25859

a = max A,

wtedy i tylko wtedy, gdy

ae A oraz £_A ^x - °.

Obrazowo, elementem najmniejszym zbioru nazywamy element tego zbioru leżący najbardziej w prawo na osi liczbowej.

Def. 0.3.3 (kres dolny zbioru)

Niech zbiór A czR będzie niepusty i ograniczony z dołu. Liczba a jest kresem dolnym tego zbioru, co zapisujemy

a = inf A,

wtedy i tylko wtedy, gdy

a x £ a _nra7 a v x₀ < a + € x*A    °^raZ r>0x,cA °

Obrazowo, kres dolny zbioru jest największą liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. Jeżeli zbiór A jest nieograniczony z dołu, to przyjmujemy

def

inf A =-oo-

Def. 0.3.4 (kres górny zbioru)

Niech zbiór B cR będzie niepusty i ograniczony z góry. Liczba b jest kresem górnym tego zbioru, co zapisujemy

b = sup B,

wtedy i tylko wtedy, gdy

a x<b

X€B

oraz

a v

r>0

*0

>b-e

Obrazowo, kres górny zbioru jest najmniejszą liczbą ograniczającą ten zbiór z góry. Jeżeli zbiór B jest nieograniczony z góry, to przyjmujemy

def

sup B = oO •

Uwaga. Najmniejszy element zbioru jest jednocześnie kresem dolnym tego zbioru Analogicznie, największy element zbioru jest jego kresem górnym.

Fakt 0.3.3 (aksjomat ciągłości)

Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.

Każdy niepusty zbiór ograniczony z góry ma kres górny.

0.4 FUNKCJE - PODSTAWOWE OKREŚLENIA Def. 0.4.1 (funkcja)

Niech zbiory X, Y <z R będą niepuste. Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x e X dokładnie jednego elementu y e Y. Funkcję taką oznaczamy przez f ’ X —» Y . Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x).

Def. 0.4.2 (dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości funkcji)

Niech f: X —> Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D/, a zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedziną. Ponadto zbiór

(f(*)eY : xeD,}

nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez Wf Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór elementów z R, dla których wzór ten ma sens liczbowy, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.