23354

50. Podaj założenia modelu Kroniga Penneya dla pasmowej struktury energetycznej ciała stałego. Jakie własności funkcji falowej należy wykorzystać, żeby otrzymać relację dyspersji? Omów każdą z tych własności.

Energia potencjalna w krysztale zmienia się periodycznie w przestrzeni.

Dozwolone starty energetyczne są skwantowane.

Poziomy gmpują się w pasma, pasma te są oddzielone pasmami wzbronionymi

Aby uzyskać relację dyspersji (zależność Energii od wektora falowego k) rozważmy potencjał periodyczny (Vo, w odległości b) dla kryształu jednowymiarowego i zapiszmy równanie Schródingera:

0<x<a: tr d'(p(x)

₊ V(x )<p(x) = E<p(x)

2 m dx² -b<x<0 tr d'</>(.tr)

2 m dx

Rozwiązaniem równania Schródingera dla periodycznego potencjału są funkcje Blocha:

<p(.x) = U_t(.xy^t'

Należy' znaleźć współczynnik Uk(x) występujący przed eksponentą Podstawiając postulowane rozwiązanie do równań Schródingera w dwóch przedziałach otr zymujemy dwa równania:

£/„(:X) = Ae“-‘" + Be-¹'""’ gdzte a^: =    =

h h

E)

U_tJx)=Ce^+De-^ gdzie P¹ =^-(V-E) = ^r(V

h    tr

Stale A, B, C i D znajdziemy z czterech równań wykorzystujących własności funkcji falowych spełniających równanie Schródingera:

a)    ciągłość funkcji (funkcja falowa musi być klasy C¹) limt/iiOO = litnf/_ł2(.t)

j-*0    ,t-*0

b)    ciągłość pierwszych pochodnych (funkcja falowa musi być klasy C¹)

Iim^t2 = lim Zupl

i-»0 ^A    t-»0    *

c)    periodycziiość tunkcji (wynika z periodyczności potencjału)

ohML-^ML*

d)    periodycziiość pochodnych ((wynika z periodyczności potencjału)

* L—b

dU_t ,(*)!

(k I,

Z tego układu równań otrzymamy układ czterech równań jednorodnych na A, B, C i D Układ ten posiada niezerowe rozwiązanie, gdy wyznacznik współczynników przy niewiadomych jest równy zero. Z tego warunku otrzymujemy relację dyspersji:

+ cos (aa) = cos (ka)

Gdzie P jest miarą energii wiązania elektronu w studni potencjału i jest zdefiniowane:

/>= hm £*

ą-ior-iM 2

► 0 to V -» «, tak żeby

Potencjał V spełnia właściwość funkcji delty Diraca, tzn.: gdy b -P'b miało wartość skończoną.