5987093067

Kapitalizacja

W oprocentowaniu składanym wielkość odsetek zależy nie tylko od stopy procentowej ale także od długości okresu kapitalizacji (liczby okresów kapitalizacji w ciągu czasu oprocentowania). Zwykle przyjmuje się liczbę okresów kapitalizacji taką, by rok stanowił całkowitą wielokrotność okresu kapitalizacji (półrocze, kwartał, miesiąc itp.).

Jeżeli w roku jest k okresów kapitalizacji (fc G N) i stopą procentową dla tego okresu kapitalizacji (stopą podokresową) jest ** to stopę procentową proporcjonalną do stopy podokresowej u- nazywamy nominalna stopą procentową. Nominalną stopę procentową dla podokresowej stopy ik obliczamy ze wzoru

i_nom = k x ik-

Model oprocentowania składanego dla stopy podokresowej ik w czasie n lat ma postać S„ = Ko(l+ lob S_n = ffo(l + ^p) gdzie m* = nk jest liczbą okresów kapitalizacji).

Oczywiście stopa nominalna nie jest równoważna stopie podokresowej, to znaczy, że w tym samym czasie stopy te dają różne odsetki (stopa podokresową daje większe odsetki). Stopę równoważną stopie podokresowej w okresie n nazywamy stopą efektywną. Aby wyrazić stopę efektywną w okresie n lat za pomocą stopy podokresowej trzeba porównać kapitał końcowy po tym okresie obliczony dla stopy podokresowej i dla stopy rocznej.

Kq{\ + i)ⁿ = Kq (1 4- ik)^nk •

Stąd, wykonując dzielenie i pierwiastkowanie otrzymujemy i = (1 + i_k)^k - 1.

(gdzie k jest liczba podokresów w roku). Jak widać stopa efektywna zależy od stopy podokresowej i liczby podokresów w roku, ale nie zależy od długości okresu oprocentowania.

Stosunek kapitału po n +1 latach do kapitału po n latach jest stały

Sn+l

S„

K₀(l + ikY^n+l)k K₀(l + ik)^nk

(1 + ik)^k — Pk

i jest nazywany rocznym czynnikiem oprocentowującym (ang. futurę ualue interest factor FVIF). Zauważmy, że roczna stopa efektywna to roczny czynnik oprocentowujący pomniejszony o 1: i = pk — 1 lub inaczej: czynniki oprocentowujące obliczone dla stopy efektywnej (traktowanej jak stopa roczna) i stopy podokresowej mają taką samą wartość:

Pi — 1 + ief — (1 + ik)^k — Pk-

Zadanie 25. Jaką kwotę trzeba ulokować w banku na 8% aby za 12 lat mieć 200 000? A gdyby kapitalizacja była półroczna? ciągła? [79422,75, 78024,29, 76578,58]    □

Zadanie 26. Jak często trzeba kapitalizować odsetki od kapitału 12 000 aby w ciągu 2 lat przy stopie procentowej 6% wygenerował odsetki co najmniej 1520 zł (podać najdłuższy okres kapitalizacji) [co 2 miesiące - 6 kapitalizacji w roku]    □

Zadanie 27. Jakie będą odsetki z 1 USD ulokowanego na 8 lat z roczną stopą procentową 12% gdy kapitalizacja jest (a) półroczna, (b) kwartalna, (c) dwumiesięczna.    □