23087

2.    Wektor Y jest niosko rolowany z wektorem reszt (własność zawsze prawdziwa w KMRL oszacowanym MNK)

Dowód:

Wiemy, że

Y = X$

Z definicji ojwracji transpozycji mamy Y^T = 3^TX^T => Y^Tc = 0^rX^Te = 0 z własności 1    □

3.    Dla MNK suma reszt w modelu ^r,]Cf=i^c< = 0

Dowód: Wiemy, że w modelu z wyrazem wolnym macierz X ma postać:

1 xn ... x*_n 1 Xj2    Xk-12

1 xir •••    *k-\T

Oznaczmy przez 1 wektor jedynek, zatem naszą własność można zapisać jako:

Y" =^/Tc

(■i

Z własności 1 wiemy, że X^Te = 0 zatem każda kolumna macierzy X przemnożona przez wektor reszt e musi dawać w wyniku 0 w szczególności również i pierwsza kolumna:

l^Te = 0    □

4. Średnia z wartości rzeczywistej zmiennej objaśnianej y = średniej wartości teoretycznej tej zmiennej

y

y = y

Dowód: Własność jest prawdziwa tylko w modelu z wyrazem wolnym. Ponadto wiemy, że : y X li

i^-ll.l]

y = X& + e = y + e => l^Ty = l^Ty + l^Te = l^Ty Iw l^Te = O z własności 2. Dzieląc obustronnie przez liczbę obserwacji T otrzyunycmy:

l^Tv - l^Ty -    _n

-f =y = ~y~ = y    □

5. Funkcja MNK przechodzi przez punkt średnich (X’.y)

Dowód: Korzy stając z tezy twierdzenia Gaussa - Markowa mamy:

X^TX$=X^Ty

Dla modelu z wyrazem wolnym weźmy pod uwagę jedynie pierwszy wiersz macierzy X^T zawierajmy jedynki:

l^TX0 = l^Ty

(⁷’’5Z-^r,<.....=

i=i    t=i    r=i

Po po<lzieleniu obustronnie przez liczł»ę olwerwacji T mamy:

Ml.....*k-i]0 = V □

⁵ Z reguły nie jest prawdziwa w modelu bez wyrazu wolnegp

2