40094

LEMAT 7

Jeżeli A e L Gest tezą rachunku zdań, gdzie L = C^(Arp)) to H(A) = Trz (tautologia rachunku zdań) (dow Batog, s. 168)

TWIERDZENIE 80 niesprzeczności KRZ Nie istnieje formuła A taka, że A e L i (~A) e L.

DOWÓD NWP

Przypuśćmy, że A e L i (~A) e L. Na mocy lematu 6 H(A) e Trz i H(~A) e Trz. Ponieważ H(~A) = ~H(A), to H(A) e Trz i ~H(A) e Trz, co jest niemożliwe, bo gdy jakaś formuła jest tautologią rachunku zdań, to jej negacja nie może być również tautologią.

2. NIEZALEŻNOŚĆ KRP

Każdy aksjomat powienien być niezależny od reszty aksjomatów.

DEFINICJA 1 O niezależności

a)    zbiór formuł X jest niezależny (X e NZL) wtw dla dowolnej formuły A, gdy A e X, A eC_nL(X-{A})

b)    formuła A jest niezależna względem zbioru X wtw A €Cm(X)

Niezależność w sensie b) to niewyprowadzalność formuły ze zbioru.

Niezależność nie jest tak ważną własnością, jak niesprzeczność. Aksjomat zależny od reszty można bez problemu usunąć, niezależność jest raczej postulatem estetycznym.

TWIERDZENIE 1

Jeżeli Xu{~A) e NSP to A €C_nL(X)