglowodanów, ł% tluszczów i K kcal.
Ä…
(13) Jaka jest suma wszystkich liczb podzielnych przez 7 i mniejszych od 324 ?
2n+3
(14) Czy ciag an := jest monotoniczny.
Ä…
4n-7
1
(15) Czy ciag an := (-1)nn + jest zbieżny? Odpowiedz
uzasadnić.
Ä…
n
(16) Jaka jest efektywna roczna stopa procentowa dla lokaty 5% z kapitalizacja miesieczna.
Ä… Ä… Ä…
n + 4 1
(17) Dla ciagu an := i := znalez
ć N takie, że dla każdego n > N zachodzi nierówność
Ä…
3n - 1 81
1
an - < .
3
3n4 + 14n3 + sin (n2 + 1)
(18) Obliczyć lim " , lim n2 + 2n - n2 - 2n,
n" n"
n4 + n
1 cos(3n4 + 11)
lim , lim "
" "
n" n"
n2 + n + 1
n2 + 2n + 1 - n2 - n + 2n
1
(19) Wiemy, że sin(Ä…) = -"2; obliczyć pozostale funkcje trygonometryczne i okreÅ›lić kat (oczywiÅ›cie
Ä…
sa 2 odpowiedzi); a co jeżeli wiemy, iż cos(ą) > 0?
Ä…
x2+4x-5
(20) Dla jakich wartości a " R funkcja f(x) := , x = 1 oraz f(1) = a jest ciagla?

Ä…
x-1
(21) Dla jakiego b " R funkcja f(x) := x2 + x + 6 , x e" 0, f(x) := -2x + b , x < 0 jest ciagla?
Ä…
Naszkicować wykres funkcji f w tym przypadku.
x-2
(22) Czy istnieje taka wartość a " R, że funkcja f(x) := , x = -1, f(-1) = a jest ciagla?

Ä…
2x+1 2 2
(23) Czy równanie x3 + x - 6 = 0 ma rozwiazanie w przedziale ]1, 2[ ?
Ä…
3Ä„
(24) Czy równanie x = tan x ma rozwiazanie w przedziale ]Ą, [? Jeżeli tak, ile jest rozwiazań?
Ä… Ä…
2
"
1 1
(25) Obliczyć z definicji pochodne funkcji: x2 , x3 , , , x.
x x+2
1 3 4
(26) Obliczyć pochodne funkcji: f(x) := 2x3 + x2 + , g(x) := (x2 + 3)3 , h(x) := x2 + , k(x) :=
x+2 x
2 2
sin(2x)
1
, f(x) := e-x , f(x) := log(1 + e-x ). (Wsk: sin (x) = cos x , (ex) = ex , log (x) = )
x+1 x
(27) Korzystajac z tego, że limx0 sin x = 1 obliczyć limx0 sin2(2x)
Ä…
x x2
(28) Znalez
ć równanie stycznej do paraboli y = 2x2 + 1 w punkcie (x0, y(x0)) dla x0 = 3.
1
(29) Znalez
ć równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = w punkcie (x0, f(x0)) dla x0 = -1.
x+3
(30) Który z trójkatów równoramiennych o zadanym obwodzie L ma najwieksze pole ?
Ä… Ä…
(31) Który z prostopadlościanów o podstawie kwadratowej i zadanej powierzchni calkowitej S ma
najwieksza objetość.
Ä… Ä… Ä…
(32) Który z walców o ustalonej powierzchni calkowitej ma najwieksza objetość.
Ä… Ä… Ä…
(33) Zakladajac, że mamy określona ilość desek i dzialke kwadratowa, na której chcemy wybudować
Ä… Ä… Ä… Ä…
prostopadlościenna szope bez podlogi, znalez
ć rozmiar szopy o najwiekszej objetości. k
Ä… Ä… Ä… Ä…
(34) Obliczyć pole figury ograniczonej wykresami funkcji f(x) := x2 + 1, g(x) := x3 oraz prostymi
x = 0 , x = 1.
(35) Obliczyć pole pod wykresem funkcji f(x) := sin 2x , 0 d" x d" Ą/2. (Wsk: cos (x) = - sin(x))
(36) Samochód poruszal sie po lini prostej z predkościa v(t) := 2t + sin t , 0 d" t d" 3. Naszkicuj wykres
Ä… Ä… Ä…
przejechanej drogi. Jaka calkowita droge przebyl w tym czasie?
Ä… Ä… Ä…
"
1
(37) Obliczyć (x3 + x) dx , (x + ) dx , sin x dx , sin 2x dx
x
(38) Czy funkcja f(x) := |x| jest różniczkowalna w x = 0? A w punkcie x = 1?