ÿþW s t p d o m e t o d
n u m e r y c z n y c h
W y k Ba d z p o d s t a w o w y c h
p r o b l e m ó w i m e t o d i c h
r o z w i z y w a n i a
C z y m s m e t o d y n u m e r y c z n e ?
M e t o d y n u m e r y c z n e s d z i a Be m m a t e m a t y k i
s t o s o w a n e j , z a j m u j c y m s i
o p r a c o w y w a n i e m m e t o d p r z y b l i |o n e g o
r o z w i z y w a n i a p r o b l e m ó w m a t e m a t y c z n y c h ,
k t ó r y c h a l b o n i e m o |n a r o z w i z a m e t o d a m i
d o k Ba d n y m i , a l b o m e t o d y d o k Ba d n e
p o s i a d a j t a k d u | z Bo |o n o [ o b l i c z e n i o w ,
|e s p r a k t y c z n i e n i e u |y t e c z n e .
C z y m z a j m u j s i m e t o d y
n u m e r y c z n e ?
M e t o d y n u m e r y c z n e z a j m u j s i
k o n s t r u o w a n i e m a l g o r y t m ó w , k t ó r y c h
o b i e k t a m i ( d a n e , w y n i k i p o [r e d n i e , w y n i k i
o s t a t e c z n e ) s l i c z b y .
C e c h y c h a r a k t e r y s t y c z n e m e t o d
n u m e r y c z n y c h :
" o b l i c z a n i a w y k o n y w a n e s n a l i c z b a c h
p r z y b l i |o n y c h ;
" r ó w n i e | r o z w i z a n i a z a g a d n i e D s
w y r a |o n e l i c z b a m i p r z y b l i |o n y m i .
" w i e l k o [ b Bd u w p r o c e s i e o b l i c z e D
n u m e r y c z n y c h j e s t z a w s z e k o n t r o l o w a n a
D o o k r e [l e n i a w i e l k o [c i b Bd u
u |y w a n e s d w i e z p o n i |s z y c h
d e f i n i c j i :
B Bd b e z w z g l d n y = | w a r t o [ d o k Ba d n a w a r t o [ p r z y b l i |o n a | ( 1 )
| w a r t o [ d o k Ba d n a w a r t o [ p r z y b l i |o n a |
B Bd w z g l d n y = çøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçøçø ( 2 )
| w a r t o [ d o k Ba d n a |
N a r z u c e n i e w a r t o [c i b Bd u
N a l e |y z w r ó c i u w a g , |e b Bd p o w s t a By w
w y n i k u o p e r a c j i n u m e r y c z n y c h n i e m o |e
r ó |n i s i o d z g ó r y z a Bo |o n e j w a r t o [c i , a
z a t e m u z y s k a n a w a r t o [ p r z y b l i |o n a o d
w a r t o [c i d o k Ba d n e j o w i c e j , n i | z g ó r y
z a d a n a d o k Ba d n o [ o b l i c z e n i a w i e l k o [c i .
B Bd y p r z y o b l i c z e n i a c h
W t r a k c i e w y k o n y w a n i a o b l i c z e D
n u m e r y c z n y c h m o g p o w s t a w a r ó |n e g o
r o d z a j u b Bd y , n a k t ó r e n a l e |y z w r a c a
u w a g z a r ó w n o p o d c z a s t w o r z e n i a
a l g o r y t m u o b l i c z e n i o w e g o , j a k r ó w n i e | w
t r a k c i e w p r o w a d z a n i a d a n y c h i d o b o r u
p r o g r a m ó w o b l i c z e n i o w y c h .
R o d z a j e b Bd ó w
W a |n i e j s z y m i s p o [r ó d b Bd ó w , n a j a k i e
m o |n a n a t k n s i p o d c z a s o b l i c z e D
n u m e r y c z n y c h s :
" " b Bd y m o d e l o w a n i a ,
" " b Bd y d a n y c h ,
" " b Bd y m e t o d y ,
" " b Bd y z a o k r g l e D.
B Bd y m o d e l o w a n i a
m a t e m a t y c z n e g o
B Bd m o d e l o w a n i a j e s t r ó |n i c m i d z y
r z e c z y w i s t w a r t o [c i i w a r t o [c i o b l i c z o n
z p r z y j t e g o m o d e l u m a t e m a t y c z n e g o .
D e f i n i c j m o |n a z i l u s t r o w a n a s t p u j c y m
p r z y k Ba d e m :
P r z y k Ba d 1
Z a Bó |m y , |e m i e r z o n o t e m p e r a t u r w
o k r e [l o n y m [r o d o w i s k u , z a p o m o c c z u j n i k a
t e m p e r a t u r y , k t ó r y t o c z u j n i k p o s i a d a
n i e l i n i o w c h a r a k t e r y s t y k , p r z e d s t a w i o n
n a p o n i |s z y m w y k r e s i e :
P r z y b l i |a n i e d a n y c h
R y s . 1 . A - c h a r a k t e r y s t y k a c z u j n i k a , B - a p r o k s y m o w a n a f u n k c j a
N a o g ó B d a n e n i e s d o k Ba d n e
" L i n e a r y z a c j a c z u j n i k a p o l e g a n a a p r o k s y m o w a n i u f u n k c j i
d o w o l n f u n k c j m a t e m a t y c z n . W p r z y p a d k u
n i e p r a w i d Bo w e g o d o b o r u f u n k c j i ( m o d e l u )
d o p a s o w u j c e j , j a k w p r z y k Ba d z i e w y s t p u j e u k a z a n a n a
w y k r e s i e r ó |n i c a p o m i d z y w a r t o [c i r z e c z y w i s t , j a k
s p o d z i e w a m y s i o t r z y m a , a w a r t o [c i o b l i c z o n , p r z y
s t o s o w a n i u p r z y j t e g o m o d e l u .
" D a n e w e j [c i o w e s n a o g ó B o b a r c z o n e m a By m i b Bd a m i .
J e d n a k |e z n a n e s p r z y p a d k i , |e m a Be b Bd y w z g l d n e
d a n y c h w e j [c i o w y c h z a d a n i a n u m e r y c z n e g o m o g
s p o w o d o w a d u |e z m i a n y w z g l d n e w y n i k ó w .
B Bd y d a n y c h
B Bd y d a n y c h , t o b Bd y j a k i m i s o b a r c z o n e d a n e
w e j [c i o w e z a d a n i a n u m e r y c z n e g o . B Bd y t e
p o j a w i a j s i g Bó w n i e w d w ó c h p r z y p a d k a c h :
" " d a n e w e j [c i o w e z a d a n i a s w y n i k a m i p o m i a r ó w
k t ó r e z n a t u r y o b a r c z o n e s b Bd a m i p o m i a r o w y m i ,
" " d o o b l i c z e D u |y w a s i s t a By c h b d c y c h l i c z b a m i
n i e w y m i e r n y m i , a w i c i s t n i e j e k o n i e c z n o [ i c h
z a o k r g l e n i a ( n p . s t a Ba P i = 3 . 1 4 1 5 . . . , e = 2 . 7 1 . . . ,
e t c . )
D a n e w e j [c i o w e
D a n e w e j [c i o w e s n a o g ó B o b a r c z o n e
m a By m i b Bd a m i . Z d a r z a j s i j e d n a k
s y t u a c j e , w k t ó r y c h m a Be b Bd y w z g l d n e
d a n y c h w e j [c i o w y c h z a d a n i a n u m e r y c z n e g o
p o w o d u j d u |e z m i a n y w z g l d n e w y n i k ó w .
P r z y k Ba d 2 .
R o z w i z a n a s t p u j c e d w a u k Ba d y r ó w n a D
l i n i o w y c h
" Z a d a n i e A
1 1
ñø
ôøx + 2 y + 3 z = 3 2
ôø
1 1 1
ôø
x + y + z = 2 7
òø
3 4
ôø2
1 1 1
ôø
ôø3 x + 4 y + 5 z = 1 7
óø
I n n y z a p i s t e g o s a m e g o u k Ba d u
" Z a d a n i e B
x + 0 . 5 y + 0 . 3 3 z = 3 2
ñø
ôø0 . 5 x + 0 . 3 3 y + 0 . 2 5 z = 2 7
òø
ôø0 . 3 3 x + 0 . 2 5 y + 0 . 2 z = 1 7
óø
R o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D p r z y
u |y c i u p r o g r a m u M a p l e
> s o l v e ( [ x + 1 / 2 * y + 1 / 3 * z = 3 2 , 1 / 2 * x + 1 / 3 * y + 1 / 4 * z = 2 7 ,
1 / 3 * x + 1 / 4 * y + 1 / 5 * z = 1 7 ] , [ x , y , z ] ) ;
[ [ x = 1 7 4 , y = 9 7 2 , z = 8 4 0 ] ]
> s o l v e ( [ x + . 5 * y + . 3 3 * z = 3 2 , . 5 * x + . 3 3 * y + . 2 5 * z = 2 7 ,
. 3 3 * x + . 2 5 * y + . 2 * z = 1 7 ] , [ x , y , z ] ) ;
[ [ x = 1 3 7 7 . 7 7 7 7 7 8 , y = 7 2 1 7 . 4 6 0 3 1 7 , z = 6 6 6 3 . 4 9 2 0 6 3 ] ]
U k Ba d y p o d o b n e , a w y n i k i ?
R o z w i z a n i e m z a d a n i a A j e s t :
x = - 1 7 4 , y = 9 7 2 , z = - 8 4 0
N a t o m i a s t z a d a n i e B m a n a s t p u j c e
r o z w i z a n i e :
x = - 1 3 7 7 . 7 7 7 7 7 8 , y = 7 2 1 7 . 4 6 0 3 1 7 , z = - 6 6 6 3 . 4 9 2 0 6 3
W y d a w a Bo b y s i |e r ó |n i c a
n i e w i e l k a
M o |e m y p r z y j , |e z a d a n i a A i B o p i s u j t e n s a m
w y c i n e k r z e c z y w i s t o [c i . W z a d a n i u A r ó w n a n i a
z a p i s a n o z a p o m o c u Ba m k ó w z w y k By c h , a w
z a d a n i u B z a p o m o c u Ba m k ó w d z i e s i t n y c h . W
k o n s e k w e n c j i z m i e n i o n o w a r t o [c i t r z e c h
w s p ó Bc z y n n i k ó w m a c i e r z y g Bó w n e j u k Ba d u . Z a t e m
z a d a n i e B m o |e m y p o t r a k t o w a j a k o z a d a n i e A , w
k t ó r y m z a b u r z o n o 3 ( n a 1 2 ) d a n e .
J a k w a r t o [ m a j b Bd y
B Bd w z g l d n y z a b u r z o n y c h d a n y c h w y n o s i
( o b l i c z e n i a w p l i k u w s t e p M a p l e ) :
µ ( a 1 3 ) = µ ( a 2 2 ) = µ ( a 3 1 ) = 0 . 0 1 = 1 %
B Bd y w z g l d n e w y n i k ó w w y n o s z :
µ ( x ) = 6 . 9 1 8 2 6 3 0 9 2 = 6 9 1 . 8 2 6 3 0 9 2 %
µ ( y ) = 6 . 4 2 5 3 7 0 6 9 6 = 6 4 2 . 5 3 7 0 6 9 6 %
µ ( z ) = 6 . 9 3 2 7 2 8 6 4 7 = 6 9 3 . 2 7 2 8 6 4 7 %
Z a d a n i a zl e u w a r u n k o w a n e
Z a d a n i e n u m e r y c z n e , w k t ó r y m n i e w i e l k i e
z m i a n y w z g l d n e d a n y c h z a d a n i a p o w o d u j
d u |e w z g l d n e z m i a n y j e g o r o z w i z a n i a
n a z y w a m y z a d a n i e m zl e u w a r u n k o w a n y m .
Z a d a n i e A z p r z y k Ba d u 2 j e s t z a d a n i e m zl e
u w a r u n k o w a n y m . O c z y w i [c i e n i e j e s t t a k , |e
w s z y s t k i e z a d a n i a n u m e r y c z n e d z i e l s i n a
d o b r z e u w a r u n k o w a n e i zl e u w a r u n k o w a n e .
W s k a zn i k u w a r u n k o w a n i a z a d a n i a
I s t n i e j e t z w . w s k a zn i k u w a r u n k o w a n i a
z a d a n i a , o z n a c z a n y z w y k l e c o n d ( z a d a n i e ) ,
k t ó r y c h a r a k t e r y z u j e l i c z b o w o w p By w
z a b u r z e D d a n y c h z a d a n i a n a z a b u r z e n i a
r o z w i z a n i a . W s k a zn i k u w a r u n k o w a n i a
z a d a n i a c o n d ( z a d a n i e ) j e s t t o n a j m n i e j s z a
l i c z b a r z e c z y w i s t a , d o d a t n i a s p e Bn i a j c a
n i e r ó w n o [
B Bd w z g l d n y ( w y n i k i z a d a n i a ) d"
c o n d ( z a d a n i e ) B Bd w z g l d n y ( d a n e z a d a n i a ) .
( 3 )
Z p o w y |s z e j z a l e |n o [c i w y n i k a , |e i m
w i k s z a j e s t w a r t o [ c o n d ( A ) , t y m
r o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D j e s t b a r d z i e j
w r a |l i w e n a m a Be z m i a n y ( z a b u r z e n i a )
w a r t o [c i w u k Ba d z i e r ó w n a D o r a z n a b Bd y
z a o k r g l e D p o w s t a j c e w t r a k c i e o b l i c z e D.
W a r t o p o d k r e [l i , |e u w a r u n k o w a n i e
z a d a n i a j e s t w Ba [c i w o [c i z a d a n i a , a n i e
s p o s o b u j e g o r o z w i z a n i a . Z a d a n i e zl e
u w a r u n k o w a n e z a c h o w a t w Ba s n o [
n i e z a l e |n i e o d m e t o d y i n a r z d z i , k t ó r y c h
u |y j e m y d o r o z w i z a n i a z a d a n i a .
B Bd y m e t o d y ( b Bd y o b c i c i a )
B Bd y m e t o d y ( b Bd y o b c i c i a ) w y n i k a j z
z a s t p i e n i a d z i a Ba D n i e s k o Dc z o n y c h
d z i a Ba n i a m i s k o Dc z o n y m i l u b d z i a Ba D n a
w i e l k o [c i a c h n i e s k o Dc z e n i e m a By c h
d z i a Ba n i a m i n a w i e l k o [c i a c h s k o Dc z e n i e
m a By c h . T e n r o d z a j b Bd ó w p o j a w i a s i
w t e d y , g d y n a l e |y o b l i c z y w a r t o [ p o j c i a
z d e f i n i o w a n e g o z a p o m o c g r a n i c y .
P r z y k Ba d 3 .
W i a d o m o , |e s p o [r ó d d z i a Ba D
a r y t m e t y c z n y c h a r y t m o m e t r k o m p u t e r a
w y k o n u j e t y l k o c z t e r y p o d s t a w o w e d z i a Ba n i a .
J a k z a t e m o b l i c z y w a r t o [ f u n k c j i :
y = s i n x
d l a
0 d" x d" 2 À
R o z w i z a n i e . J e d n z m e t o d r o z w i z a n i a
p o w y |s z e g o p r o b l e m u j e s t r o z w i n i c i e
f u n k c j i w s z e r e g p o t g o w y :
"
x 2 k + 1 x 5 x 7
k
( 4 )
f " ( x ) = s i n x = + - + . . .
"( - 1 ) ( 2 k + 1 ) ! = x - x 3
3 ! 5 ! 7 !
k = 0
S z e r e g ( 4 ) n i e d e f i n i u j e a l g o r y t m u , p o n i e w a |
n a k a z u j e w y k o n a n i e n i e s k o Dc z o n e j l i c z b y o p e r a c j i .
N a l e |y w i c s u m ( 4 ) z a s t p i s u m s k o Dc z o n
n
x 2 k + 1 x 5 x 7 x 2 n + 1
k
( 5 )
f n ( x ) = s i n x = + - + . . . + ( - 1 ) n
"( - 1 ) ( 2 k + 1 ) ! = x - x 3
3 ! 5 ! 7 ! ( 2 n + 1 ) !
k = 0
z t y m , |e d o o b l i c z e D n a l e |y w z i t y l e
s k Ba d n i k ó w , a b y d l a d o k Ba d n o [c i µ
z a c h o d z i Ba n i e r ó w n o [
"
x 2 k + 1
f " ( x ) - f n ( x ) = ( - 1 ) k d" µ
( 6 )
"
( 2 k + 1 ) !
k = n + 1
Z b u d o w a n i e a l g o r y t m u r e a l i z u j c e g o
n i e r ó w n o [ ( 5 ) n i e j e s t t r u d n e w p r z y p a d k u ,
g d y s z e r e g p o t g o w y j e s t n a p r z e m i e n n y ( a
t a k i s z e r e g r o z w i j a s i f u n k c j a ) . D l a
s z e r e g ó w n a p r z e m i e n n y c h b o w i e m
p r a w d z i w e j e s t n a s t p u j c e t w i e r d z e n i e .
T w i e r d z e n i e 1 . 1 . J e |e l i s z e r e g j e s t
n a p r z e m i e n n y i j e g o w y r a z y c o d o
b e z w z g l d n e j w a r t o [c i z m i e r z a j
m o n o t o n i c z n i e d o z e r a , t o d l a k a |d e g o
n a t u r a l n e g o n p r a w d z i w a j e s t n i e r ó w n o [:
" n "
( 7 )
"a - "a = "a < a n + 1
k k k
k = 0 k = 0 k = n + 1
W o p a r c i u o p o w y |s z e t w i e r d z e n i e m o |e m y
z a p i s a w a r u n e k
2 n + 3
"
x
x 2 k + 1 x 2 n + 3
f " ( x ) - f n ( x ) = ( - 1 ) k d" =
( 8 )
"
( 2 k + 1 ) ! ( 2 n + 3 ) ! ( 2 n + 3 ) !
k = n + 1
k t ó r y b d z i e w y k o r z y s t a n y j a k o k r y t e r i u m
z a k o Dc z e n i a a l g o r y t m u .
A l g o r y t m 1 . 1 . O b l i c z a n i e w a r t o [c i
y = s i n x
0 d" x d" 2 À
d l a
z z a d a n d o k Ba d n o [c i µ.
O b l i c z e n i e w a r t o [c i s i n u s a z d o k Ba d n o [c i e p s
p o p r z e z s u m o w a n i e w y r a z ó w s z e r e g u
> e p s : = 0 . 0 0 0 0 0 0 1 :
S : = 0 :
x : = P i / 4 :
f o r k f r o m 0 b y 1 w h i l e
i s ( a b s ( x ^ ( 2 * k + 3 ) / ( 2 * k + 3 ) ! ) > e p s ) d o
S : = S + ( - 1 ) ^ k * x ^ ( 2 * k + 1 ) / ( 2 * k + 1 ) !
e n d d o :
e v a l f ( S , 1 0 ) ;
0 . 7 0 7 1 0 6 4 6 9 7
> e v a l f ( s q r t ( 2 ) / 2 , 1 0 ) ;
0 . 7 0 7 1 0 6 7 8 1 0
P r z y k Ba d 4 .
I n n y m p r z y k Ba d e m w y k o n y w a n i a d z i a Ba D n a
w i e l k o [c i a c h n i e s k o Dc z e n i e m a By c h j e s t
o b l i c z a n i e p o c h o d n e j f u n k c j i . Z a t e m z a m i a s t
o b l i c z a a n a l i t y c z n i e , n a f u n k c j i o k r e [l o n e j i
r ó |n i c z k o w a l n e j w p r z e d z i a l e [ a , b ] , m o |n a
w y k o n y w a d z i a Ba n i a n a w i e l k o [c i a c h
s k o Dc z e n i e m a By c h k o r z y s t a j c z d e f i n i c j i
p o c h o d n e j j a k o g r a n i c y i l o r a z u r ó |n i c o w e g o
w p o s t a c i p r z y h z m i e r z a j c y m d o z e r a :
J a k l i c z y p o c h o d n ?
f ( x + h ) - f ( x - h )
( 9 )
D h f ( x ) =
2 h
W i a d o m o , |e o b l i c z o n a w a r t o [ j e s t
o b a r c z o n a b Bd e m r ó w n y m :
f ( x + h ) - f ( x - h )
2 2
( 1 0 )
f ( x ) - D h f ( x ) = f ( x ) -
2 h
O b l i c z a n i e p o c h o d n e j w e d Bu g w z o r u ( 1 . 1 2 )
m o |n a u z n a z a m e t o d n u m e r y c z n t y l k o
w t e d y , g d y d l a z a d a n e j d o k Ba d n o [c i µ
m o |n a w y z n a c z y t a k i e h , |e d l a
x "[ a + h , b - h ]
w s z y s t k i c h
b d z i e z a c h o d z i Ba n i e r ó w n o [
f ( x + h ) - f ( x - h )
2 2
f ( x ) - D h f ( x ) = f ( x ) - d" µ
( 1 1 )
2 h
D l a w y z n a c z e n i a h s p e Bn i a j c e g o w a r u n e k ( 1 1 )
s k o r z y s t a m y z r ó w n o [c i :
f ( x + h ) - f ( x - h ) h 2
2 2 2 2
f ( x ) - = - f ( c )
2 h 6
z a c h o d z c e j d l a p e w n e g o c : x - h d" c d" x + h
S t d m a m y :
f ( x + h ) - f ( x - h ) h 2 h 2
2 2 2 2 2
f ( x ) - D h f ( x ) = f ( x ) - = - f ( c ) d" M 3
2 h 6 6
2 2 2
M 3 = m a x f ( x )
a d" c d" b
g d z i e ,
a d"x d"b
2 2 2
y = f ( x )
J e [l i w i c n i e j e s t t o |s a m o [c i o w o
r ó w n a z e r u n a [ a , b ] , t o d l a z a d a n e j
d o k Ba d n o [c i µ m o |e m y h o k r e [l i z
h 2
n i e r ó w n o [c i :
M 3 d" µ
6
6 µ
P r z y j m u j c
h d"
M 3
m a m y g w a r a n c j , |e n a c a By m o d c i n k u [ a , b ]
z a c h o d z i n i e r ó w n o [:
2
f ( x ) - D h f ( x ) d" µ
B Bd y z a o k r g l e D
B Bd y z a o k r g l e D w y n i k a j z f a k t u , |e
o b l i c z e n i a w y k o n u j e m y n a l i c z b a c h o
s k o Dc z o n y m r o z w i n i c i u p o z y c y j n y m .
N a j p i e r w o m ó w i m y s p o s ó b p r z e d s t a w i a n i a
l i c z b w p a m i c i k o m p u t e r a . K o m p u t e r y
z a p a m i t u j l i c z b y j a k o l i c z b y
s t a Bo p r z e c i n k o w e ( l i c z b y s t a Bo p o z y c y j n e ,
a n g . f i x e d - p o i n t n u m b e r s ) l u b l i c z b y
z m i e n n o p r z e c i n k o w e ( z m i e n n o p o z y c y j n e ,
a n g . f l o a t i n g - p o i n t n u m b e r s ) .
R e p r e z e n t a c j a l i c z b
J e |e l i n a r e p r e z e n t a c j l i c z b y
s t a Bo p r z e c i n k o w e j p r z e z n a c z a s i b i t y ( 1 b i t
n a z n a k l i c z b y o r a z b i t ó w n a w a r t o [
b e z w z g l d n l i c z b y r y s . 2 ) .
Z a p i s l i c z b y w p a m i c i
W a g i 2 n 2 n - 1 & & 2 3 2 2 2 1 2 0
B i t y
s
b n b n - 1 & . b 3 b 2 b 1 b 0
Z n a k w a r t o [ b e z w z g l d n a
R y s . 2 . S t r u k t u r a l i c z b y s t a Bo p r z e c i n k o w e j
t o t s t r u k t u r i n t e r p r e t u j e s i n a s t p u j c o :
n
l = s Å"
"b 2 k
k
k = 0
G d z i e s = - 1 l u b s = 1 ( z n a k l i c z b y )
b k "{ 0 , 1 ) ( w a r t o [ b e z w z g l d n a l i c z b y )
J a k i e l i c z b y z d o Ba m y z a p i s a
" Z a t e m n a n + 2 b i t a c h m o |n a z a p i s y w a
[ - 2 n + 1 + 1 , 2 n + 1 - 1 ]
l i c z b y c a Bk o w i t e z p r z e d z i a Bu
" L i c z b y s t a Bo p r z e c i n k o w e s p o d z b i o r e m
l i c z b c a Bk o w i t y c h . P o d z b i ó r t e n j e s t t y m
w i k s z y i m w i k s z e j e s t n .
J z y k i p r o g r a m o w a n i a w y s o k i e g o p o z i o m u o f e r u j
k i l k a t y p ó w l i c z b s t a Bo p r z e c i n k o w y c h : n a
r e p r e z e n t a c j l i c z b t y p u I n t e g e r p r z e z n a c z a s i 1 6
b i t ó w ( 2 k o l e j n e b a j t y ) , n a r e p r e z e n t a c j l i c z b t y p u
L o n g I n t - 4 b a j t y , n a t y p S h o r t I n t 1 b a j t . L i c z b y
c a Bk o w i t e w i k s z e n i | 2 n + 1 - 1 n i e m o g b y
r e p r e z e n t o w a n e w k o m p u t e r z e . J e |e l i w t r a c i e
o b l i c z e D o t r z y m a m y t a k l i c z b , t o w y s t p i
s y t u a c j a w y j t k o w a n a z y w a n a n a d m i a r e m
s t a Bo p r z e c i n k o w y m .
P r z y k Ba d 5 .
D y s p o n u j e m y k o m p u t e r e m , w k t ó r y m l i c z b a
s t a Bo p r z e c i n k o w a z a p i s y w a n a j e s t n a 6
b i t a c h :
" " z n a k l i c z b y n a 1 b i c i e ,
" " w a r t o [ b e z w z g l d n a l i c z b y n a 5 b i t a c h .
P o k a z a j a k w t y m k o m p u t e r z e j e s t
z a p i s a n a l i c z b a - 2 2 .
R o z w i z a n i e .
M a m y ( 2 2 ) 1 0 = ( 1 0 1 1 0 ) 2 . Z a t e m
W a g i - 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0
1 1 0
1 0
B i t y
- 1
z n a k w a r t o [ b e z w z g l d n a
B u d o w a a l g o r y t m ó w
o b l i c z e n i o w y c h
T e o r i a z Bo |o n o [c i o b l i c z e n i o w e j t o d z i a B t e o r i i o b l i c z e D.
G Bó w n y m j e j c e l e m j e s t o k r e [l a n i e i l o [c i z a s o b ó w
p o t r z e b n y c h d o r o z w i z a n i a p r o b l e m ó w o b l i c z e n i o w y c h .
R o z w a |a n y m i z a s o b a m i s t a k i e w i e l k o [c i j a k c z a s ,
p a m i l u b l i c z b a p r o c e s o r ó w . Z a t w ó r c ó w t e j t e o r i i
u w a |a n i s J u r i s H a r t m a n i s i R i c h a r d S t e a r n s . J a k o
p r z y k Ba d y p r o b l e m ó w t . z . o . m o |n a p o d a :
- p r o b l e m s p e Bn i a l n o [c i ,
- p r o b l e m n a j k r ó t s z e j [c i e |k i ,
- p r o b l e m f a k t o r y z a c j i ,
j e d n a k t a k i c h , o k t ó r y c h w i a d o m o , |e s o b l i c z a l n e .
K w e s t i o b l i c z a l n o [c i z a j m u j e s i t e o r i a o b l i c z a l n o [c i , k t ó r a
j e s t d r u g w a |n g a Bz i t e o r i i o b l i c z e D.
C e c h y a l g o r y t m ó w :
" p o p r a w n o [ ( a l g o r y t m d a j e d o b r e w y n i k i ,
o d z w i e r c i e d l a j c e r z e c z y w i s t o [)
" j e d n o z n a c z n o [ ( b r a k r o z b i e |n o [c i w y n i k ó w p r z y
t a k i c h s a m y c h d a n y c h , j e d n o z n a c z n e o p i s a n i e
k a |d e g o k r o k u )
" s k o Dc z o n o [ ( w y k o n u j e s i w s k o Dc z o n e j i l o [c i
k r o k ó w )
" s p r a w n o [ ( c z a s o w a - s z y b k o [ d z i a Ba n i a i
p a m i c i o w a - " z a s o b o |e r n o [" )
" p r o s t o t a w y k o n a n i a ( o p e r a c j e p o w i n n y b y j a k
n a j p r o s t s z e )
P o p r a w n o [ o p i s u p r o b l e m u
A b y n a s z a l g o r y t m r o z w i z y w a B p o p r a w n i e
p e w n e z a g a d n i e n i a n i e z b d n a s d a n e
p o c z t k o w e i z a d a n i e o g r a n i c z e D n p .
w a r u n k i b r z e g o w e , j e d n y m s Bo w e m n a l e |y
p r z e d s t a w i r z e c z y w i s t o [ p o p r z e z :
" " z d e f i n i o w a n i e z a d a n i a
" " w p r o w a d z e n i e z a Bo |e D i o g r a n i c z e D
" " a l g o r y t m r o z w i z a n i a
Z Bo |o n o [ a l g o r y t m ó w
I l o [ z a s o b ó w p o t r z e b n y c h d l a d z i a Ba n i a
a l g o r y t m u m o |e b y r o z u m i a n a j a k o j e g o
z Bo |o n o [. W z a l e |n o [c i o d r o z w a |a n e g o
z a s o b u m ó w i m y o z Bo |o n o [c i c z a s o w e j l u b
p a m i c i o w e j . O c z y w i [c i e w w i k s z o [c i
w y p a d k ó w i l o [ p o t r z e b n y c h z a s o b ó w
b d z i e s i r ó |n i w z a l e |n o [c i o d s p e c y f i k i
r o z w a |a n e g o p r o b l e m u .
J a k o p r z y k Ba d m o |e n a m p o s Bu |y p r o b l e m
r o z k Ba d u l i c z b n a c z y n n i k i p i e r w s z e . D o m y [l a m y
s i , |e ( n i e z a l e |n i e o d a l g o r y t m u ) i m w i k s z a
l i c z b a , t y m w i c e j z a s o b ó w b d z i e p o t r z e b n y c h d o
j e j r o z Bo |e n i a . T a k w Ba s n o [ m a z n a k o m i t a
w i k s z o [ p r o b l e m ó w o b l i c z e n i o w y c h : i m w i k s z y
r o z m i a r d a n y c h w e j [c i o w y c h , t y m w i c e j z a s o b ó w
( c z a s u , p r o c e s o r ó w , p a m i c i ) j e s t p o t r z e b n y c h d o
j e g o r o z w i z a n i a . Z Bo |o n o [ a l g o r y t m u j e s t w i c
f u n k c j r o z m i a r u d a n y c h w e j [c i o w y c h .
K o l e j n y m p r o b l e m e m j e s t f a k t , i | z Bo |o n o [ z w y k l e
n i e z a l e |y t y l k o i w y Bc z n i e o d r o z m i a r u d a n y c h ,
a l e m o |e s i z n a c z n i e r ó |n i w p r z y p a d k u d w ó c h
r ó |n y c h z e s t a w ó w d a n y c h w e j [c i o w y c h o
i d e n t y c z n y m r o z m i a r z e . D w a c z s t o s p o t y k a n e
s p o s o b y r a d z e n i a s o b i e z t y m p r o b l e m e m t o :
b r a n i e p o d u w a g p r z y p a d k ó w n a j g o r s z y c h
( z Bo |o n o [ p e s y m i s t y c z n a ) i p e w i e n s p o s ó b
u [r e d n i e n i a w s z y s t k i c h m o |l i w y c h p r z y p a d k ó w
( z Bo |o n o [ o c z e k i w a n a ) .
Z Bo |o n o [ c z a s o w a
P r z y j t m i a r z Bo |o n o [c i c z a s o w e j j e s t l i c z b a
w y k o n y w a n y c h o p e r a c j i p o d s t a w o w y c h w z a l e |n o [c i o d
r o z m i a r u d a n y c h w e j [c i o w y c h . P o m i a r r z e c z y w i s t e g o
c z a s u z e g a r o w e g o j e s t m a Bo u |y t e c z n y z e w z g l d u n a s i l n
z a l e |n o [ o d i m p l e m e n t a c j i a l g o r y t m u , u |y t e g o
k o m p i l a t o r a , m a s z y n y n a k t ó r e j a l g o r y t m w y k o n a n o , a
t a k |e u m i e j t n o [c i p r o g r a m i s t y . D l a t e g o w c h a r a k t e r z e
c z a s u w y k o n a n i a r o z p a t r u j e m y z w y k l e l i c z b o p e r a c j i
p o d s t a w o w y c h ( d o m i n u j c y c h ) . O p e r a c j a m i p o d s t a w o w y m i
m o g b y n a p r z y k Ba d : p o d s t a w i e n i e , p o r ó w n a n i e l u b
p r o s t a o p e r a c j a a r y t m e t y c z n a .
K o l e j n y p r o b l e m p o l e g a n a t y m , w j a k i m j z y k u
p r o g r a m o w a n i a f o r m u Bo w a a l g o r y t m y o r a z c o m o |n a
z a Bo |y o m a s z y n i e , n a k t ó r e j a l g o r y t m t e n b d z i e
w y k o n y w a n y . I s t n i e j c e k o m p u t e r y r ó |n i s i m i d z y s o b
i s t o t n y m i ( z p u n k t u w i d z e n i a k o n s t r u o w a n i a a l g o r y t m ó w )
p a r a m e t r a m i , j a k n a p r z y k Ba d l i c z b a i r o z m i a r r e j e s t r ó w ,
u d o s t p n i a n y m i o p e r a c j a m i m a t e m a t y c z n y m i a p o n a d t o
p o d l e g a j c i g By m u l e p s z e n i o m . W o b e c t e g o a l g o r y t m y
a n a l i z u j e s i w y k o r z y s t u j c a b s t r a k c y j n e m o d e l e o b l i c z e D.
D o p o p u l a r n y c h m o d e l i n a l e | m a s z y n a R A M , m a s z y n a
T u r i n g a i m a s z y n a w s k a zn i k o w a ( a n g . p o i n t e r m a c h i n e ) .
Z Bo |o n o [ p a m i c i o w a
P o d o b n i e j a k z Bo |o n o [ c z a s o w a j e s t m i a r
c z a s u d z i a Ba n i a a l g o r y t m u , t a k z Bo |o n o [
p a m i c i o w a j e s t m i a r i l o [c i w y k o r z y s t a n e j
p a m i c i . J a k o t i l o [ n a j c z [c i e j p r z y j m u j e
s i u |y t p a m i m a s z y n y a b s t r a k c y j n e j ( n a
p r z y k Ba d l i c z b k o m ó r e k p a m i c i m a s z y n y
R A M ) w f u n k c j i r o z m i a r u w e j [c i a . M o |l i w e
j e s t r ó w n i e | o b l i c z a n i e r o z m i a r u p o t r z e b n e j
p a m i c i f i z y c z n e j w y r a |o n e j w b i t a c h l u b
b a j t a c h .
P o r ó w n y w a n i e z Bo |o n o [c i
a l g o r y t m ó w
P o r ó w n u j c z Bo |o n o [ a l g o r y t m ó w b i e r z e m y p o d u w a g
a s y m p t o t y c z n e t e m p o w z r o s t u , c z y l i t o j a k z a c h o w u j e s i
f u n k c j a o k r e [l a j c a z Bo |o n o [ d l a o d p o w i e d n i o d u |y c h ,
g r a n i c z n y c h a r g u m e n t ó w ( r o z m i a r ó w d a n y c h w e j [c i o w y c h )
i g n o r u j c z a c h o w a n i e d l a m a By c h d a n y c h . P o n a d t o
a l g o r y t m y , k t ó r y c h z Bo |o n o [c i r ó |n i s i o s t a B u w a |a m y
z a t a k i e s a m e . E l i m i n u j e t o w p By w s z y b k o [c i d z i a Ba n i a
k o m p u t e r a , n a k t ó r y m d a n y a l g o r y t m m a b y w y k o n a n y ,
o r a z w y b ó r o p e r a c j i p o d s t a w o w e j , k t ó r a n a j e d n y m
k o m p u t e r z e m o |e w y k o n y w a s i b By s k a w i c z n i e , n a i n n y m
z a [ m u s i b y z a s t p i o n a s z e r e g i e m i n s t r u k c j i .
O p i s a l g o r y t m u r o z w i z a n i a
Z a l e |n i e o d p o t r z e b y , r o z w i z a n i e p r o b l e m u
m o |e b y z a p i s a n e w p o s t a c i :
" " o p i s u s Bo w n e g o
" " s c h e m a t u b l o k o w e g o
" " p s e u d o k o d u
" " j z y k a p r o g r a m o w a n i a w y s o k i e g o
p o z i o m u , n p . P a s c a l l u b C
O p i s s Bo w n y
O p i s s Bo w n y - p o l e g a n a l o g i c z n y m i
z r o z u m i a By m d l a o d b i o r c y p r z e d s t a w i e n i u
k o l e j n y c h c z y n n o [c i ( a k c j i ) , j a k i e n a l e |y
w y k o n a a b y o s i g n z a m i e r z o n y e f e k t .
P r z y k Ba d a m i t a k i e g o o p i s u a l g o r y t m u m o g
b y : p r z e p i s k u l i n a r n y , r e c e p t a w y k o n a n i a
l e k u , m e t o d a r o z w i z a n i a z a d a n i a .
S c h e m a t b l o k o w y
S c h e m a t b l o k o w y - j e s t j e d n z
n a j p o p u l a r n i e j s z y c h f o r m p r z e d s t a w i a n i a
a l g o r y t m u . W y k o r z y s t u j e s i w n i m , m i n .
n a s t p u j c e s y m b o l e ( e l e m e n t y , b l o k i ) :
" P o c z t e k s i e c i d z i a Ba D ( s c h e m a t u ) . W
s c h e m a c i e m o |e w y s t p o w a t y l k o j e d e n
t a k i e l e m e n t .
S T A R T
B l o k w e j [c i a w y j [c i a
" B l o k w e j [c i a w y j [c i a o z n a c z a
c z y n n o [ w p r o w a d z a n i a d a n y c h i
p r z y p o r z d k o w y w a n i a i c h z m i e n n y m
u |y w a n y m w d a l s z e j c z [c i p r o g r a m u a l b o
c z y n n o [ w y p r o w a d z a n i a w y n i k ó w
o b l i c z e D.
N a p i s w e w n t r z o k r e [l a r o d z a j c z y n n o [c i
( n p . c z y t a j , d r u k u j , w y [w i e t l ) o r a z n a z w y
z m i e n n y c h i s t a By c h .
C z y t a j ,
w y [w i e t l ,
d r u k u j , & .
E l e m e n t ( b l o k ) p r z e t w a r z a n i a
" E l e m e n t ( b l o k ) p r z e t w a r z a n i a
( o b l i c z e n i o w y ) o z n a c z a w y k o n a n i e
o p e r a c j i ( l u b z b i o r u o p e r a c j i ) . W e w n t r z
b l o k u o k r e [l a s i r o d z a j c z y n n o [c i
p r z e t w a r z a n i a i i c h a r g u m e n t y .
A : = 2 ;
B : = a + 2 ;
B l o k d e c y z y j n y
" B l o k d e c y z y j n y ( w a r u n k o w y ,
a l t e r n a t y w n y , p r z e Bc z n i k i ) o z n a c z a
e l e m e n t w y b o r u j e d n e g o z d w ó c h
w a r i a n t ó w d a l s z e g o w y k o n y w a n i a
p r o g r a m u . W y b ó r j e s t d o k o n y w a n y n a
p o d s t a w i e w y n i k u s p r a w d z e n i a w a r u n k u
( b d c e g o w y r a |e n i e m l o g i c z n y m )
u m i e s z c z o n e g o w e w n t r z . B l o k t e n
p o w i n i e n z a w s z e p o s i a d a d w a w y j [c i a
o p i s a n e T ( T a k , T r u e ) i N ( N i e , F a l s e ) .
C z y
N i e
a > b ?
T a k
Ac z n i k
" Ac z n i k w e w n t r z s t r o n i c o w y s Bu |y d o
Bc z e n i a o d r b n y c h c z [c i s c h e m a t u
z n a j d u j c y c h s i n a t y m s a m y m a r k u s z u .
U Ba t w i a z a c h o w a n i e p r z e j r z y s t o [c i
s c h e m a t u . K o m p l e m e n t a r n e e l e m e n t y
o z n a c z a s i t y m s a m y m s y m b o l e m .
1
1
Z a k o Dc z e n i e
" Z a k o Dc z e n i e w y k o n y w a n i a c z y n n o [c i
S T O P
M e t o d y z m n i e j s z a n i a z Bo |o n o [c i
a l g o r y t m u
D e f . F u n k c j n a z y w a m y r e k u r e n c y j n , j e [l i j e s t
z d e f i n i o w a n a p r z y p o m o c y o d w o Ba D d o s i e b i e s a m e j .
P o d o b n i e p r o g r a m j e s t r e k u r e n c y j n y , j e [l i w y w o Bu j e
s a m s i e b i e .
Z r e k u r e n c j b e z p o [r e d n i m a m y d o c z y n i e n i a w t e d y , g d y
p r o c e d u r a w y w o Bu j e " s i e b i e " z a n i m s i s k o Dc z y . W
r e k u r e n c j i p o [r e d n i e j p r o c e d u r a w y w o Bu j e i n n p r o c e d u r ,
k t ó r a z k o l e i w y w o Bu j e p r o c e d u r , k t ó r a j w y w o Ba Ba . N a
p r z y k Ba d f u n k c j a f ( ) w y w o Bu j e g ( ) , k t ó r a w y w o Bu j e h ( ) , a t a
w y w o Ba f ( ) . Z a l e t r e k u r e n c j i j e s t z w i z Bo [ z a p i s u , z a [
w a d m o |e b y k o s z t i m p l e m e n t a c j i p r z e j a w i a j c y s i
d u |y m z a p o t r z e b o w a n i e m n a p a m i i d u |y m c z a s e m
p r z e t w a r z a n i a ( p r z y w i e l u p o z i o m a c h r e k u r e n c j i ) .
P r z y k Ba d y z a s t o s o w a D
r e k u r e n c j i :
" O b l i c z a n i e s i l n i
1 d l a n = 0 l u b n = 1
ñø
n ! =
òø
óøn Å"( n - 1 ) ! d l a n > 1
" O b l i c z a n i e p o t g i l i c z b y
n i e z d e f i n i o w a n e d l a A = 0 , B = 0
ñø
ôø
0 d l a A = 0 , B > 0
ôø
p o t g a ( A , B ) =
òø
1 d l a A > 0 , B = 0
ôø
ôø
A B d l a A > 0 , B > 0
óø
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