ALGEBRA LINIOWA
WYKA
AD (1 SEMESTR)
Wiadomości wstępne
N = {1, 2, 3 . . . } - zbiór liczb naturalnych. C = {· · · - 2, - 1, 0, 1, 2 . . . } - zbiór liczb caÅ‚kowitych.

p
Q = : p " Z, q " N -zbiór liczb wymiernych.
q
R - zbiór liczb rzeczywistych. IQ = R\Q - zbiór liczb niewymiernych.
Przez Z", Q" i R" będziemy oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywi-
stych bez zera. Q+ i R+ będzie oznaczać odpowiednio zbiór wszystkich liczb dodatnich wymiernych i dodatnich
rzeczywistych.
n

ai = a1 + a2 + · · · + an - suma liczb ai od 1 do n.
i=1
n

ai = a1 · a2 · · · · · an - iloczyn liczb ai od 1 do n.
i=1
ëÅ‚ öÅ‚

n m n m m n

íÅ‚
aij = aijłł = aij .
i=1 j=1 i=1 j=1 j=1 i=1
Przykład 1.
4 n n

i - 1 13 5i 5n+1 - 5
= 1 , (1 - 2i) = -n2, = ,
i + 1 30 2 8
i=1 i=1 i=1
5 n 2 3

1 1
= , i2 = (n!)2, (i - j) = -3.
i 60
i=3 i=1 i=1 j=1
Uwaga: n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n.
Niech X i Y będą zbiorami. Iloczynem kartezjańskim tych zbiorów nazywamy zbiór
X × Y = {(x, y) : x " X, y " Y }.
PrzykÅ‚ad 2. Niech X = {1, 2, 3} i Y = {0, 1}. Wówczas X × Y = {(1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}.
Dwuargumentowym dziaÅ‚aniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X × X X oznaczane np
symbolem: ć%, , +, ·, •", itp.
Przykład 3. Zwykłe dodawanie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych N i całkowitych Z. Odejmowanie
nie jest działaniem w zbiorze N ale jest działaniem w zbiorze Z.
Definicja 1. Niech n " N i Zn = {0,1, . . . ,n - 1}. Działanie +n zwane dodawaniem modulo n określamy w
zbiorze Zn wzorem a +n b = (a + b)n, gdzie (m)n oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej m przez n. Podobnie
wzorem a · b = (ab)n okreÅ›lamy w zbiorze Zn dziaÅ‚anie · zwane mnożeniem modulo n.
n n
PrzykÅ‚ad 4. Tabelki dziaÅ‚aÅ„ +4 i ·4 w zbiorze Z4.
Grupy i ciała - pojęcia podstawowe
Definicja 2. Mówimy, że działanie w zbiorze A jest przemienne, jeśli dla dowolnych a,b " A zachodzi równość
a b = b a.
a+b a
Przykład 5. Działanie a b = w zbiorze R jest przemienne. Działanie a ć% b = w zbiorze R+ nie jest
2 a+b
przemienne.
1
Definicja 3. Mówimy, że działanie w zbiorze A jest łączne, jeśli dla dowolnych a,b,c " A zachodzi równość
(a b) c = a (b c).
a+b ab
Przykład 6. Działanie a b = w zbiorze R nie jest łączne. Działanie a ć% b = w zbiorze R jest łączne.
2 2
Przykład 7. W zbiorze liczb rzeczywistych R działanie określone wzorem:
1. a b = a + b jest przemienne i Å‚Ä…czne.
2. a b = a - b nie jest przemienne i nie jest Å‚Ä…czne.
3. a b = 2a + 2b jest przemienne ale nie jest Å‚Ä…czne.
4. a b = b nie jest przemienne ale jest Å‚Ä…czne.
Definicja 4. Mówimy, że element e " A jest elementem neutralnym działania określonego w A, jeśli dla
dowolnych a " A zachodzi równość a e = e a = a.
Przykład 8. W zbiorze R elementem neutralnym względem dodawania jest 0, a względem mnożenia 1. W zbiorze
a+b
R elementem neutralnym względem działania a b = a + b + 2 jest -2. Działanie a b = w zborze R nie ma
2
elementu neutralnego.
Twierdzenie 1. Dla dowolnego działania w zbiorze A istnieje co najwyżej jeden element neutralny tego
działania.
Definicja 5. Niech działanie w zbiorze A ma element neutralny e i niech a " A. Każdy element b " A
spełniajacy równość a b = b a = e nazywamy elementem odwrotnym do a.
Przykład 9. W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem dodawania jest -a, a w zbiorze R" elementem
1
odwrotnym do a względem mnożenia jest . W zbiorze R elementem odwrotnym do a względem działania a b =
a
a + b + 2 jest -a - 4.
Twierdzenie 2. Niech działanie w zborze A będzie łączne i niech a " A. Wówczas istnieje co najwyżej jeden
element odwrotny do a.
Definicja 6. Niech będzie działaniem w niepustym zbiorze G. Parę (G, ) nazywamy grupą, jeśli działanie
ma następujące własności:
1. Dla każdego a,b,c " G mamy (a b) c = a (b c), (łączność)
2. Istnieje e " G t.ż. dla każdego a " G mamy a e = e a = a, (istnienie elementu neutralnego)
3. Dla każdego a " G istnieje b " G t.ż. a b = b a = e. (istnienie elementu odwrotnego)
Jeżeli ponadto dla każdego a,b " G mamy a b = b a (przemienność), to G nazywamy grupą abelową (prze-
miennÄ…).
Często grupę (G, ) oznacza się poprostu przez samo G.
PrzykÅ‚ad 10. (R, +), (R", ·) i (Zn, +n) sÄ… grupami abelowymi. Zbiór R wraz z dziaÅ‚aniem okreÅ›lonym wzorem
a+b
a b = nie jest grupÄ…. (N, ·) nie jest grupÄ….
2
Twierdzenie 3. W grupie (G, ) dla dowolnych elementów a,b " G mamy (a b)-1 = b-1 a-1.
2
Uwaga: a-1 oznacza element odwrotny do a.
Definicja 7. Niech (G, ) będzie grupą. Jeśli zbiór G jest skończony, to liczbę jego elementów nazywamy rzędem
grupy G i oznaczamy rz G. Jeśli natomiast G jest nieskończony, to mówimy, że grupa G ma rząd nieskończony
i piszemy rz G = ".
Przykład 11. rz (Zn, +n) = n, rz (Z, +) = "
Definicja 8. Niepusty podzbiór H grupy G, będący grupą względem działania w G nazywamy podgrupą grupy G.
Przykład 12. (Z, +) i (Q, +) są podgrupami grupy (R, +). (N, +) i (IQ, +) nie są podgrupą grupy (R, +).
Definicja 9. PermutacjÄ… n-elementowÄ…, gdzie n " N, nazywamy każde różnowartoÅ›ciowe odwzorowanie à zbioru
{1,2, . . . ,n} na siebie. Permutacje takÄ… zapisujemy w postaci
ëÅ‚ öÅ‚
1 2 . . . i . . . n
íÅ‚ Å‚Å‚
,
a1 a2 . . . ai . . . an
gdzie ai oznacza wartość permutacji à dla argumentu i. Zbiór wszystkich permutacji n-elementowych oznaczamy
przez Sn.
Twierdzenie 4. (Sn, ć%), gdzie ć% oznacza złożenie permutacji jest grupą.
Umowa: złożenie permutacji będziemy nazywali mnożeniem permutacji.
Przykład 13.
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
=
4 2 1 3 1 3 2 4 4 1 2 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
=
1 3 2 4 4 2 1 3 4 3 1 2
Uwaga 1. (S4, ć%) nie jest grupą abelową.
Definicja 10. Niech à " Sn. Mówimy, że para uporzÄ…dkowana (ak,al) tworzy inwersjÄ™ w permutacj Ã, jeÅ›li
k < l oraz ak > al. LiczbÄ™ wszystkich inwersji w permutacji à oznaczamy przez I(Ã). Natomiast liczbÄ™ (-1)I(Ã)
nazywamy znakiem permutacji à i oznaczamy jÄ… symbolem sgn Ã. JeÅ›li sgn à = 1 to mówimy, że permutacja Ã
jest parzysta, a jeÅ›li sgn à = -1 to mówimy, że permutacja à jest nieparzysta.
Przykład 14. Niech
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
à = ; Ä = .
3 1 5 2 6 4 3 5 4 1 6 2
Wówczas permutacja à jest nieparzysta, a permutacja Ä jest parzysta.
Definicja 11. Niech w zbiorze A określone będą działania oraz ć%. Mówimy, że działanie jest rozdzielne
względem działania ć%, jeśli dla dowolnych a,b,c " A zachodzą równości a (b ć% c) = (a b) ć% (a c) oraz (a ć% b) c =
(a b) ć% (b c).
Przykład 15. W zbiorze R mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie nie jest rozdzielne
względem mnożenia.
3
Definicja 12. CiaÅ‚em nazywamy zbiór K wraz z dwoma dwuargumentowymi dziaÅ‚aniami + oraz · takimi, że:
1. (K, +) jest grupÄ… abelowÄ… (element neutralny oznaczamy tu przez 0, zaÅ› element przeciwny do elementu x
oznaczamy przez -x),
2. (K\{0}, ·) jest grupÄ… abelowÄ… (element neutralny oznaczamy tu przez 1, zaÅ› element odwrotny do elementu
x = 0 oznaczamy przez x-1),

3. · jest rozdzielne wzglÄ™dem +.
Uwaga 2. Z definicji ciaÅ‚a wynika, że dziaÅ‚ania + i · w ciele muszÄ… speÅ‚niać nastÄ™pujÄ…ce warunki:
1. Dla każdego a, b, c " K (a + b) + c = a + (b + c).
2. Istnieje 0 " K t.ż. dla każdego a " K a + 0 = a.
3. Dla każdego a " K istnieje b " K t.ż. a + b = 0.
4. Dla każdego a, b " K a + b = b + a.
5. Dla każdego a, b, c " K (a · b) · c = a · (b · c).
6. Istnieje 1 " K t.ż. dla każdego a " K a · 1 = a.
7. Dla każdego a " K\{0} istnieje b " K t.ż. a · b = 1.
8. Dla każdego a, b " K a · b = b · a.
9. Dla każdego a, b, c " K a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
PrzykÅ‚ad 16. (R, +, ·), (Q, +, ·) i (Z3, +, ·) sÄ… ciaÅ‚ami. (Z, +, ·) i (Z6, +, ·) nie sÄ… ciaÅ‚ami.
Liczby zespolone
Wiadomo, że równanie kwadratowe ax2 +bx+c = 0, a,b,c " R nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdy b2 -4ac < 0.
Można powiedzieć, że zbiór liczb rzeczywistych jest ńiekompletny bo niezawiera rozwiązań takiego równania.
Był to jeden z powodów, dla których w XV I wieku zbiór liczb rzeczywistych został rozszerzony poprzez dodanie
jednej liczby i majątej tą własność, że i2 = -1. Tak więc i jest rozwiązaniem równania x2 + 1 = 0.
Wyrażenia w postaci a + bi, gdzie a,b " R, nazywano liczbami zespolonymi i wykonywano działania na tych
liczbach analogicznie jak na liczbach rzeczywistych z uwzględnieniem własności i2 = -1. I tak
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i.
2+3i 1 4
Przykład 17. (2+3i)+(4-2i) = 6+i, (2+3i)-(4-2i) = -2+5i, (2+3i)(4-2i) = 14+8i, = + i.
4-2i 10 5
Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb zespolonych dokonane zostało dopiero na początku XIX wieku
przez Gaussa.
W zbiorze R × R = {z = (a,b) : a,b " R} wprowadzamy dziaÅ‚ania
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Twierdzenie 5 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z1, z2 i z3 będą dowolnymi liczbami
zespolonymi. Wtedy
1. (z1 •" z2) •" z3 = z1 •" (z2 •" z3).
2. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 0 = (0, 0) speÅ‚na równaność z •" 0 = z.
3. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) liczba -z = (-a, -b) speÅ‚na równość z •" (-z) = 0.
4
4. z1 •" z2 = z2 •" z1.
5. (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3).
6. Dla każdej liczby zespolonej z liczba 1 = (1, 0) spełna równaność z 1 = z.
7. Dla każdej liczby zespolonej z = (a, b) = 0 liczba


1 a b
= , -
z a2 + b2 a2 + b2
1
spełnia równość z = 1.
z
8. z1 z2 = z2 z1.
9. z1 (z2 •" z3) = (z1 z2) •" (z1 · z3).
Twierdzenie 6. (R × R, •" , ) jest ciaÅ‚em w którym równanie x2 = -1 (x2 = x x) ma rozwiÄ…zanie. Elementy
tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi a samo ciało ciałem liczb zespolonych.
Definicja 13. Różnicą i ilorazem liczb zespolonych z = (a, b) i w = (c, d) nazywamy, odpowiednio, liczby z - w
z
i , gdzie
w
z ac + bd bc - ad
z - w = (a - c, b - d), = , , gdy w = 0.

w c2 + b2 c2 + d2
Stwierdzenie 1. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można zapisać w postaci
(a, b) = (a, 0) •" ((b, 0) (0, 1)).
Twierdzenie 7. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można przedstawić w postaci z = a + bi.
Jeśli z = a + ib jest liczbą zespoloną, to liczby rzeczywiste a i b nazywamy, odpowiednio, częścią rzeczywistą
i częścią urojoną liczby z i piszemy Re(z) = a oraz Im(z) = b np. Re(2 - i) = 2 i Im(2 - i) = -1. Dwie liczby
zespolone z1 = a1 + ib1 i z2 = a2 + ib2 są sobie równe z1 = z2 wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2 i b1 = b2.
Uwaga 3. C = {a + bi: a,b " R} - zbiór liczb zespolonych.
Przykład 18. Wyznaczyć liczby rzeczywiste x i y takie, że (1 + 2i)x + (3 - 5i)y = 1 - 3i.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Liczbę zespoloną z = a + bi przedstawiamy na płaszczyz
nie
w postaci punktu o współrzędnych (a, b) lub w postaci wektora o początku w punkcie (0, 0) i końcu w punkcie
(a, b). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną lub płaszczyzną
Gaussa. OÅ› OX nazywamy osiÄ… rzeczywistÄ… a oÅ› OY osiÄ… urojonÄ….
Uwaga 4. Interpretacja geometryczna dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych.
Definicja 14. Sprzężeniem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbę z = a - bi.
Np. jeśli z = 3 - 2i to z = 3 + 2i.
Twierdzenie 8. Jeśli z i w są liczbami zespolonymi, to
a) z Ä… w = z Ä… w;
z z
b) zw = zw, = , gdy w = 0;

w w
c) (zn) = (z)n;
d) z jest liczbÄ… rzeczywistÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy z = z.
5
Definicja 15. Modułem liczby zespolonej z = a+bi, gdzie a,b " R, nazywamy liczbę rzeczywistą |z| zdefiniowaną
"
wzorem |z| = a2 + b2.
Np. Jeśli z = 3 - 4i to |z| = 5.
Uwaga 5. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.
Moduł różnicy liczb zespolonych z1 i z2 jest długością odcinaka łączącego punkty z1 i z2.
Twierdzenie 9. Jeśli z, w " C, to
"
a) |z| = zz, |z| = |z| = | - z|;

|z|
z

b) |zw| = |z||w|, = , gdy w = 0;

w |w|
c) |z| |Re((z))| Re(z), |z| |Im(z))| Im(z);
d) |z + w| |z| + |w|, (nierówność trójkąta)
e) ||z| - |w|| |z + w|.
Uwaga 6. Interpretacja geometryczna nierówności trójkąta.
Wniosek 1. Dla każdej liczby n " N i z,z1,z2 . . . zn " C jest:
a) |zn| = |z|n i |z-n| = |z|-n (z = 0),

b) |z1 + z2 + · · · + zn| |z1| + |z2| + · · · + |zn|.
Przykład 19.


(1 - i)4(6 + 8i) 2

= 2 .

(3 + 3i)2 9
Przykład 20. Na płaszczyżnie zespolonej zaznaczyć zbiór tych liczb zespolonych z które spełniają warunki:
|z - 1 - 2i| = 4, |z - i| 1 i |z + 3 + i| > 2.
Przykład 21. Rozwiązać następujące równanie, gdzie z jest liczbą zespoloną:
zz + 2z = 19 + 4i.
Dla 0 = z = a + bi mamy



a b a b
z = |z| + = a2 + b2 " + "
|z| |z|
a2 + b2 a2 + b2
przy czym
2 2
a b
" + " = 1.
a2 + b2 a2 + b2
Istnieje wiÄ™c dokÅ‚adnie jedno ¸ " [0, 2Ä„) takie, że
a b
cos ¸ = " , sin ¸ = " .
a2 + b2 a2 + b2
Zatem z = |z|(cos ¸ + i sin ¸) i gdy ¸ " [0, 2Ä„) to przedstawienie to jest jednoznaczne. ¸ nazywamy argumentem
liczby zespolonej z i oznaczać będziemy arg(z). Geometrycznie argumentem liczby z jest miara kąta skierowanego,
jaki wektor Oz tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Przykład 22.
" "

"
2 2 Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
+ i = cos + i sin , 3 + i = 2 cos + i sin ,
2 2 6 6
4 4
"
5Ä„ 5Ä„ Ä„ Ä„
- 3 + 3 3i = 6 cos + i sin , 1 = cos 0 + i sin 0, i = cos + i .
6 6 2 2
6
Lemat 1. Niech z1 = r1(cos ¸1 + i sin ¸1) i z2 = r2(cos ¸2 + i sin ¸2). Wówczas
z1 r1
z1z2 = r1r2(sin(¸1 + ¸2) + i sin(¸1 + ¸2)), = (cos(¸1 - ¸2) + i sin(¸1 - ¸2)) .
z2 r2
Wniosek 2. Zachodzi wzór
[r(cos ¸ + i sin ¸)]n = rn(cos(n¸) + i sin(n¸))
zwany wzorem de Moivre a.
Przykład 23.
n
Ą Ą nĄ nĄ
(sin ¸ + i cos ¸)n = cos - ¸ + i sin - ¸ = cos - n¸ + i sin - n¸ ,
2 2 2 2
" 16
Ä„ Ä„
(1 + i)16 = 2 cos + i sin = 256,
4 4
n
Ä… nÄ… nÄ…
(1 + cos Ä… + i sin Ä…)n = 2n cos cos + i sin , gdzie Ä… " [-Ä„, Ä„].
2 2 2
Uwaga 7 (Wzór Newtona).

n

n n n!
(a + b)n = an-kbk, gdzie = .
k k k!(n - k)!
k=0
Przykład 24. Korzystając ze wzoru de Moivre a i Newtona zapisać sin 3x i cos 3x za pomocą potęg sin x i cos x.
Przykład 25. Wyznaczyć, zbiór liczb zespolonych z, spełniających nierówność Ą < arg(z - i) < 2Ą.
Definicja 16. LiczbÄ™ w nazywamy pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z (n " N), gdy wn = z.
Twierdzenie 10. Każda liczba zespolona z = |z|(cos ¸ + i sin ¸) różna od zera ma dokÅ‚adnie n różnych pier-
wiastków n-tego stopnia i wszystkie one określone są wzorem


¸ + 2kÄ„ ¸ + 2kÄ„
n
wk = |z| cos + i sin ,
n n

n
gdzie k - 0, 1, . . . , n - 1, a |z| jest pierwiastkiem arytmetycznym.
Uwaga 8 (interpretacja geometryczna pierwiastków). Pierwiastki w0, w1, . . . , n - 1 stopnia n 3 z liczby

n
zespolonej z są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu |z| i środku w początku układu
współrzędnych.
" " "
3 3
Ä„ Ä„ 7Ä„ 7Ä„
Przykład 26. Pierwiastkami 3 stopnia z 1 + 3i są: w0 = 2 cos + i sin , w1 = 2 cos + i sin i
9 9 9 9
"
3
13Ä„ 13Ä„
w2 = 2 cos + i sin .
9 9
Wniosek 3. Pierwiastkami n-tego stopnia z 1 sÄ…:
2kĄ 2kĄ
k = cos + i sin , gdzie k = 0,1, . . . ,n - 1.
n n
2Ä„ 2Ä„
Wniosek 4. Jeśli w jest jakimkolwiek pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z = 0 i = cos + i sin , to

n n
liczby: w, w , w 2,. . . ,w n-1 sÄ… wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z.
" "
Przykład 27. Pierwiastkami 3-go stopnia z liczby (1 + i)6 są: w = 2i, w = - 3 - i oraz w 2 = 3 - i.
Przykład 28. Rozwiązaniami równania (2x + 1)4 = (x - 2)4 są liczby:
1 + 2 k
x = ,
k - 2
1
gdzie k jest pierwiastkiem stopnia 4-tego z jedności. Zatem rozwiązaniami są: -3, -i, oraz i.
3
7
Pierwiastkami stopnia drugiego z liczby z = |z|(cos ¸ + i sin ¸) sÄ…:


¸ ¸ ¸ ¸
w0 = |z| cos + i sin oraz w1 = |z| cos + Ä„ + i sin + Ä„ = -w0.
2 2 2 2
Uwaga 9. Niech z = a + ib i w = x + iy, gdzie a, b, x, y " R. Na to by liczba zespolona w była pierwiastkiem
kwadratowym liczby z potrzeba i wystarczy, aby
(x + iy)2 = a + ib,
x2 - y2 + 2xyi = a + ib,
x2 - y2 = a oraz 2xy = b.
" " "
Przykład 29. Pierwiastkami kwadratowymi z liczby 1 - 2 2i są: - 2 + i oraz 2 - i.
Twierdzenie 11. Pierwiastkami zespolonymi równania az2 + bz + c = 0, gdzie a, b, c " Z i a = 0są

" "
-b - " -b + "
z1 = z2 = , gdzie " = b2 - 4ac.
2a 2a
Ponadto
az2 + bz + c = a(z - z1)(z - z2).
Przykład 30. Pierwiastkami równania z2 + iz + 2 = 0 są z1 = -2i i z2 = i. Zatem z2 + iz + 2 = (z + 2i)(z - i).
Twierdzenie 12 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Jeśli ai " C dla i = 1, 2, . . . , n, an = 0, to wielomian

w(z) = anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0
ma pierwiastek z0 " C.
Zasadnicze twierdzenie algebry zostało sformułowane w XVIII wieku przez Maclaurina i Eulera. Twierdze-
nie to próbowali udowodnić najwięksi matematycy tego okresu: d Alembert, Euler, Lagrange. Kilka dowodów
twierdzenia podał Gauss w XIX wieku. W znanych współcześnie dowodach wykorzystuje się metody analizy
matematycznej lub zaawansowane metody algebry.
Wniosek 5. Jeśli ai " C dla i = 1, 2, . . . , n, an = 0, to wielomian

w(z) = anzn + an-1zn-1 + · · · + a1z + a0
można rozłożyć na czynniki
w(z) = an(z - z1)(z - z2) . . . (z - zn),
gdzie zi " C, niekonieczne różne, są pierwiastkami równania w(z) = 0.
" "
3+i - 3+i
Przykład 31. Pierwiastkami równania z4 - z3 - iz + i = 0 są liczby: 1, -i, oraz . Ponadto
2 2

" "
3 + i - 3 + i
z4 - z3 - iz + i = (z - 1)(z + i) z - z - .
2 2
Pierwiastkami równania z4 - 4z3 + 5z2 - 4z + 4 = 0 są liczby: i, -i, oraz 2. Ponadto
z4 - 4z3 + 5z2 - 4z + 4 = (z - i)(z + i)(z - 2)2.
Definicja 17. Dla ¸ " R liczbÄ™ zespolonÄ… cos ¸ + i sin ¸ oznaczamy krótko przez ei¸;
ei¸ = cos ¸ + i sin ¸.
8
Twierdzenie 13 (Wzory Eulera). Niech ¸ " R. Wówczas zachodzÄ… wzory:
ei¸ + e-i¸ ei¸ - e-i¸
cos ¸ = ; sin ¸ = .
2 2i
Stwierdzenie 2. KażdÄ… liczbÄ™ zespolonÄ… z można zapisać w postaci z = |z|ei¸, gdzie |z| jest moduÅ‚em liczby z,
a ¸ jej argumentem głównym.
"
Ä„
4
Przykład 32. -1 = eiĄ, 1 + i = 2ei .
1 2
Twierdzenie 14. Niech z = rei¸, z1 = r1ei¸ , z2 = r2ei¸ i k " Z. Wówczas
z1 r1
1 1-¸2)
z1z2 = r1r2ei(¸ +¸2), = ei(¸ (z2 = 0), zk = rkeik¸, - z = rei(¸+Ä„), z = re-i¸.

z2 r2
Przykład 33. Korzystając ze wzorów Eulera pokazać, że
x - y x + y
cos x + cos y = 2 cos cos .
2 2
Liczb zespolonych używa się w elektrotechnice do opisu obwodów elektrycznych prądu zmiennego. Jednostkę
urojoną oznacza się wtedy symbolem j w celu odróżnienia jej od natężenia prądu i płynącego w obwodzie.
Zespolonym odpowiednikiem prÄ…du i = a cos Ét + b sin Ét, gdzie a, b " R, jest liczba zespolona a + jb.
Macierze
Definicja 18. MacierzÄ… o m wierszach i n kolumnach nazywamy prostokÄ…tnÄ… tablice
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 a13 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 a23 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
A = a31 a32 a33 . . . a3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . . . . . śł
. . . . .
ïÅ‚ śł
. . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 am3 . . . amn
utworzonych z elementów aij (1 i m, 1 j n) ustalonego ciała K. Elementy aij macierzy A nazywamy jej
współczynnikami. Na oznaczenie macierzy bÄ™dziemy także używali symbolu [aij]m×n. Symbolem Km×n bÄ™dziemy
oznaczali zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m × n, których współczynniki należą do ciaÅ‚a K. Macierze
îÅ‚ Å‚Å‚
a1j
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł

a2j
ïÅ‚ śł
ai =
ai1 ai2 ai3 . . . ain " K1×n oraz a j = ïÅ‚ śł " Km×1
ïÅ‚ śł
a3j
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
.
.
.amj
nazywamy, odpowiednio, i-tym wierszem i j-tÄ… kolumnÄ… macierzy A.
Przykład 34. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 -12 i 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = oraz B = .
0 0 3 2 1 - i
Macierz A jest macierzÄ… rzeczywistÄ… o 2 wierszach i 3 kolumnach. Macierz B jest macierzÄ… zespolonÄ… o 2
wierszach i 2 kolumnach.
Definicja 19 (rodzaje macierzy). Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy sÄ… zerami nazywamy
macierzÄ… zerowÄ… i oznaczamy 0m×n lub 0, gdy znamy jej wymiar. Macierz, której liczba wierszy jest równa
liczbie kolumn nazywamy macierzą kwadratową. Elementy macierzy, które mają ten sam numer wiersza i ko-
lumny, tworzą główną przekątną macierzy. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy stojące nad główną
9
przekątną są zerami, nazywamy macierzą trójkątną dolną. Macierz kwadratową, w której wszystkie elementy sto-
jące poniżej głównej przekątnej są zerami, nazywamy macierzą trójkątną górną. Macierz kwadratową, w której
wszystkie elementy nie stojÄ…ce na przekÄ…tnÄ… sÄ… zerami, nazywamy macierzÄ… diagonalnÄ… i oznaczamy jÄ… sym-
bolem diag(a1, a2, . . . ,an). Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekatnej są jedynkami,
nazywamy macierzÄ… jednostkowÄ…. Macierz jednostkowÄ… o wymiarze n × n oznaczamy In lub I, gdy znamy jej
wymiar.
Przykład 35. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 i 2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = , B = ,C = -1 0
ïÅ‚ śł ,
3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 2 1 - i
1 4 -2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 3i 6 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
1 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
D = -1 9 0
, E = śł , F = .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ -1 0
0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
0 1
0 0 -2 0 0 -2
Macierze A, B, C, D, E i F są odpowiednio macierzą zerową, kwadratową, trójkątną dolną, trójkątną górną,
diagonalnÄ… i jednostkowÄ….
Definicja 20. Macierze A = [aij]m×n " Km×n, B = [bij]k×l " Kk×l nazywamy równymi i piszemy A = B, gdy
m = k, n = l i aij = bij dla i = 1, . . . , m oraz j = 1, . . . , n.
Definicja 21. Niech A = [aij]m×n " Km×n, B = [bij]m×n " Km×n i Ä… " K. Wówczas
A Ä… B = [aij Ä… bij]m×n oraz Ä…A = [Ä…aij]m×n.
Przykład 36. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 -12 2 2 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = oraz B = .
0 0 3 2 1 -8
Wówczas
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 4 -11 -6 -6 -3
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A + B = oraz - 3B = .
2 1 -5 -6 -3 24
Twierdzenie 15. Niech A, B, C " Km×n, Ä…, ² " K oraz 0 bÄ™dzie macierzÄ… zerowÄ… wymiaru m × n. Wówczas
a) A + B = B + A;
b) A + (B + C) = (A + B) + C;
c) A + 0 = 0 + A = A;
d) A + (-1)A = 0;
e) Ä…(A + B) = Ä…A + Ä…B;
f) (Ä… + ²)A = Ä…A + ²B;
g) (Ä…²)A = Ä…(²A);
h) 1 · A = A.
Wniosek 6. Z wÅ‚asnoÅ›ci a)-d) wynika, że (Km×n, +) jest grupÄ… przemiennÄ….
10
Przykład 37. Wyznaczyć macierz X taką, że
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
i -i 2 - i i
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 + XÅ‚Å‚ = 3X - .
1 1 - i 1 0
Definicja 22. Niech A = [aij]m×n " Km×n oraz B = [bij]n×k " Kn×k. Wówczas
n

A · B = [cij]m×k, gdzie cij = ailblj dla 1 i m oraz 1 j k.
l=1
Przykład 38.
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
0 -1
ïÅ‚ śł
2 0 1 3 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· -1
ïÅ‚ śł =
2
ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 -1 -3 -3
3 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 2 1 1 -1 2 1 1 -1 1 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
· = · = .
-1 0 1 2 2 -1 1 2 -1 0 -1 -1
Uwaga 10. Z powyższego przykładu widzimy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
Twierdzenie 16. Dla skalara ą i macierzy A, B, C oraz macierzy jednostkowej I zachodzą następujące równości
(pod warunkiem, że występujące w nich działania są wykonalne):
a) A(B + C) = AB + AC;
b) (A + B)C = AC + BC;
c) IA = A i AI = A;
d) (Ä…A)B = A(Ä…B) = Ä…(AB);
e) A(BC) = (AB)C.
Przykład 39. Wyznaczyć X taką, że
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
+ X = .
2 3
-2 -2 2
Praktyczny przykład:
Niech macierz A reprezentuje tygodniową produkcje firmy ABAX. Firma ma trzy różne fabryki i wytwarza cztery
różne produkty (załóżmy, że liczymy je w jednostkach po 1000 sztuk). Macierz A ma postać
îÅ‚ Å‚Å‚
7 5 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 0 4 3 7 .
3 2 0 2
Plan produkcyjny w drugim tygodniu jest inny. Przedstawia go macierz B:
îÅ‚ Å‚Å‚
9 4 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
B = 0 5 1 8 .
4 1 1 0
Zysk jednostkowy na poszczególnych produktach jest równy 3,9,8,2. Możemy zapisać go w formie macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
3
ïÅ‚ śł
9
ïÅ‚ śł
Z = .
ðÅ‚ ûÅ‚
8
2
A
ączna produkcja w ciągu tych dwóch tygodni wynosi: A + B. Aby obliczyć łączny zysk dla każdej fabryki w
pierwszym tygodniu wykonujemy dziaÅ‚anie: A · Z.
11
Definicja 23. MacierzÄ… transponowanÄ… macierzy A = [aij] " Km×n nazywamy macierz AT = [aji] " Kn×m dla
i = 1, . . . , n oraz j = 1, . . . , m.
AT powstaje z macierzy A przez zamianÄ™ wierszy na kolumny i kolumny na wiersze.
Przykład 40.
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
9 0
ïÅ‚ śł
9 4 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
A = oraz AT = ïÅ‚ śł .
4 5
ðÅ‚ ûÅ‚
0 5 2
1 2
Definicja 24. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą symetryczną, gdy AT = A, a jest ona skośnie syme-
tryczna, gdy AT = -A.
Twierdzenie 17. Dla dowolnych macierzy A, B " Km×n i C " Kn×k oraz skalara Ä… " K mamy
a) (AT )T = A;
b) (Ä…A)T = Ä…AT ;
c) (A + B)T = AT + BT ;
d) (AC)T = CT AT .
Definicja 25. Mówimy, że macierz kwadratowa A " Kn×n jest odwracalna, jeÅ›li istnieje macierz B " Kn×n,
taka że AB = BA = In.
Przykład 41. Sprawdzić, że macierzą odwrotną do macierzy A jest macierz B, gdzie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
3 2 5 -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A = oraz B = .
7 5 -7 3
Stwierdzenie 3. JeÅ›li A " Kn×n i B " Kn×n, to AB = In wtedy i tylko wtedy, gdy BA = In.
Przykład 42. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
îÅ‚ Å‚Å‚
5 8
ðÅ‚ ûÅ‚
A = .
3 5
Twierdzenie 18. JeÅ›li A i B sÄ… macierzami odwracalnymi ze zbioru Kn×n,to
a) macierz A-1 jest odwracalna i (A-1)-1 = A;
b) macierz AT jest odwracalna i (AT )-1 = (A-1)T ;
c) macierz AB jest odwracalna i (AB)-1 = B-1A-1.
Przykład 43. Niech macierze A, B i C będą dane. Wyznaczyć X spełnających równanie:
a) AXB = C, b) (AX)T = B, c) (AX)-1 = B.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
ðÅ‚ ûÅ‚
Przykład 44. Uzasadnić, że macierz nie ma macierzy odwrotnej.
-1 -1
Definicja 26. PotÄ™ge macierzy kwadratowej A " Kn×n definiujemy przyjmujÄ…c, że A0 = In i Ak+1 = AkA dla
k 0.
12
Definicja 27. JeÅ›li A = [aij] " Kn×n, to sumÄ™ elementów należących do jej głównych przekÄ…tnych nazywamy
śladem macierzy A i oznaczamy tr(A).
Przykład 45.
ëÅ‚îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚
1 2 0
ìÅ‚ïÅ‚ śł÷Å‚
ìÅ‚ïÅ‚ śł÷Å‚
tr -1 3 9
ìÅ‚ïÅ‚ śł÷Å‚ = 1 + 3 + (-1) = 3.
íÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚
0 4 -1
Twierdzenie 19. JeÅ›li A " Km×n i B " Kn×m, to tr(AB) =tr(BA).
Definicja 28. Macierze A, B " Kn×n nazywamy podobnymi, gdy istnieje macierz odwracalna C " Kn×n taka,
że B = C-1AC. Macierz C nazywamy macierzą podobieństwa macierzy A do macierzy B.
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
4 1 1 0 -1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Przykład 46. Macierze A = i B = są podobne, a macierz C = jest dla nich
3 2 0 5 3 1
macierzą podobieństwa.
Twierdzenie 20. Jeśli macierze kwadratowe A i B są podobne, to tr(A)=tr(B).
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 1 -1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Przykład 47. Czy macierze A = i B = są podobne?
2 9 8 5
13