dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
Przykład 4. (Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony)
Obliczyć potrzebne zbrojenie belki na zginanie i ścinanie dla danych jak na rysunku, wykonanej z betonu
klasy C20/25. Przekrój belki prostokątny. Belka pracuje w środowisku XC1 (prefabrykat). Klasa konstrukcji
S4.
Rys. 4.1
1. Dane materiałowe:
beton klasy C20/25 :
fck=20 MPa
fck 20
fcd = =
Å‚c 1.5
fcd=13,33 MPa
fctm=2.2 MPa
fctk=1.5 MPa
fctk 1.5
fctd = =
Å‚c 1.5
fctd=1.0 MPa
µcu3 =0,0035
12-05-03 1/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
stal na podst. PN-B-03264:2002:
przyjęto gatunek stali RB 500 W dla którego:
fyd=420 MPa,
fyk=500 MPa,
ftk=550 MPa,
ftk 550
k = = = 1.1> 1.08 Ò! stal klasy "B" (na podst. tab. C1, str. 187 PN-EN 1992-1-1:2008)
fyk 500
µcu3
¾eff,lim = 0,8 Å" ;
µcu3 + µyd
fyd
µyd =
Es
420
µyd = =0,0021
200000
0.0035
¾eff,lim = 0,8 Å"
0.0035 + 0.0021
¾eff,lim= 0.5
2. Wstępne określenie wymiarów przekroju poprzecznego belki:
Ä…1 Å"MEd h
d = 3 ; przyjÄ™to: Ä…1 = = 2.2 ; ÁL=1.2%
0.87 Å" ÁL Å" fyd b
2.2 Å" 0.360
3
d = = 0.58m
0.87 Å" 0.012 Å" 420
przyjęto: h = 0.60 m, b = 0.25 m,
Śstrzemion= 6 mm, Śzbr. gł. E" 20 mm,
min. grubość otulenia strzemion (wg pkt. 4.4.1 str. 44):
cmin,b
Å„Å‚
ôÅ‚
cmin = maxòÅ‚cmin,dur + "cdur,Å‚ - "cdur,st - "cdur,add
ôÅ‚10mm
ół
6mm
Å„Å‚
cmin = maxôÅ‚15mm
òÅ‚
ôÅ‚10mm
ół
12-05-03 2/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
cmin=15mm, "cdev = 5 mm, cnom. = 15 + 5 = 20 mm,
min. grubość otulenia prętów zbrojenia głównego (wg pkt. 4.4.1 str. 44):
20mm
Å„Å‚
cmin = maxôÅ‚15mm
òÅ‚
ôÅ‚10mm
ół
cmin=20mm, "cdev = 5 mm, cnom. = 20 + 5 = 25 mm,
Biorąc pod uwagę minimalne otulenie strzemion, otulenie zbrojenia głównego należy przyjąć 26 mm.
Przyjęto:
a1 = 0.07 m, zatem d = h  a1 = 0.53 m,
a2 = 0.04 m.
a2  odległość środka ciężkości zbrojenia ściskanego od krawędzi ściskanej
3. ZGINANIE:
Obliczenie zbrojenia na zginanie (metodą uproszczoną na wzorach ogólnych):
Rys. 4.2.
3.1. Określenie położenia osi obojętnej:
= 0 Ò! fcd Å"b Å" xeff (d - 0.5xeff )- MEd = 0
"MAs1
13,33 Å"0.25 Å" xeff(0.53 - 0.5xeff )- 0.360 = 0
-1.666x2 +1.766xeff - 0.360 = 0
eff
" = b2 - 4 Å"a Å"c
" = 0.848
12-05-03 3/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
- b - " -1.766 - 0.848
xeff1 = = = 0.785 m > h = 0.60m
2a 2Å"(-1.666)
- b + " -1.766 + 0.848
xeff 2 = = = 0.434 m
2a 2Å"(-1.666)
xeff = xeff2 = 0.434m
xeff 0.434
¾eff = = = 0.819 > ¾eff,lim = 0.5 Ò! przekrój należy zbroić podwójnie.
d 0.53
Rys. 4.3. Przekrój podwójnie zbrojony
12-05-03 4/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
4.2. Określenie momentu MEd1 odpowiadającego nośności strefy ściskanej przekroju betonowego
przy xeff = xeff,lim:
xeff,lim = ¾eff,lim Å" d = 0.5 Å" 0.53 = 0.265 m
= 0 Ò! fcd Å"b Å" xeff,lim(d - 0.5xeff,lim)- MEd1 = 0
"MAs1
MEd1 = 10.67 Å" 0.25 Å" 0.265 (0.53 - 0.5 Å" 0.265)
MEd1 = 0.281 MNm = 281kNm .
3.3. Określenie pola przekroju zbrojenia rozciąganego (As11) odpowiadającego momentowi
MEd1:
= 0 Ò! fydAs11(d - 0.5xeff,lim)- MEd1 = 0
"MAcc
MEd1
As11 =
fyd(d - 0.5 Å" xeff,lim)
0.281
As11 = = 16.83 x 10-4m2 = 16.83 cm2
420 (0.53 - 0.5 Å" 0.265)
4.4. Różnica momentów do przeniesienia przez dodatkowe zbrojenie w strefie ściskanej:
"MEd = MEd  MEd1 = 360  281 = 79kNm
4.5. Dodatkowe zbrojenie w strefie rozciąganej i równoważne mu zbrojenie w strefie ściskanej:
= 0 Ò! fyd"As1(d - a2)- "MEd = 0
"MAs2
"As1 Å" fyd(d - a2 ) = "ME
d
"ME
d
"As1 = As2 =
fyd Å"(d - a2 )
0.079
"As1 = As2 = = 3.84 x 10-4m2 = 3.84 cm2
420 Å"(0.53 - 0.04)
zatem:
Zbrojenie w strefie rozciÄ…ganej:
As1 = As11 + "As1 = 16.83 + 3.84 = 20.67cm2 > As1,min
12-05-03 5/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
fctm 2.2
As1,min = 0.26 Å" Å"b Å" d = 0.26 0.25 Å"0.53 =
fyk 500
1.51 x 10-4m2 = 1.51 cm2
As1,min = 0.0013 Å"b Å" d = 0.0013 Å"0.25 Å"0.53 =
1.72x10-4m2 = 1.72cm2
As1= 20.67 cm2 > As1,min= 1.72cm2
przyjęto 7 Ś 20 o As1= 21.99 cm2
Zbrojenie w strefie ściskanej:
As2 = 3.84cm2 przyjęto: 4 Ś12 o As2 = 4.52 cm2
4.7. Sprawdzenie ile szt. prętów Ś20 mieści się w jednym rzędzie:
Å„Å‚Åšmax Å" k1;k1 = 1
ôÅ‚
a = max.òÅ‚dg + k2;k2 = 5mm wg pkt. 8.2 str. 120
ôÅ‚20mm
ół
Jeśli dg = 16 mm, to a e" 16+5=21mm,
a= 21 mm
2 x (2.0 + 0.6)+5 x 2 + 4 x 2.1 = 23.8 cm < 25 cm, zatem w jednym rzędzie mieści się 5 szt. prętów.
Pręty rozłożono w następujący sposób: 5 szt. Ś 20 w pierwszym rzędzie, 2 szt. Ś 20 w drugim rzędzie.
4.8. Sprawdzenie położenia osi obojętnej:
Sx-x = Å" yi
"Asi
Sx - x = 5 Å" 3.14 Å" (2.0 + 0.6 + 1)+ 2 Å" 3.14 Å"
(2 + 0.6 + 2 + 2.1+ 1) = 104 .93cm3
Sx-x
yS =
As1
104.93
yS = = 4.77 < 7cm, a więc założone a1 jest po stronie bezpiecznej.
21.99
Obliczenie długości zakotwienia prętów podłużnych: - do samodzielnego obliczenia !!!
12-05-03 6/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
4. ÅšCINANIE
Przyjęto zbrojenie na ścinanie w postaci strzemion pionowych.
VEd = const. = 120 kN
4.3 Sprawdzenie nośności na ścinanie elementu bez zbrojenia na ścinanie
1
îÅ‚C
3
VRd,c = Å" k Å"(100ÁL Å" fck) + k1Ãcp Å‚Å‚bw Å" d (6.2a)
Rd,c
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
lecz nie mniej niż:
VRd,c = (½min + k1Ãcp )Å" bw Å" d (6.2b)
w powyższych wzorach:
CRd,c = 0.18 Å‚c
CRd,c = 0.18 1.5 = 0.12
200
k = 1+ d" 2.0
, gdzie d wyrażone w [mm]
d
 d przyjęte na podstawie obliczeń w pkt. 2. wynosi 530 mm
200
k = 1+ = 1.60 < 2.0
530
AsL
ÁL = d" 0.02
bwd
(należy podstawić powierzchnię zbrojenia przyjętego),
21.99
ÁL = = 0.0166 < 0.02
25 Å"53
NEd
Ãcp = d" 0.2 Å" fcd
Ac
NEd=0, Ãcp=0, k1=0.15
3 1
2
½min = 0.035 Å" k2 Å" f
ck
3 1
½min = 0.035 Å"1.602 Å"162 = 0.283
1
îÅ‚ Å‚Å‚
VRd,c = Å"1.6 Å"(100 Å" 0.0166 Å" 20) + 0.15 Å" 0śł Å" 0.25 Å" 0.53 =
3
ïÅ‚0.12
ðÅ‚ ûÅ‚
0.0819MN = 81,9kN
lecz nie mniej niż:
12-05-03 7/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
VRd,c = (0.283 + 0.15 Å"0)Å"0.25 Å"0.55 = 0.0389MN = 38.9kN
VEd = 120kN > VRd,c = 81,9 kN , zatem belka wymaga zbrojenia na ścinanie na całej długości.
Zakładam, że całe zbrojenie podłużne jest doprowadzone poza krawędz
podpory na odległość lbd.
4.3 Sprawdzenie nośności ściskanych krzyżulców betonowych
Ä…cwbwz½1fcd
VRd,max = (6.9)
cot Åš + tanÅš
ącw  współczynnik zależny od stanu naprężeń w pasie ściskanym,
ącw = 1,0 dla konstrukcji niesprzężonych,
z = 0,9d,
sposób I:
fck
öÅ‚
½1 = ½ = 0.6ëÅ‚1- ÷Å‚
(6.6N)
ìÅ‚
250
íÅ‚ Å‚Å‚
lub
sposób II:
½1 =0,6 dla fck d" 60MPa (6.10aN)
fck
½1 = 0,9 - e" 0,5, dla fck > 60MPa (6.10bN)
200
przy zastosowaniu wzorów 6.10, fywd we wzorze (6.8) należy zredukować do 0.8 fywd,
 fck należy podstawić w MPa,
przyjÄ™to Åš = 45°,
z = 0.9 d = 0.9 Å" 53 = 47,7 cm.
Obliczenia wykonuje siÄ™ sposobem II:
1.0 Å" 0.25 Å" 0.9 Å" 0.53Å" 0.6 Å"13.33
VRd,max = =
1+1
0.477MN = 477kN > VEd = 120kN
zatem nośność ściskanych krzyżulców betonowych jest wystarczająca.
4.3 Obliczenie potrzebnego zbrojenia na ścinanie:
Asw
VRd,s = Å" z Å" fywd Å"cot Åš (6.8.)
s
PrzyjÄ™to strzemiona dwuciÄ™te Åš 6 mm o Aws1 = 2Å"0.28 = 0.56 cm2.
Z uwagi na przyjÄ™cie II sposobu okreÅ›lania ½, fywd należy pomnożyć przez 0.8:
12-05-03 8/9
dr inż. Krystyna WRÓBEL Ćwiczenia z konstrukcji betonowych Przykład 4
Asw1 Å" 0.8 Å" fywd1 Å" z Å" cot Åš
s1 d"
VEd
0.56 Å"0.8 Å" 42 Å"0.9 Å"53 Å"1
s1 d" = 7.5cm
120
Z uwagi na fakt, że w strefie ściskanej belki są pręty potrzebne obliczeniowo, należy pamięać o tym, aby
zastosować rozstaw strzemion nie większy niż 15 średnic tego zbrojenia (15 x 12mm=180mm).
Przyjęto strzemiona dwucięte Ś 6 mm co 7 cm (< 18 cm) na całej długości belki.
Dodatkowo należy dozbroić strefę przekazywania siły skupionej.
12-05-03 9/9