��1 Wzory Freneta[5, 4, 3, 1, 2] - �!(t). Rozpatrzmy krzyw
dan
przez wektor poB
o|
enia r Niech droga wzdB
u|
krzywej b
dzie oznaczana przez parametr s. W�wczas dB
ugo[

wektora pr
d- ds ko[
ci wynosi v = . R�|
niczkuj
c wektor poB
o|
enia jako funkcj
zB
o|
on
- �!(s(t)) po czasie tdt r otrzymujemy - - d�! d�! ds - r r �! = = v T , (1) dt ds dt - �! gdzie T jest jednostkowym wektorem stycznym do toru. Jako sprawdzenie mamy, |
e elementarna zmiana dB
ugo[
ci ds jest r�wna - �! d r dB
ugo[
ci pr
dko[
ci pomno|
onej przez elementarn
zmian
czasu dt, czyli dt 2 - d�! r ds = dt, (2) dt wi
c rzeczywi[
cie dB
ugo[

wektora pr
dko[
ci to - d�! ds r = . (3) dt dt Aby otrzyma
przy[
pieszenie musimy zr�|
niczkowa
pr
dko[

po czasie, co daje - �! - d2�! d T - dv r �! = v2 + T . (4) dt2 ds dt - �! d T Je|
eli teraz zapiszemy wektor w postaci pewnego wektora jednostkowego ds - �! N pomno|
onego przez jego dB
ugo[

� otrzymamy - d2�! - �! r �! - dv = N �v2 + T . (5) dt2 dt - �! - - �! �! �!- d T Kierunek wektora N = znajdziemy z warunku unormowania T T = 1. ds - �! - - - - �! �!�! �! d T R�|
niczkuj
c ten warunek dostaniemy T = N T = 0. Zatem wektor N ds - �! jest prostopadB
y do wektora stycznego do toru T . Wsp�B
czynnik (funkcja) � nazywany jest krzywizn
danej krzywej. Dla 1 przykB
adu, dla ruchu po okr
gu � = , gdzie R jest promieniem okr
gu. R W og�lnym przypadku krzywizna m�wi jak bardzo zmienia si
zakrzywienie krzywej, gdy poruszamy si
wzdB
u|
niej. Wz�r (5) jest sum
dw�ch czB
on�w. Pierwszy jest przy[
pieszeniem do- - �! [
rodkowym, gdy|
ma kierunek prostopadB
y do pr
dko[
ci ( kierunek N ), a 1 warto[

jest okre[
lona przez kwadrat pr
dko[
ci i krzywizn
. Drugi czB
on jest - �! styczny do toru ( kierunek wektora stycznego T ) i ma warto[

r�wn
warto[

przyspieszenia stycznego - czB
on ten jest wB
a[
nie przyspieszeniem stycznym. W ten spos�b zostaB
okre[
lony zestaw dw�ch prostopadB
ych wektor�w - - �! �! { T , N } wzdB
u|
krzywej. Dla krzywej na pB
aszczyz
nie te dwa wektory wy- starcz
, natomiast gdy krzywa jest tr�jwymiarowa, w�wczas trzeba doda
trzeci wektor, kt�ry jest iloczynem wektorowym wspomnianych wektor�w. 2 Krzywa przej[
ciowa Przy projektowaniu zakr
t�w drogowych i kolejowych nale|
y rozwi
za
na- st
puj
ce zagadnienie. Niech samoch�d/poci
g wchodzi w zakr
t ze staB

pr
dko[
ci
. W jaki spos�b uksztaB
towa
przej[
cie od prostego odcinka drogi do jej koB
owego elementu (przyspieszenie do[
rodkowe ma staB

warto[

), aby to przy[
pieszenie narastaB
o w spos�b B
agodny od zera do warto[
ci maksymal- nej - zobacz rysunek 1. W przeciwnym wypadku, gdy warto[

przy[
pieszenia do[
rodkowego zmienia si
nagle, mo|
emy ryzykowa
uszkodzenie samocho- du/poci
gu lub nawet jego wywr�cenie/wykolejenie. Wiemy, |
e przy[
piesze- nie do[
rodkowe ma warto[

r�wn
�v2. Poniewa|
pr
dko[

jest cech
pojazdu i nie mamy wpB
ywu na ni
, wi
c mamy wpB
yw jedynie na krzywizn
� toru, czyli na profil krzywej przej[
ciowej. Aby odpowiedzie
na to pytanie rozwa|
my krzyw
postaci: t - �!(�(t)) = t r cos(�(u))du, sin(�(u))du , (6) 0 0 gdzie k
t funkcji trygonometrycznych jest dany przez caB
k
z krzywizny t �(t) = �(u)du. (7) 0 Obliczaj
c pr
dko[

wzdB
u|
tej krzywej otrzymujemy - d�! r = [cos(�(t)), sin(�(t))] . (8) dt - �! - �! d r DB
ugo[

wektora pr
dko[
ci jest r�wna jeden, czyli = T . Zatem przy[
pie- dt szenie styczne wynosi zero. R�|
niczkuj
c pr
dko[

wzgl
dem czasu otrzymu- jemy przy[
pieszenie (do[
rodkowe) postaci - d2�! d� r = [-sin(�(t)), cos(�(t))] . (9) dt2 dt 2 Rysunek 1: Krzywa przej[
ciowa B

czy odcinek prostoliniowy drogi z jej od- cinkiem okr
gu, w taki spos�b aby przy[
pieszenie do[
rodkowe wzrastaB
o od warto[
ci zerowej do maksymalnej w spos�b B
agodny. To przy[
pieszenie powinno by
r�wne r�wnie|
pierwszemu czB
onowi wzoru (5), gdy|
nie ma czB
onu z przy[
pieszeniem stycznym (pr
dko[

jest staB
a, r�wna jeden). Ze wzgl
du na to, |
e wektor [-sin(�(t)), cos(�(t))] jest jed- - �! nostkowy, wi
c jest on wB
a[
nie wektorem jednostkowym N ze wzoru (5). Dodatkowo pr
dko[

v = 1, wi
c zachodzi d� = �, (10) dt co si
zgadza ze wzorem (7). Z tych obliczeD
wynika, |
e je|
eli chcemy skonstruowa
krzyw
o zadanej krzywiz
nie � to mo|
emy j
obliczy
ze wzoru (6). Wr�
my teraz do konstrukcji toru o krzywiz
nie, kt�ra ro[
nie wraz z dro- g
przebyt
wzdB
u|
tej krzywej. W�wczas przy[
pieszenie do[
rodkowe b
dzie r�wnie|
rosB
o w ten spos�b - pierwszy czB
on wzoru (5). Powiedzmy, |
e krzy- wizna ro[
nie liniowo z dB
ugo[
ci
przebytej drogi �(s) = 2s. W�wczas wz�r (7) daje zale|
no[

k
tow
t �(t) = 2udu = t2. 0 3 Wz�r (6) daje w tym przypadku t - �!(�(t)) = t r cos(u2)du, sin(u2)du . 0 0 Krzywa ta nazywa si
spiral
Eulera lub spiral
Cornu ( klotoid
) - ry- sunek 2. Jako krzyw
przej[
ciow
nale|
y wykorzysta
odpowiedni fragment tej spirali ( o odpowiedniej dB
ugo[
ci ) aby interpolowaB
a pomi
dzy zerowym przy[
pieszeniem do[
rodkowym, a jego staB

warto[
ci
na wynikowym B
uku okr
gu. Jako krzyw
przej[
ciow
stosuje si
r�wnie|
inne krzywe, jak parabol
sze[
cienn
postaci y = ax3, jednak w�wczas promieD
krzywizny ro[
nie szyb- ciej ni|
liniowo. Krzywe te maja przewag
nad spiral
Cornu, gdy|
s
dane w spos�b [
cisB
y (bez potrzeby obliczania caB
ek). Jednak jedynie spirala Cornu umo|
liwia liniowy wzrost krzywizny zakr
tu od dB
ugo[
ci przebytej drogi, a przez to liniowy wzrost przyspieszenia stycznego. Wszelkie zauwa|
one bB

dy prosz
mi zgB
asza
! Literatura [1] Edmund Kara[
kiewicz  Zarys teorii wektor�w i tensor�w , PWN [2] John Oprea  Geometria r�|
niczkowa i jej zastosowania , PWN [3] Abraham Goetz  Geometria r�|
niczkowa , PWN [4] Jacek Gancarzewicz  Geometria r�|
niczkowa , PWN, Script [5] Harley Flandes  Teoria form r�|
niczkowych , PWN (1969) 4  t Rysunek 2: Spirala Cornu o parametryzacji x(t) = cos(u2)du, y(t) = 0 t sin(u2)du. Kropk
zaznaczono pocz
tek ukB
adu wsp�B
rz
dnych. Jest to 0 r�wnie|
punkt z kt�rym nale|
y zszy
prostoliniowy odcinek drogi. Punkt z kt�rym nale|
y zszy
okr
g nale|
y wybra
tak, aby krzywizna spirali Cornu byB
a r�wna krzywiz
nie okr
gu ( ich przy[
pieszenia do[
rodkowe b
d
w�wczas takie same ). Podobnie nale|
y podst
powa
w druga stron
- przy przej[
ciu od B
uku okr
gu do odcinka prostoliniowego. 5