1492316733

Logistyka - nauka

W dynamice budowli zagadnienie własne dotyczy wyznaczenia wartości własnych, którymi są częstości drgań własnych oraz odpowiadających im wektorów własnych, czyli rozkładu przemieszczeń drgającego ustroju.

2.1. Zagadnienie własne w dynamice budowli z uwzględnieniem podłoża sprężystego - istota zagadnienia

Jednym z podstawowych zagadnień dynamiki konstrukcji jest określenie warunków, w których ustrój mógłby wykonywać ruch wokół położenia równowagi bez działania zewnętrznych sił wymuszających. Równanie takiego ruchu określa (1)

Mq+Kq=0    (1)

gdzie:

M - macierz bezwładności ustroju,

K - macierz sztywności liniowej ustroju,

q, q - wektor przemieszczeń, przyspieszeń ustroju.

Jeżeli analizowany ustrój spoczywa na podłożu Winklera, to równanie (1) należy uzupełnić o macierz Kp, uwzględniającą wpływ podłoża

Mq + (K + K_p )q = 0    (2)

gdzie:

M - macierz bezwładności ustroju,

K - macierz sztywności liniowej ustroju,

Kp - macierz sztywności podłoża,

q, q - wektor przemieszczeń, przyspieszeń ustroju.

Rozwiązaniem równania (2) jest wektor

q=ae^ia    (3)

a- a {>, a,...a.j    (4)

Formuła (3) przedstawia zbiór funkcji harmonicznych qj(t) o wspólnej częstości co i amplitudach aj(j=l,2, ... n). Ruch określony wzorem (3) nosi nazwę drgań własnych ustroju. Nie jest to zjawisko fizyczne, ale właściwość konstrukcji narażonej na wpływy dynamiczne

Podstawiając funkcję (3) do równania (2) otrzymujemy jednorodne równanie macierzowe (5), które musi być spełnione w każdej chwili t.

(K-£»²M)a=0    (5)

gdzie:

K = K + K_p

Interesuje nas rozwiązanie, gdzie as0, dlatego też warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań jest równanie (6), z którego otrzymujemy n wartości c>_i, tj. częstości drgań własnych ustroju[6].

det(K-ń>²M)=0    (6)

Pierwiastki co_j są rzeczywistymi liczbami dodatnimi, mogą występować pierwiastki wielokrotne. Każdej wartości własnej co_l (i = 1,2 ...n) odpowiada niezerowy wektor a* , nazywany wektorem własnym i-tej formy drgań. Określa on rozkład przemieszczeń q podczas drgań z częstością co_}.

Logistyka 3/2015