24409

Metoda Lagrange’a

Metoda Lagrange‘a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy elementów, a mianowicie:

(6j 4- 62 + ... + b„ )² = b* + b?₂ + ... + ^ + 2    ^ bfij

«=i j=ij<j

Metodę tą omówimy na przykładzie. Niech

g(xi,X2.x₃) = 2x5 — x\ + 3x² + 21112 ^— lxix₃ ^— 3x2x₃

wtedy możemy zebrać elementy, które zawierają x\ i otrzymujemy: g(xi,X2,xs) = 2(x? + 0:13:2 - 23:10:3) - x\ + 3xl - 3x2x3 następnie "wyciągamy kwadrat" zgodnie z powyższym wzorem:

g{xi, x₂, x₃) = 2(xi + ^x₂ - x₃)² - -x% - 2x² + 2x₂x₃ - x\ + 3x* - 3x₂x₃ stąd

1    3

p(x,,x₂,x₃) = 2(x, + -x₂ - x₃)² - -zx\ + Ą - x₂x₃

dalej postępujemy podobnie jak powyżej z "kawałkiem” zawierającym tylko zmienne x₃, x₃, a więc:

0(xi,x₂,x₃) = 2(x, + \x₂ - x₃)² - §(x| + §x₂x₃) + xl =

2(xj + ±x₂ - x₃)² - |(x₂ + |x₃)² + |x§ + x\ =

2(xi + \x₂ - x₃)² - |(x₂ + 3X3)2 + |x²

Jeśli przyjmiemy teraz xj\ = Xi + \x₂ - x₃, y₂ = x₂ + 5X3, y₃ = x₃ to otrzymamy:

3    7

0(l/l, ifeijfo) = 2«/i - -02 + g»/3

otrzymane przedstawienie jest więc postacią kanoniczną naszej formy.

Metoda Jacobiego

Metoda Jacobiego polega na wykorzystaniu algorytmu podobnego do algorytmu ortogonalizacji Grama — Schmidta. Omówimy tą metodę na tym samym przykładzie co poprzednio:

0(xi,x₂,x₃) = 2x5 - A + 3x² + 2xix₂ - 4xix₃ - 3x₂x₃

2