5987093075

Ten sam koszt zaktualizowany na moment 0 wyraża się wzorem

®(0) = ®(T)(1 + i)°-^T = (l+i)-^T    = j%(i)(l +i)-‘dt.

Korzystając z modelu oprocentowania ciągłego możemy zamienić podane całki na

<£(T) = f ip(t)e'^c<-^T~^ł^dt i <J>(0) = f (p(t)e~^,ctdt.

Jo    Jo

_□

Zasada równoważności kapitałów

Kapitały K\ i K% są równoważne w chwili t jeżeli ich wartości zaktualizowane na moment t są równe.

Niech kapitały Ki i Ki będą równoważne w chwili t. Wtedy, ponieważ K\(t) = K{ti){\ + r)^ł tl i K%{t) = K(tz)(l + r)^l~^t2 to ich równoważność prowadzi do równania

Jjr(t₁)(l + r)*-*¹ = iir(*₂)(l + r)^ł-‘»

a stąd otrzymujemy

K(t_I)(l + t)-‘‘ = K(h)(l + r)-^b (po podzieleniu obu stron przez (1 + r)').

Analogicznie dla oprocentowania ciągłego, dla kapitałów równoważnych w chwili t mamy K(t_l)e-^t-‘‘ = K(t,

W obu przypadkach warunek równoważności nie zawiera t, a więc można mówić po prostu o kapitałach równoważnych.

Uwaga: kapitały równoważne przy danej stopie procentowej nie są równoważne przy innej stopie procentowej.

Przykład. W chwili 0 dany jest kapitał 600 jednostek pieniężnych. Przyjmujemy stopę procentową 10% i oprocentowanie proste. Wtedy kapitał początkowy zaktualizowany na chwilę 2 ma wartość K( 1) = AT(0)(1 + 2i) = 720, a w chwili —2 wartość K{—2) = AT(0)/(1 + 2i) = 500. Jednak kapitał K(—2) zaktualizowany na chwilę 2, ma wartość

K{2) = K{-2)(1 + 4r) = 500(1 + 4 • 0,1) = 700 ^ 720 = K{2).

Zatem w tym modelu nie można mówić o jednolitej wartości kapitału w czasie, ani o równoważności kapitałów - dlatego model oprocentowania prostego nie nadaje się do budowy ogólnego, uniwersalnego modelu zmiany kapitału w czasie.    □

Zadanie 45.

(a)    Jaką wartość po 8 latach będzie miał kapitał oprocentowany stopą roczną 8%, który dwa lata temu miał wartość 2000?

[2000(1 + 0,08)⁸-<-²> w 4317,85]

(b)    Jaką wartość przed czterema laty miał kapitał, który za 10 lat będzie wart 17206,40 przy oprocentowaniu 12% rocznie?

[17206,4(1 + 0,12) —⁴—¹⁰ « 3520,77]