Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 18
18. Siła elektrostatyczna
18.1 Wstęp
Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyja-
śnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie ato-
mów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta meta-
lowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 1025 razy większa
niż miedzi.
18.2 A
adunek elektryczny
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru
F = 3.61�10-47 N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie F = 2.27�10-8
N.
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i
elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja ładunku
A
adunek elementarny e = 1.6�10-19 C. Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
18.2.2 Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin. Wypadkowy ładunek w układzie zamknię-
tym jest stały.
18.3 Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch ładunków q1 i q2
q1q2
F = k
(18.1)
2
r
1
gdzie stała k = . Współczynnik �0 = 8.854�10-12 C2/(Nm2) nosi nazwę przenikalno-
4Ą�0
ści elektrycznej próżni. W układzie cgs k = 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Siłę wypadkową (tak jak w grawitacji) obliczamy dodając wektorowo siły dwuciało-
we.
Przykład 1
18-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie l. Jaka siła
jest wywierana na ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?
l -Q
+Q
r
r
F2
F
q
F1
Z podobieństwa trójkątów
F l
=
F1 r
Stąd
l l Qq Ql p
�łk �ł
F = F1 = = qk = qk
�ł �ł
2
r r r r3 r3
�ł łł
gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.
18.4 Pole elektryczne
W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym punkcie
przestrzeni podzieloną przez tę masę.
Analogicznie definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek.
Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, należy w tym
punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną F działającą
na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych
ładunków. Wtedy
F
E =
(18.2)
q
A
adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na ładunek do-
datni).
Przykład 2
Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiegoś" ładunku tylko
tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy E
p
kq�ł �ł
�ł �ł
p
r3
�ł łł
E = = k
q r3
18-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.
l -Q
+Q
r
r
F2
F
P
F1
Pole E w odległości r od ładunku punktowego Q jest równe
1 1 Qq Q
�łk r �ł
E = F = = k r
�ł Ć�ł Ć
2 2
q q r r
�ł łł
Pole elektryczne od n ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
n
Qi
E = k r�
"
ri2
i=1
Przykład 3
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest
pole elektryczne na osi pierścienia w odległości x0 od środka?
r
P
dEx
ą
R
x0 dE
Pole wytwarzane przez element dl pierścienia jest równe
dEx = dE(cosą)
cosą = x0/r
Jeżeli  = Q/2ĄR jest liniową gęstością ładunku to
 d l
d E = k
2
r
oraz
dl x0
dEx = k
2
r r
18-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stąd
kx0 kx0 kx0Q
E = Ex =
+"d l = (2ĄR) = 3
r3 r3
2
2
(x0 + R2 )
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x0 = 0) E = 0, a dla x0 >> R pole E kQ/x02
i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy
zajmować się szczegółami z
ródła pola. Np. pole E = kQ/r2 może pochodzić od wielu
z
ródeł.
18.4.1 Linie sił
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw. linii sił. Linie nie
tylko pokazują kierunek E ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).
Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię "S oznaczymy "Ć to wówczas
"Ć = E "S = E"S cosą
gdzie ą jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni "S i wektorem E.
W ogólności więc
dĆ = dE ds (18.3)
i jest to definicja strumienia elektrycznego.
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę
przyczynków od elementów powierzchni
Ć =
"E"S
powierzchnia
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
Ć = E d S
(18.4)
+"
S
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości r od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę
linii przez powierzchnię).
Q Q
�łk �ł(4Ąr 2 ) = 4ĄkQ =
2
Ć = E(4Ąr ) =
�ł �ł (18.5)
2
r �0
�ł łł
Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r.
Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa Q/�0 i linie te ciągną się do
nieskończoności.
18-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie
od r więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która ota-
cza ładunek Q).
Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią Gaussa.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q1 i Q2. Całkowita liczba linii
sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q1 i Q2 jest równa
Ćca� k = E d S = + E2 )d S = E1 d S + E1 d S
1
+"+"(E +"+"
gdzie E1 jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2. Powołując się na wcześniejszy wynik
otrzymujemy
Ćcałk = (Q1/�0) + (Q2/�0) = (Q1 + Q2)/�0
Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez �0. Po-
dobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.
Otrzymujemy więc prawo Gaussa
Qwewn.
E d S = 4ĄkQwewn. =
(18.6)
+"
�0
Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi
podzielonemu przez �0. Jeżeli Q jest ujemne strumień wpływa do ciała.
Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.
A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?
Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której Qwewn. = 0, a linie sił
pochodzą od ładunku na zewnątrz.
d
a
b
c
18-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Całkowity strumień dzielimy na części
Ćcałk = Ćab + Ćbc + Ćcd + Ćda
Z rysunku widać, że Ćab = +2, Ćbc = +3, Ćcd = -7, Ćda = +2. Tak więc
Ćcałk = +2 + 3 - 7 + 2 = 0
Na następnym wykładzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla różnych nała-
dowanych ciał.
18-6