112746

5.    AKSJOMAT NIESKOŃCZONOŚCI. Istnieje co najmniej jeden zbiór nieskończony-.

6.    AKSJOMAT PODZBIORÓW (dla formuły A(x». Dla każdego zbioru X i każdej formy zdaniowej A(x), gdzie X jest zakresem znuentoici \, istnieje zbiór złożony z tych i ty lko tych elementów zbioru X, które spebuąją tę formę zdaniową.

7.    AKSJOMAT ZBIORU POTĘGOWEGO. Dla każdego zbioru X istnieje rodzina zbiorów E. której elementami są wszystkie podzbiory zbioru X i tylko one. [Rodzina ta nazywa się zbiorem potęgowym zbioru X /

8.    AKSJOMAT WYBORU. Dla każdej rodziny zbiorów lńepustych i rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów tej rodziny nut jeden i tylko jeden wspólny element.

9.    AKSJOMAT ZASTĘPOWANIA DLA FORMUŁY A (zmienna Y nie występuje jako wolna w A). Jeśli dla każdego \ istnieje dokładnie jeden taki y, że A(x.y). to dła każdego zbioru X istnieje zbiór Y. którego elementami są te i tylko te elementy y, dla których - dla pewnego xeX - spebiiony jest warunek A(x,y).

Aksjomaty od pierwszego do czwartego wystarczają do udowodniona z nich. za pomocą reguł logicznych, wszystkich własności tak zwanej algebry zbiorów Wszystkie dziewięć aksjomatów pozwalają udowodnić znaczą część twierdzeń matematyki.Niektóre z aksjomatów' są zależne od pozostałych w tym sensie, że da się je z pozostałych wyprowadzić. Na przykład aksjomat 4 można wyprowadzić bezpośrednio z aksjomatu 5. czy też aksjomat 3 z aksjomatu 6.

Analizując powyższe aksjomaty łatwo zauważyć, że teoria mnogości ma dwa pojęcia pierwotne (niezdefiniowane): pojęcie zbioru oraz należenia elementu do zbioru. co symbolicznie notujemy za Peano. aeX. Zbioiy oznaczmy dużymi literami (ewentualnie z indeksami dolnymi) z końca alfabetu łacińskiego X, Y, Z. Określone elementy zbiorów oznaczmy małymi literami a, b, c. (ewentualnie z indeksami dolnymi). Zaś małe litery x, y, z, rezerwujemy jako zmienne indywiduowe kategorii nazwowej, reprezentujące dowolne elementy zbiorów. Tłustymi literami X. Y. Z, oznaczamy rodziny zbiorów Rodzina zbiorów jest to zbiór, którego elementy są zbiorami.

Dodatkowo używamy wszystkich symboli logicznych: -i, a, v, =, (spójniki logiczne); V, 3, (symbole kwantyfikatora odpowiednio ogólnego i szczegółowego) = (symbol

identyczności o kategorii syntaktycznej —)

n n

Na mocy aksjomatu (I), zwanego często aksjomatem ekstensjonalności dla zbiorów, każdy zbiór jest jednoznacznie scharakteryzowany przez swe elementy. Aby zatem określić jakiś zbiór X należy i wystarcza wymienić jego elementy. Przyjęto czynić to w taki sposób, że elementy zbioni wypisuje się pomiędzy nawiasami klamrowymi. Na przykład: {a, b, c}. Jedynymi elementami zbioru Xsą a, b, c. Może się jednak tak zdarzyć, że zbiór jest nieskończony to wtedy używa się w matematyce takiego sposobu: {x: A(x)}. Ten zapis czytamy tak: jest to zbiór takich x-ów, które spełniają warunek A(x). Jakiś xspelnia formę zdaniową A(x)wtedy, gdy w wyniku podstawienia nazwy x do formy zdaniowej A(x) otrzymamy zdanie prawdziwe. Na przykład:    {x: xjest liczbą pierwszą} jest zbiorem

wszystkich liczb pierwszych; {x: x jest mężczyzną i x pali papierosy} jest zbiorem wszystkich mężczyzn palących (wstrętne) papierosiska.