116032

Zależność ciepła właściwego od temperatury jest jak T^}. Próbował to wyjaśnić najpierw Einstein, który założył, że drgania sieci są skwantowane. Jego teoria dobrze sprawdzała się w pewnym zakresie temperatur, jednak uwzględniała tylko drgania optyczne, podczas gdy w niskich temperaturach dominują drgania akustyczne.

W pełni wyjaśnił tą zależność Debye. który założył liniową zależność częstości od wektora falowego. Rozważmy wielkość zależną od temperatury. Temperatura wynika z drgań fononów o częstości (O od 0 do co_imx:

A(T) = f Moj) ■ f(co) ■ Z( co) ■ do)

I

gęstość

- ilość drgań zależnych od wektora falowego dla fononów

l

prawdopodobieństwo obsadzenia stanu o danej częstości

jZ(co)dco=3N

0

Oznaczenie wektora falowego: elektrony - k. fonony - q

Z(q) - ^ * j =    - podobnie jak dla elektronów, tylko 2 razy mniej, bo bez spinów (dla V = 1)

Fala stojąca w ciele stałym jest skwantowana (mamy skończoną ilość możliwych długości fali) - długość fali jest ograniczona od góry przez rozmiary kryształu, a od dołu przez odległość między atomami.

dN = Z, (q) • 4 mj ²dq = Z, (CO) ■ cl(0 (dla jednej gałęzi drgań)

_Z|(ffl)₌i3^ ₌ _s£L.

¹    Inda

Debye założył, że częstość jest zależna liniowo od wektora falowego, a współczynnikiem proporcjonalności jest prędkość dźwięku.

0) = U-q _    -7^- = -,    q'=^r, siad:    Z,(ft»=    ,

a (O u    u    2 nu

3 (Q~ 2tt²u*

Powyższy wynik dotyczy jednej gałęzi. A więc całkowita gęstość: Z(CO) = 3 Z_x((0) -

3 co²

j Z (CO) (I (0—3 N    _► J ^^,^3 *d(0— ^2^3    - wstawiamy tu liczbę Avogadro

(liczymy ciepło molowe)

ai_a=6x²u^}N_A _ co_n^ =\j6x'-N_A u 1    3 ar

^2.3

A(7)= j A(ay

2k u

-dCO

statystyka Boscgo-Einsteina (fonony są bozonami)