WYBÓR ANALITYCZNEJ
POSTACI MODELU
EKONOMETRYCZNEGO
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
żð Na podstawie poza statystycznych informacji o typie
związku, który łączy zmienną objaśnianą ze zmiennymi
objaśniającymi, a zatem na podstawie apriorycznej
wiedzy o prawidłowościach występujących w badanym
fragmencie rzeczywistości gospodarczej.
a priori
a posteriori
żð MetodÄ… heurystycznÄ… tj. metodÄ… prób polegajÄ…cÄ… na
zastosowaniu różnych postaci analitycznych do opisu
wybranego fragmentu rzeczywistości gospodarczej i
wyborze jednego z nich na podstawie przyjętego
kryterium  dobroci dopasowania modelu do
rzeczywistości.
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
żð MetodÄ… oceny wzrokowej wykresów rozrzutu
(tylko dla modeli z jedną zmienną objaśniającą).
Szczególnym przypadkiem oceny wzrokowej jest
metoda aproksymacji segmentowej.
żð MetodÄ… badania przyrostów (tylko dla modeli
tendencji rozwojowej). Metoda ta zakłada, że
model ma postać wielomianu, a wybór dotyczy
tylko stopnia wielomianu.
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
Żadna z wymienionych metod nie jest uniwersalna,
ponieważ nie zapewnia obiektywnych narzędzi
wyboru klasy modelu lub zakres ich zastosowań jest
ograniczony. Podjęto próby konstrukcji tzw. modeli
adaptacyjnych, w których nie zakłada się a priori
postaci analitycznej lecz wynika z zastosowania
pewnych algorytmów  wygładzających
obserwowany faktycznie zwiÄ…zek zmiennej
objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi.
Przykładem modeli adaptacyjnych jest metoda
trendu pełzającego.
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
Funkcje najczęściej spotykane w badaniach
empirycznych, a obrazujące typy związków
pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi.
Funkcja liniowa
Yt =ð að0 +ðað1Xt +ðxðt
Funkcja hiperboliczna
1
Yt =ð að0 +ðað1 +ðxðt
Xt
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
Funkcja wielomianowa
Yt =ð að0 +ðað1Xt +ðað2Xt2 +ð...+ðaðn Xtn +ðxðt
Parabola jako szczególny zapis funkcji
wielomianowej drugiego stopnia
Yt =ð að0 +ðað1Xt +ðað2Xt2 +ðxðt
WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI
MODELU EKONOMETRYCZNEGO
Funkcja potęgowa
1 t
Yt =ð að0Xtað ×ð10xð
Funkcja wykładnicza
t t
Yt =ð að0 ×ðað1x ×ðexð
Funkcja logarytmiczna
Yt =ð að0 log Xt +ðað2 +ðxðt
ESTYMACJA PARAMETRÓW
STRUKTURALNYCH
k
Yt =ð að0 +ð aði Xit +ðxðt
åð
i=ð1
Algorytm estymacji parametrów strukturalnych w konwencji
macierzowej. Przyjmując, że dokonano n obserwacji na zmiennych
Yt, X1t,X2t,& ,Xkt
Y = Xa + u
Gdzie
y1
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
y2
Ä™ð Å›ð;
y =ð
wektor zaobserwowanych zmiennych endogenicznych Yt
Ä™ð Å›ð
Mð
Ä™ðy Å›ð
ëð n ûð
ESTYMACJA PARAMETRÓW
STRUKTURALNYCH
1 x11 Lð xk1
éð Å‚ð
Ä™ð1 x12 Lð xk Å›ð
2
Ä™ð Å›ð
X =ð
macierz realizacji zmiennych objaśniających
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Mð
Ä™ð Å›ð
ëð1 x1n Lð xkn ûð
W modelu występuje zmienna X0i=1 przy parametrze ą0 dla t=1,2,..,n
að1
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð;
að =ð Mð
wektor estymatorów parametrów strukturalnych
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëðað ûð
K
u1
éð Å‚ð
Ä™ðu Å›ð
2
Ä™ð Å›ð
u =ð
wektor reszt ut
Ä™ð Å›ð
Mð
Ä™ðu Å›ð
ëð n ûð
Zestaw założeń 1)  5) nazywamy Klasycznym Modelem
Regresji Liniowej (KMRL).
Model liniowy w notacji macierzowo-wektorowej wraz ze
sformułowanymi werbalnie założeniami można zapisać:
y =ð X að +ð u
" 1) (model którego parametry szacujemy jest
N´ðK N´ð1
N´ð1
modelem liniowym)
" 2) Zmienne objaśniające są zmiennymi nielosowymi
t =ð1,...,n
(ustalonymi w powtarzanych próbach dla każdego
na poziomie xt1,..., xtK ) , zatem macierz X jest macierzÄ…
nielosową i nie występuje współliniowość zmiennych
objaśniających); liczba zmiennych objaśniających jest
mniejsza od liczby obserwacji (K" 3) Wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero,
E(eð ) =ð 0
czyli (odchylenia losowe in plus i in minus redukujÄ…
n´ð1
siÄ™).
" 4) wariancja składnika losowego jest stała dla wszystkich
2
sðt2 =ð sð
obserwacji dla każdego t (własność ta
nazywana jest także jednorodnością lub
homoskedastycznością wariancji),
" 5) obserwacje są niezależne, składniki losowe
poszczególnych obserwacji są nieskorelowane (nie
występuje autokorelacja składników losowych).
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI LINIOWEJ
.
Zakładając, że zależność ma charakter liniowy, oszacujemy parametry modelu:
Yt =ð að0 +ðað1Xt1 +ðað2Xt2 +ðeðt
a =ð (XTX)-ð1XTy
1 x11 x12 y1
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð1 x21 x22Å›ð Ä™ð Å›ð
y2
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
X =ð 1 x31 x32 y =ð y3
Ä™ð1 Mð Å›ð Ä™ð Å›ð
Mð Mð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð1 xn1 xn2 Å›ð Ä™ðyn Å›ð
ëð ûð ëð ûð
n n
Å‚ð
1 x11 x12 éð n
éð Å‚ð
éð Å‚ð xt1 xt 2 Å›ð
åð åð
Ä™ð1 x21 x22Å›ð Ä™ð
Ä™ð Å›ð t=ð1 t=ð1
1 1 1 1 1
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð n n n
Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
XTX =ð ×ð 1 x31 x32 =ð xt1 xt2 xt1xt 2 Å›ð
11 åð åð
Ä™ðx x21 x31 Lð xn1 Å›ð 1 åð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð1 Mð Mð Å›ð
t=ð1 t=ð1 t=ð1
Ä™ð Å›ð
n n n
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðx x22 x32 Lð xn2 Å›ð
Ä™ð xt 2 xt 2xt1 xt22 Å›ð
Ä™ð1 xn1 xn2 Å›ð åð åð åð
ëð 12 ûð
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëð t=ð1 t=ð1 t=ð1 ûð
n
éð Å‚ð
y1
éð Å‚ð
yt Å›ð
åð
Ä™ð
Ä™ðy Å›ð
t=ð1
1 1 1 1 1
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
2
Ä™ð Å›ð n
Ä™ðx
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
XTy =ð x21 x31 Lð xn1 Å›ð ×ð y3 =ð xt1yt Å›ð
11 åð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
t=ð1
Ä™ð Å›ð
x22 x32 Lð xn2 ûð Ä™ð Mð
Ä™ð n Å›ð
12
ëðx
Å›ð
Ä™ð Å›ð
xt 2 yt
Ä™ðyn Å›ð åð
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
ëð t=ð1 ûð
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI HIPERBOLICZNEJ
1
Yt =ð að0 +ðað1 +ðxðt
Xt
Yt =ð að0 +ðað1z+ðxðt
Wtedy zmienna endogeniczna Y jest funkcjÄ… liniowÄ… zmiennej Z
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI PARABOLICZNEJ
Yt =ð að0 +ðað1Xt +ðað1Xt2 +ðxðt
Po podstawieniu funkcja nieliniowa ze względu na X jest funkcją liniową ze względu na X i Z
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI WYKA
ADNICZEJ
t t
Yt =ð að0 ×ðað1x ×ðexð
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI WYKA
ADNICZEJ
t t
Yt =ð að0 ×ðað1x ×ð10xð
SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI POT
GOWEJ
1 t
Yt =ð að0Xtað ×ð10xð
W praktyce mogą występować jeszcze inne postacie funkcji wykładniczej.
Mając dane dotyczące 5 pracowników bezpośrednio produkcyjnych:
Yi X1i X2i
35 5 2
50 3 3
62 2 4
72 1 5
82 0 6
gdzie:
yi - ilość braków wytwarzanych przez pracownika (w szt. rocznie),
x1i  staż pracy (w latach,)
x2i  liczba dni przepracowanych przez pracownika w warunkach szkodliwych dla zdrowia
Nalęży:
Oszacować parametry strukturalne funkcji liniowej
yi = a0+a1 x1i +a2x2i+ei
opisującej badaną zależność
b. Zweryfikować statystyczną istotność otrzymanych estymatorów parametrów (ta = 2,156),
c. zinterpretować otrzymane wyniki,
d. wyznaczyć prognozę y gdy x1i = 5 i x2i = 7;
d. Dokonać oceny dokładności predykcji (wariancja predykcji, błąd średni predykcji, względny błąd średni
predykcji)
e. zbudować 95% przedział ufności.
Parametry struktury stochastycznej
WARIANCJA RESZTOWA
1 1 1 1
T T
2
S e =ð uTu =ð (ðy -ð w
)ð (ðy -ð w
)ð=ð (ðy -ð Xa)ð (ðy -ð Xa)ð=ð (yTy -ðaTXTy)
n -ð k n -ð k n -ð k n -ð k
gdzie: n  liczba obserwacji
k  liczba szacowanych parametrów strukturalnych
n-k  liczba stopni swobody
 wektor wartości teoretycznych
w
=ð Xa
 wektor reszt
u =ð y -ð w

lub w zapisie skalarnym:
N
1
2 2
Se =ð
åðu
t
n -ð k
t=ð1
2
Se =ð Se
BA

DY ÅšREDNIE SZACUNKU
Błędy średnie szacunku parametrów strukturalnych określają rząd
dokładności szacunku tych parametrów.
MACIERZ WARIANCJI I KOWARIANCJI
Elementy diagonalne znajdujÄ…ce siÄ™ na
przekątnej głównej macierzy wariancji i
kowariancji są wariancjami estymatorów
parametrów strukturalnych.
Pierwiastki kwadratowe z elementów
znajdujących się na przekątnej głównej
stanowią błędy średnie szacunku.
Natomiast poza przekątną główną znajdują
się kowariancje estymatorów parametrów
strukturalnych określających stopień
skorelowania dwóch estymatorów.
WSPÓA
CZYNNIK ZBIEŻNOŚCI
WSPÓA
CZYNNIK DETERMINACJI
WSPÓA
CZYNNIK ZMIENNOÅšCI LOSOWEJ
WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
Model z oszacowanymi parametrami strukturalnymi i parametrami
struktury stochastycznej trzeba poddać procedurze weryfikacyjnej
dotyczÄ…cej:
1. Prawidłowego doboru zmiennych objaśniających do modelu i
siły oddziaływania tych zmiennych na zmienną endogeniczną
(objaśnianą).
2. Stopnia dopasowania modelu do opisywanego fragmentu
rzeczywistości gospodarczej.
3. Rozkładu reszt w aspekcie spełnienia apriorycznych założeń
poczynionych przy wyborze metody estymacji parametrów
modelu.
WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
Pozytywny rezultat procedury weryfikacyjnej modelu ekonometrycznego
umożliwia właściwą realizację celów, dla których podjęto badania
ekonometryczne.
Możemy przyjąć, że model ekonometryczny będzie spełniał warunki
praktycznego wykorzystania wtedy, gdy:
" Estymatory parametrów strukturalnych są statystycznie istotne.
" Wybrane parametry struktury stochastycznej przyjmują wartości
arbitralnie uznane za dopuszczalne czyli spełniony będzie warunek
Ć2< Ć02 , lub R2> R02 lub Vkrytyczne.
" Reszty modelu charakteryzują się pożądanymi własnościami (losowością,
symetriÄ…, brakiem autokorelacji.
BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOÅšCI
ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
Po etapie estymacji parametrów modelu ekonometrycznego
musimy zweryfikować statystyczną istotność estymatorów
parametrów strukturalnych tzn. zbadać a posteriori czy
poszczególne zmienne objaśniające mają istotny wpływ na
kształtowanie się zmiennej endogenicznej (objaśnianej).
Algorytm postępowania jest następujący:
żð Przyjmujemy, że speÅ‚nione sÄ… zaÅ‚ożenia metody
najmniejszych kwadratów
żð ZakÅ‚adamy, że skÅ‚adniki losowe ¾t (dla t=1,2,& ,n) majÄ…
wielowymiarowy rozkÅ‚ad normalny ¾-N(0, 5ØÔÞ2 In)
BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOÅšCI
ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
żð Stawiamy hipotezÄ™ zerowÄ…
H0: Ä…i = 0
Wobec hipotezy alternatywnej
H1: Ä…i `" 0
żð Hipoteza zerowa zakÅ‚ada, że parametr Ä…i nieistotnie różni
się od zera tzn. że zmienna xi przy której ten parametr się
znajduje wywiera nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą
żð W przypadku odrzucenia hipotezy H0 przyjmujemy
hipotezę alternatywną H1 , która mówi że wartość
parametru istotnie różni się od zera czyli badana zmienna
objaśniająca ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną.
BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOÅšCI
ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
ØðWeryfikacjÄ™ hipotez dotyczÄ…cych istotnoÅ›ci parametrów
strukturalnych prowadzi siÄ™ korzystajÄ…c z testu opartego na
rozkładzie statystyki t-studenta określonej wzorem:
Gdzie: ma rozkład studenta o n-k stopniach swobody
ai estymator i-tego parametru strukturalnego
ąi prawdziwa wartość i-tego parametru (zgodnie z
hipotezÄ… zerowÄ… Ä…i = 0
D(ai) błąd średni szacunku parametru.
BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOÅšCI
ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
Øð Dla każdego parametru strukturalnego wyznaczamy wartość statystyki t
empirycznego (tzw. temp).
Øð NastÄ™pnie z tablic rozkÅ‚adu t-studenta dla przyjÄ™tego poziomu istotnoÅ›ci
ą oraz dla n-k stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną tą.
Øð WNIOSKOWANIE:
Jeżeli spełniona jest nierówność
|temp|>tÄ…
to hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H1.
Oznacza to, że badany parametr jest statystycznie istotny i zmienna
objaśniająca przy której ten parametr się znajduje ma istotny wpływ na
kształtowanie się zmiennej endogenicznej.
W przypadku gdy
|temp|d"tÄ…
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Zmienna objaśniająca przy
której ten parametr się znajduje wywiera istotny wpływ na zmienną Y.
BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOÅšCI
ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH
qðWeryfikacjÄ™ modelu można uznać za pozytywnÄ… w
przypadku istotności wszystkich parametrów strukturalnych
modelu ekonometrycznego i można przejść do analizy
dopuszczalności modelu ze względu na wartość wybranych
parametrów struktury stochastycznej, a zatem wybranych
własności rozkładu reszt.
qðW przypadku, gdy przynajmniej jeden z parametrów
strukturalnych jest statystycznie nieistotny model
ekonometryczny należy odrzucić w całości i rozpocząć
procedurę badań ekonometrycznych od nowa w kolejnych
etapach badań.
BADANIE WYBRANYCH WA
ASNOÅšCI SKA
ADNIKA
RESZTOWEGO MODELU.
vðPoprawność konstrukcji modelu i jego przydatność
praktyczną determinują także pewne własności, którymi
powinny się charakteryzować rozkłady reszt modelu jako
realizacje składnika losowego.
vðW procesie weryfikacji niezbÄ™dne jest zbadanie
üðLosowoÅ›ci reszt
üðSymetrii reszt
üðAutokorelacji reszt
BADANIE LOSOWOÅšCI RESZT MODELU.
1. Dla ciągu n obserwacji wyznaczamy reszty ut = yt - , które
są różnicą pomiędzy rzeczywiście zaobserwowaną wartością
zmiennej objaśnianej, a jej wartością wyznaczoną z modelu.
2. Następnie resztom dodatnim ut > 0 przypisuje się symbole A
zaÅ› resztom ujemnym ut < 0 przypisuje siÄ™ symbole B
wartości ut = 0 nie bierze się pod uwagę
3. Tworzymy w ten sposób ciąg złożony z symboli A i B. W
utworzonym ciÄ…gu elementy jednego rodzaju (podciÄ…gi) A lub
B następujące bezpośrednio po sobie noszą nazwę serii.
4. Na podstawie ciągu empirycznego określamy liczbę serii tzw.
kemp empiryczne.
BADANIE LOSOWOÅšCI RESZT MODELU.
5. Testem wykorzystywanym do weryfikacji hipotezy o
losowości reszt jest tzw. test liczby serii. Dla n1 (liczba
symboli A) i dla n2 (liczba symboli B) oraz przyjętego
poziomu istotności ą odczytujemy z Tablic liczby serii taką
wartość krytyczną ką, że P{k d" ką} = ą
6. WNIOSKOWANIE
Jeżeli
kemp > ką nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości
reszt, a więc reszty mają charakter losowy
kemp d"ką to hipotezę o losowości reszt należy odrzucić co
powinno skutkować modyfikacją postaci analitycznej
modelu, powtórnym szacowaniem parametrów i kolejną
weryfikacjÄ….
BADANIE LOSOWOÅšCI RESZT MODELU.
" Przykład.
Ciąg reszt ma postać
BBAABAAAB
Kemp = 5
Z Tablic liczby serii dla n1 = 5 i n2 = 4
KÄ…=0,05 = 2
Kemp = 5 > kÄ… = 2
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt
(reszty modelu majÄ… charakter losowy).
BADANIE SYMETRII SKA
ADNIKA RESZTOWEGO.
Symetria rozkładu reszt jest rozumiana jako równość częstości
występowania obserwacji odchylających się in plus bądz
in
minus od wartości modelowych.
" Weryfikując symetrię składnika resztowego formułujemy
hipotezę zerową, która mówi, że składnik resztowy ma
rozkład symetryczny
gdzie : m jest liczbÄ… reszt dodatnich (odchylajÄ…cych siÄ™ in
plus)
wobec hipotezy alternatywnej, mówiącej że rozkład składnika
resztowego jest niesymetryczny
BADANIE SYMETRII SKA
ADNIKA RESZTOWEGO.
" Statystyka weryfikująca hipotezę H0 jest następująca
dla małej próby liczba obserwacji n d" 30 statystyka t ma
rozkład t-studenta o n-1 stopniach swobody
dla n > 30 (duża próba) ma rozkład normalny
BADANIE SYMETRII SKA
ADNIKA RESZTOWEGO.
Jeżeli
temp d" tÄ…
Dla przyjętego poziomu istotności ą oraz n-1 stopni swobody
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0, a zatem można
wyprowadzić wniosek o symetrii składnika resztowego
Jeżeli
temp > tÄ…
Hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść hipotezy
alternatywnej co oznacza powrót do etapu konstrukcji
modelu w tym w szczególności jego postaci analitycznej.
BADANIE SYMETRII SKA
ADNIKA RESZTOWEGO
żð PrzykÅ‚ad
m=5 liczba reszt dodatnich
n=10 liczba wszystkich reszt
temp =0 < tÄ…=0,05;9 =2,262
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 o symetrii
składnika resztowego.
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
Autokorelacja składnika resztowego to korelacja pomiędzy zmienną
losowÄ… ¾t oraz ¾t-Ä
gdzie Ä jest liczbÄ… okresów oddalenia
0 d" Ä < n
Podstawowe przyczyny występowania autokorelacji składników
losowych to:
1. Działanie czynników przypadkowych przez okres czasu dłuższy
niż okres przyjęty za jednostkę.
2. Błędy konstrukcyjne modelu polegające na:
" pominięcie zmiennej (zmiennych) objaśniającej istotnie
oddziałującej na zmienną endogeniczną (objaśnianą),
" wprowadzenie do modelu zmiennej z niewłaściwym opóz
nieniem
czasowym,
" z
le dobrana postać analityczna modelu.
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
" Miernikami autokorelacji są tzw. współczynniki autokorelacji
Á. Współczynnik autokorelacji rzÄ™du pierwszego mierzy
zależność pomiędzy bezpośrednio po sobie następującymi
zmiennymi, współczynnik rzędu drugiego mierzy zależność
między zmiennymi odległymi o dwie jednostki wskaz
nika t
itd..
" Współczynnik autokorelacji rzÄ™du Ä wyraża siÄ™ wzorem
" Współczynnik autokorelacji rzędu zerowego zawsze jest równy
1, zaś wyższych rzędów w przedziale [-1,1]
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
W praktyce nie znamy współczynnika autokorelacji
składnika losowego i stąd wyznaczamy współczynniki
autokorelacji składnika resztowego. Współczynnik
autokorelacji reszt rzędu pierwszego tj. pomiędzy ut i ut-1
wynosi:
Wartości ń1 bliskie zeru mówią o braku autokorelacji
składnika resztowego (losowego) rzędu pierwszego.
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
Badamy istotność współczynnika autokorelacji, weryfikują
hipotezÄ™
H0: Å„1 = 0
mówiącej o braku autokorelacji reszt modelu wobec hipotezy
alternatywnej
H1: Å„1 `" 0
informującej o występowaniu autokorelacji reszt.
Statystyka za pomocą której prowadzi się weryfikację ma postać:
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
Statystyka d ma rozkład Durbina - Watsona, który jest funkcją
dwóch parametrów: n  liczba obserwacji; k  liczba zmiennych
objaśniających
Dla przyjętego poziomu istotności ą oraz n i k stopni swobody z
tablic Durbina-Watsaona odczytujemy dwie wartości krytyczne
dL (wartość dolna) oraz dU (wartość górna).
Jeżeli demp < dL odrzucamy hipotezę zerową,
Jeżeli demp> dU nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
W przypadku jeżeli dL d" demp d" dU nie można podjąć żadnej
decyzji i trzeba stosować inne testy istotności.
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
Hipoteza alternatywna potwierdza występowanie
autokorelacji dodatniej (H1: Å„1 > 0) dla demp<2
autokorelacji ujemnej (H1: Å„1 < 0) dla demp>2
a sprawdzianem jest statystyka d = 4  demp
Stwierdzenie autokorelacji skłania do zastosowania
uogólnionej MNK przy estymacji modelu.
BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.
Dla n=10
Ä… = 0,05 k = 2
dL = 0,697
dU = 1,641
demp = 1,916 > dU = 1,641
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 o braku
autokorelacji czyli autokorelacja składnika resztowego nie
występuje.