3307665875

= E{Yi - fii)⁴ - 2E [Y(Y - //i)²] + Hi + ag(Hi) +14 ~ i^a9(Vi))² =

= E(Yi - m)⁴ ~ 2E [(Yi - Hi + 9i)(^Yi ~ A*.)²] + 9i +    + lĄ ~ (<*9(Hi))² =

= E(Yi - Hi)⁴ ~ 2E(Yi - Hi)³ ~ 2HiE{Y_{ - Hi f + Hi + &9(Hi) + lĄ ~ (atf(Mi))² = - E(Yi - Hi)⁴ - 2E(Yi - Hi)³ ~ 2Hi(Hi + ocg(Hi)) + Hi + otg(Hi) + H² ~ (c*s(aO)² = = E(Yi - Hi)⁴ ~ 2E(Yi - Hi)³ ~ H? + 9i ~ 2Hi<*g(Hi) + ^a9(Hi) ~ («9(^i))²-Ostatecznie

Var{£i) = E{Yt - Hi)⁴ ~ 2£(Y_f - Hi)³ ~ Hi + 9i ~ 2Hi^g(Hi) +    ~ (ag(Hi))²,    (4)

co pokazuje, że jest on heteroskedastyczny - nie posiada stałej wariancji, gdyż jest ona funkcją zależną od momentów zmiennej losowej Y.

Ponieważ wartości Hi nie są obserwowane musimy zastąpić je przez Hi —    /3), gdzie 0 jest

dowolnym zgodnym estymatorem wektora parametrów 0 z błędem rzędu O_p(n~5). Wówczas rówananie (3) przyjmuje postać

(Yi-fii)²-Yi = ag(Hi)+£i + Tii.    (5)

Ponieważ

(Y_i-li_lj‘-Y_i = aglji_i) + e_i, to odejmując stronami otrzymujemy dodatkowy błąd rówany

I)i = (Yi ~ Ai)² - (Yi - Hif + ag(ni) - ag(Jk) =

= -2(if(Ai - w) + (A? - *“?)) +    - g(M) =

= -(2+    (6)

z rozwinięcia w szereg Taylora wyrażenia //(xj,/3) w punkcie /i(xj, 0).

Z powodu heteroskedastyczności składnika losowego e_t do równania (5) zastosujemy ważoną metodę najmniejszych kwadratów z dodatnimi i skończonymi wagami wf. Przyjmijmy oznaczenia:

z, = (y - a,)² - y,

x_t = s(Ai)

?i = £i + <li

Wówczas przybierze ono postać typowego równania regresji Zi = aXi +

5