24434

stąd otrzymujemy równanie:

czyli

i ponieważ w ciele liczb zespolonych liczbę ^fe2~t^lc można spierwiastkować to istnieją rozwiązania naszego równania. Oznacza to. że algorytm rozwiązywania równania

az² + bz + c — 0

jest dokładnie taki sam jak w ciele liczb rzeczywistych:

A = ó² — 4 ac ₌ -H/a

^,Zanr - _ -b-VA *2 ~ —~

ale w tym przypadku rozwiązania zawsze istnieją.

Przykład Rozwiązać równanie z² + (1 + 4i)z — (5 + i) = 0.

Wielomiany

Niech I\ będzie ciałem, x zmienną. Każde wyrażenie postaci:

f(x) = a_nxⁿ + a_n_₁x^n_1 + ... + a_xx + a₀,

gdzie «_n.____aj.€ K nazywamy wielomianem jednej zmiennej nad

ciałem A*. Wyrażenia te należy rozumieć formalnie, a w przypadku gdy K jest ciałem liczbowym (tzn jednym z ciał: Q, R. C) to wielomiany jak dawniej można interpretować jako funkcje. Zbiór wszystkich wielomianów na ciałem I\ oznaczamy symbolem K[x). Jeśli f(x) € K[x\ i f{x) = a_nxⁿ + a„_₁x^n-1 +

.. . + ai:r+flo oraz a_n ^ 0 to n nazywamy stopniem wielomianu f(x) i piszemy st/ = n. Jeśli st/ = n i a_n = 1 to wielomian f(x) naywamy unormowa-nym. Jeśli st/ = 1 to wielomian nazywamy wielomianem liniowym.

Jeśli K jest ciałem to w zbiorze K[x\ można w tradycyjny sposób wprowadzić działania dodawania i mnożenia wielomianów. Jeśli f(x) = a„xⁿ + a_n-ixⁿ~^l + ... + a_tx + a^, 9(x) = b_mx^m + fe„,_iż^m~^l + ... + b_xx + ł\) oraz n > m to mamy:

f(x) + g(x) = a_nxⁿ + a„-ixⁿ~^l + ... + {a_m + b_m)x^m + ... + (a, -f 6j)x + a₀ + bo f(x)g(x) =

2