Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
estymatorów (1)
estymatorów (1)
CZYM JEST ESTYMATOR ORAZ PROCES ESTYMACJI?
CZYM JEST ESTYMATOR ORAZ PROCES ESTYMACJI?
Estymacja jest zbiorem metod szacowania wartości pewnych nieznanych
parametrów cechy statystycznej (bądz
jej postaci funkcyjnej) na podstawie próby
losowej.
Próba losowa
znamy statystyki z próby
Populacja np.: średnią albo częstość
Chcemy
nie znamy charakterystyk
wnioskować na
np.: średniej ani częstości
podstawie próby o
charakterystykach
populacyjnych
Estymatorem będzie statystyka z próby która posłuży nam do estymacji (czyli
wnioskowania) o nieznanych charakterystykach populacyjnych.
1
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
estymatorów (2)
estymatorów (2)
JAKIE RODZAJE ESTYMACJI I ESTYMATORÓW MOŻEMY WYRÓŻNIĆ?
JAKIE RODZAJE ESTYMACJI I ESTYMATORÓW MOŻEMY WYRÓŻNIĆ?
punktowa
Parametryczna
przedziałowa
Estymacja
Nieparametryczna
Dotyczy rozkładu
zmiennej
My zajmiemy siÄ™ jedynie estymacjÄ… punktowÄ… oraz
przedziałowąśredniej oraz częstości
2
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
estymatorów (3)
estymatorów (3)
PODSTAWOWE OZNACZENIA
PODSTAWOWE OZNACZENIA
Åš  szacowany parametr populacyjny
Tn  estymator
tn  ocena parametru Åš za pomocÄ… estymatora Tn
Ponieważ szacunku dokonujemy na podstawie próby losowej istnieje możliwość
popełnienia błędu. Jest to różnica między estymatorem a wartością parametru:
Tn - Åš = d
Konkretna wartość jaką przyjmuje estymator (a więc wartość statystyki z próby) dla
danej próby losowej nazywamy oceną parametru (tn).
Taka ocena parametru jest więc punktowym oszacowaniem nieznanego parametru
populacyjnego.
3
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
estymatorów (4)
estymatorów (4)
Wybieramy estymator Tn
realizacją w próbie losowej jest tn
Nieznany parametr Åš
Próba losowa
znamy statystyki z próby
Populacja np.: średnią albo częstość
Możemy
nie znamy charakterystyk
popełnić błąd
np.: średniej ani częstości
Tn - Åš = d
Na podstawie oceny - tn - dokonujemy estymacji punktowej lub przedziałowej
Ocena (tn) parametru Ś za pomocą estymatora Tn pochodzi z próby losowej:
stąd estymator jest zmienną losowąpatrz: rozkłady statystyk z próby
4
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
Podstawy estymacji: pojęcie i podstawowe własności
estymatorów (4)
estymatorów (4)
JAKI ESTYMATOR B
DZIE  DOBRYM ESTYMATOREM?
JAKI ESTYMATOR B
DZIE  DOBRYM ESTYMATOREM?
WA
ASNOŚCI ESTYMATORÓW.
WA
ASNOŚCI ESTYMATORÓW.
Obciążenie estymatora: estymator jest nieobciążony jeśli zachodzi: E(Tn)=Ś
Efektywność estymatora: Z dwóch estymatorów efektywniejszy jest ten którego
wariancja jest mniejsza. Mniejsze prawdopodobieństwo uzyskania w próbie
losowej wartości bardzo odbiegających od parametru Ś
Zgodność estymatora: estymator jest zgodny jeśli zachodzi:
lim P(Tn - Åš < µ ) = 1
n "
BiorÄ…c pod uwagÄ™ te kryteria najlepszymi punktowymi estymatorami
BiorÄ…c pod uwagÄ™ te kryteria najlepszymi punktowymi estymatorami
średniej i częstości populacyjnej będą średnia i częstość z próby.
średniej i częstości populacyjnej będą średnia i częstość z próby.
Jakość estymatora punktowego możemy również ocenić za pomocą:
" Odchylenia standardowego estymatora D(Tn)  jest to średni błąd szacunku
" Błędu względnego estymatora określanego jako
^
^
D (Tn )
V (Tn ) =
5
Tn
Zagadnienie estymacji przedziałowej średniej i
Zagadnienie estymacji przedziałowej średniej i
częstości
częstości
Punktowa ocena parametru za pomocą estymatora może być obciążona błędem lub
całkowicie nietrafna: wynika to z losowości próby oraz z faktu że w przypadku cech
ciągłych prawdopodobieństwo, że estymator przyjmie wartość szacowanego
parametru jest równe zero.
Dlatego też stosujemy tzw. estymację przedziałową, konstrukcja przedziału
liczbowego (tzw. przedziału ufności), który z założonym prawdopodobieństwem
pokrywa wartość szacowanego parametru.
W przypadku estymacji punktowej otrzymujemy jednÄ… liczbÄ™ a w przypadku
estymacji przedziałowej otrzymujemy przedział liczbowy.
Dzięki estymacji przedziałowej możemy ocenić jak często uznanie za wartość
parametru konkretnej liczby z proponowanego przedziału jest oszacowaniem
prawidłowym.
Częstość oszacowań prawidłowych zwana jest współczynnikiem ufności i
oznaczana jako 1-ą. Podkreśla to, że zależy nam na jak największej liczbie
oszacowań prawidłowych i na małej liczbie oszacowań nieprawidłowych (ą).
Zazwyczaj ą to mała liczba np.: 0,05 lub 0,01.
6
Jak konstruujemy przedział ufności?
Jak konstruujemy przedział ufności?
Zaczynamy od oceny punktowej parametru czyli Tn
Ć
Znając błąd standardowy estymatora D ( Tn ) oraz zakładając że jego rozkład
jest normalny oraz że jest on nieobciążony, to wówczas 68% wartość jakie
może on przyjmować należy do przedziału:
Ć Ć
< Åš - D(Tn) ; Åš - D(Tn) >
Czyli z prawdopodobieństwem 0,68 otrzymujemy takie oceny parametru
które należą do tego przedziału. Przedział ten będzie miał krańce o
wartościach:
Ć Ć
< tn - D(Tn) ; tn + D(Tn) >
Ponieważ punktowa ocena parametru jak i jego błąd standardowy pochodzą z
realizacji próby losowej za każdym razem możemy otrzymać inną wartość
krańca przedziału jednak zawsze przedziały te będą zawierały oszacowany
parametr Åš
7
Jak konstruujemy przedział ufności? (2)
Jak konstruujemy przedział ufności? (2)
f(tn)
D(Tn)-Åš E(Tn)=Åš D(Tn)+Åš
tn
Dysponując jedynie tymi przedziałami nie możemy jednoznacznie wskazać gdzie
znajduje się szacowany parametr. Możemy jedynie powiedzieć, że szacowany
parametr będzie zawierał się w przedziale z określonym prawdopodobieństwem
Ć Ć
P(tn - D(Tn) < Åš < tn + D(Tn))= 0,68
Można powiedzieć że 68 na 100 skonstruowanych przedziałów będzie zawierało
szacowany parametr. Jednocześnie częstość błędnych oszacowań wynosi 0,32.
Chcielibyśmy mieć więcej oszacowań prawidłowych. Możemy to zrobić zwiększając
rozpiętość przedziału do dwukrotnego lub trzykrotnego błędu średniego. Ogólnie
możemy zwiększyć tę rozpiętość do uą-krotnego błędu średniego
8
Jak konstruujemy przedział ufności? (3)
Jak konstruujemy przedział ufności? (3)
Wtedy: rośnie częstość oszacowań prawidłowych oznaczana przez 1-ą natomiast
zacznie maleć częstość oszacowań nieprawidłowych oznaczona jako ą.
Jeśli estymator ma rozkład normalny to związek poziomu ufności ze zmienną
losową U opisującą krotność odchylenia standardowego estymatora jaką należy
brać pod uwagę konstruując przedział jest następujący:
P(U d" Ä…)=1-Ä…
^ ^
Gdy P=0,68
< tn - D(Tn ) ; tn + D(Tn ) >
U d" 1
^ ^
Gdy P=0,95
< tn - 2D(Tn ) ; tn + 2D(Tn ) >
U d" 2
^ ^
< tn - 3D(Tn ) ; tn + 3D(Tn) >
Gdy P=0,99
U d" 3
9
Jak konstruujemy przedział ufności? (4)
Jak konstruujemy przedział ufności? (4)
Przy ustalonej liczebności próby, przyjęte prawdopodobieństwo 1-ą rozstrzyga o
tym jaka będzie rozpiętość przedziału.
Im większa częstość poprawnych oszacowań tym większa wymagana krotność
błędu standardowego i szerszy przedział.
Zależność między precyzją a pewnością oszacowania wysoka wiarygodność
ufność nie sprzyja precyzji oszacowania.
Ogólnie konstrukcję przedziału ufności możemy zapisać następująco:
PëÅ‚tn - uÄ… " D(Tn ) < Åš < tn + uÄ… " D(Tn)öÅ‚ = 1-Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Krańce przedziału są losowe gdyż zmienia się wartość oceny punktowej
parametru. Jednak zawsze, z prawdopodobieństwem 1-ą, pokryje on szukaną
wartość parametru.
10
Jak konstruujemy przedział ufności? (5)
Jak konstruujemy przedział ufności? (5)
11
Dokładność estymacji; zagadnienie minimalnej
Dokładność estymacji; zagadnienie minimalnej
liczebności próby.
liczebności próby.
Problem precyzji oszacowania sprowadza się do wyboru między długością
przedziału a częstością trafnych oszacowań:
szerszy przedział większa częstości trafnych oszacowań mała precyzja
wąski przedział niższa częstość trafnych oszacowań większa precyzja
Szerokość przedziału możemy modyfikować przez zmiany w wartości
prawdopodobieństwa 1-ą to rozwiązanie nas nie interesuje!
Możemy także  manipulować wielkością próby w celu osiągnięcia założonej
precyzji oszacowania. Precyzja jest mierzona jest za pomocą tzw. błędu
maksymalnego czyli połowy długości przedziału. Błąd ten oznaczany jest jako d:
d = uÄ… " D(Tn)
12
Dokładność estymacji; zagadnienie minimalnej
Dokładność estymacji; zagadnienie minimalnej
liczebności próby. (2)
liczebności próby. (2)
Stąd możemy postawić pytanie: Jaka powinna być minimalna liczba obserwacji w
próbie niezbędna do przeprowadzenia wnioskowania o wymaganej precyzji i ustalonej
ufności 1-ą?
1
Dla szacowania 2
n = uÄ… D2(X )
2
średniej
d
Dla szacowania
częstości
Gdy przewidujemy p na
podstawie p*
p"(1- p")
2
n = uÄ…
2
d
Gdy nie ma przewidywań co do
wartości p za p* przyjmujemy 0,5
1
2
n = uÄ… 2
4d
13
Typowe zadania
Typowe zadania
1. Z przygotowanej do sprzedaży partii skrzynek z jabłkami w pewnej hurtowni
wybrano losowo 200 skrzynek jabłek i 146 z nich zakwalifikowano jako I
gatunek. Oszacować punktowo frakcji jabłek I gatunku w całej partii. Wyznaczyć
przedział ufności dla frakcji jabłek I gatunku. Przyjąć 1 - ą = 0,90.
2. Wiadomo, że w przedsiębiorstwie X średni czas losowo wybranych 100 rozmów
międzymiastowych wynosił 10 min. i charakteryzował się zmiennością 40%,
należy ocenić przedziałowo średni czas trwania tej rozmowy. Przyjąć 1-ą = 0,95.
3. Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników,
awansujących trzykrotnie w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2% ?
Jeśli badanie pilotażowe wskazuje iż spodziewana wielkość kształtuje się w
granicach 15%?
14