121031

Uwaga:

Zadania 1, 2, i 3 dotyczą wyznaczania wartości głównych i kierunków głównych przestrzennego stanu naprężenia. Dla stanu odkształcenia zagadnieme to rozwiązuje się analogicznie. Wystar czy zastąpić składowe stanu naprężenia odpowiednimi składowymi stanu odkształcenia

ZADANIE 1. Obliczyć wartości naprężeń głównych oraz określić kierunki główne stanu naprężenia:

[MPa]

Rozwiązanie

Obliczamy wartości niezmienników stanu naprężenia.

= o_x + tr_x + a_z - 2 + 5 + 6 = 13 MPa

*.T	*xy	+	°x		+	°y	*.vr
	°y			a.		*zy	a z

2-5-5² + 5-6-1² + 2-6-(-l)² = 25 MPa²

		^Txy
•*111 “	*yx	^ay	*yz
		^Tzy	a.

— a_xU_xa_z +    + 'Z_X2Ty_XT_Ty T    _yT_a    O _x Ty.r_n. T_xvTy_X<r_z

= 2 - 5-6 + 2*1(-1) + (-!)• 5*1 - (-!)•(-1)-5-1 1 - 2-6-5 - 5 =-107 MPa

Naprężenia główne wyznaczamy z równania

(7^ —    <T~ + Jj] (7 — $ni — 0 ,

które po wstawieniu obliczonych wartości liczbowycli niezmienników ma postać

a³ -1 3<t² + 25<r+107 = 0 .    (1)

Aby otrzymać wartości naprężeń głównych należy rozwiązać powyższe równanie trzeciego stopnia.

Rozwiązanie równania trzeciego stoptiia h^t postaci ogólnej Niecłi będzie dane równanie trzeciego stopnia w postaci ayⁱ + by¹ + cy + d = 0.

Dzielimy je obustronnie przez a i podstawiamy y = x-b/3a, otrzymujemy: x* + 3px + 2q = 0,