3781535045

Statystyki dostateczne.

Podstawowym problemem statystyki matematycznej jest stwierdzenie na podstawie zaobserwowanej próby, który rozkład z rodziny rozkładów {p₀,O<E ©} jest rozkładem właściwym, tzn. jaka jest prawdziwa wartość parametru 9. Ponieważ nośnikiem informacji o 0 jest próba powstaje pytanie czy wszystkie informacje zawarte w próbie są istotne i czy nie jest możliwe ich zredukowanie. Okazuje się, że odpowiedź na to pytanie jest twierdząca. Wprowadzimy za chwilę jedno z fundamentalnych pojęć w statystyce - pojęcie dostateczności. Najpierw przykład ilustrujący ten problem.

Przykład. Rozważmy ponownie eksperyment polegający na n-krotnym rzucie monetą. Jeżeli 0 jest prawdopodobieństwem orła, to jak to pokazaliśmy wcześniej rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni próby ma postać

P_e{x_x = x_i,x₂ = x₂,...,X_n = x_n)=e?=*ⁱ{1-0J-& ■

Niech T oznacza statystykę równą liczbie orłów w próbie, tzn.

T=t,X_r 1 = 1

Rozkład tej statystyki jest dobrze znanym rozkładem dwumianowym: p_g{T = t}=^jo'(1-0)""', gdzie t = 0,1 ,...,n.

Nietrudno sprawdzić, że rozkład warukowy próby pod warunkiem T = tnie

zależy od 0P*{X, = *_PX₂ = *₂,...,X„ = *J7 = r}=j( J’ ^gdy %^{Xi = t}

[O, wp.p.

Fakt ten można zinterpretować w następujący sposób: gdy wiemy, że T = t, to informacja o tym, który z ” punktów przestrzeni próby faktycznie

się zrealizował, nie wnosi żadnej informacji o parametrze 0. Innymi słowy liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego niesie pełną informację o wartości prawdopodobieństwa sukcesu 0 niezależnie od tego w jakiej kolejności te sukcesy się pojawiały. Można zatem powiedzieć, że T jest statystyką dostateczną dla parametru 0.

Definicja. Statystyka T nazywa się statystyką dostateczną dla rodziny rozkładów P (statystyką dostateczną dla 0), jeżeli dla każdej wartości ttej statystyki rozkład warunkowy P{-ir = /} nie zależy od 0.

Przykład. Jeżeli X_rX₂,...,X_n jest próbą losową, to dla każdego zdarzenia losowego A oraz dla każdego punktu (x_l,x₂,K ,x_n) z przestrzeni próby mamy

doc3ity.com