22913

2. Wykonujemy rzuty monetą aż do uzyskania po raz pierwszy sekwencji dwóch jednakowych wyników w dwóch kolejnych rzutach. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Widzimy, że szukamy tutaj wartości oczekiwanej dla dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa. Oznaczmy przez p. prawdopodobieństwo, że po raz pierwszy dwa takie same wyniki z rzędu wystąpią w i -1 oraz i -tym rzucie. Skorzystamy więc ze wzoru: EX = V X, .

Zauważmy najpierw, że p, = 0 . Szansa, że po raz pierwszy dwa razy ten sam wynik pojawi się

(¹ r

dokładnie po n -tym rzucie wynosi dokładnie I — I . Wynika to stąd, że pierwszy rzut jest dowolny, ale już każdy następny musi być inny niż poprzedni, a ponadto nasz i -ty musi być taki sam jak i -1-

(i V

2

szy. Zważywszy na fakt, że rzuty monetą są niezależne od siebie, otrzymujemy wzór —

Mamy więc teraz do obliczenia sumę ^ n ■

k-2

Wstawiające x = 2, otrzymujemy EX = 3.