4544140687

VII Toruńska Letnia Szkoła Matematyki i Informatyki

Abstrakty plakatów

Ultrafiltry w dowodach twierdzeń

O ROZBICIACH LICZB NATURALNYCH

Aurelia Bartnicka

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

aurbart@mat. umk.pl

Przy użyciu pojęcia filtru wprowadza się definicję granicy uogólnionego ciągu w dowolnej przestrzeni topologicznej. Prowadzi to do rozważania przestrzeni Frecheta. Okazuje się, że ultrafiltry, które są szczególnymi filtrami, można wykorzystać do dowodu twierdzeń o liczbach naturalnych na przykład twierdzenia Hindmana i twierdzenia van der Waerdena. Mówią one, że zakładając, iż mamy dowolne skończone rozbicie zbioru liczb naturalnych N = Uś₌₁ Ci, to odpowiednio istnieją 1 < i < r oraz ciąg (£_n)n€N różnych liczb naturalnych taki, że Ci zawiera wszystkie skończone sumy elementów z (rc_n)_n£N oraz istnieje 1 < j < r takie, że Cj zawiera ciąg arytmetyczny dowolnej długości. Przedstawię dowody tych twierdzeń i własności ultrafiltrów niezbędne do przeprowadzenia ich.

[1]    Engelking Ryszard, Topologia ogólna, Warszawa, PWN, 2007,

[2]    Kwietniak Dominik, Ultrafiltry, Matematyka-Społeczeństwo-Nauczanie 2012,

nr 48, s. 32-38,

[3]    Konieczny Jakub, Applications of Ultrafilters in Ergodic Theory and Combi-

natorial Number Theory, Department of Mathematics, Vrije Universiteit Amsterdam, Instytut Matematyki, Jagiellonian University, 2013, s. 4-48,

Przestrzenie nakrywające

Małgorzata Grzyb Uniwersytet Łódzki

grzyb@ma th. uni.lodz.pl

Pojęcie przestrzeni nakrywającej wywodzi się z analizy zespolonej, a w szczególności z badania holomorficznych "funkcji wieloznacznych", powstających przy przedłużaniu analitycznym. Zostało ono odkryte przez B. Riemanna w czasach, gdy nie było jeszcze środków umożliwiających jego zrozumienie na poziomie dzisiejszych standardów ścisłości. Na plakacie zaprezentuję pojęcie przestrzeni nakrywającej, rozwłólnienia nad daną przestrzenią topologiczną oraz przekształcenia nakrywającego i nakrycia uniwersalnego. Zaprezentuję również przykłady zastosowania teorii nakryć.

[1] G. E. Bredon, Topology and geometry, Springer-Yerlag, New York, 1993,