123164

Wyznaczymy teraz wektor ti/₃. Ponieważ wektor ten jest ortogonalny do wektora tią to otrzymujemy (korzystając z faktu, że (tn₂|wi) = 0):

0 = (w₃|uą) = (t>3 + k\₃W\ +    =

{v3\wi) + A'i3(i^»i |u?i ) + /p23(u^|u;i) = (t>₃|u>i) + fciaMwi)

stąd:

, ₌ (yslm)

¹³ (»iki)

Współczynnik fc₂₃ wyznaczymy z równości (tc₃|u;₂) = 0 i (tr₃|uą) = 0:

0 = (ic₃|łc₂) = (v₃ -f k\₃Wi + Ar₂₃ir₂|u;₂) =

(t*M + ki₃{wi\w₂) + ka(w2\w2) = (tfe|ttfi) + ki₃(wi\wi)

zatem:

,    _    (t^ł3|«.^?2)

²³    (w₂\w₂)

Postępując podobnie z dalszymi wektorami otrzymamy:

W ten sposób otrzymujemy nową bazę uą, «/₂,..., w_n, która jest ortogonalna. Aby otrzymać bazę ortonormalną wystarczy każdy z wektorów podzielić przez jego długość, to znaczy bazą ortonormalną jest układ:

lki|| IKH IM "

Rzeczywiście:

^{(w,N) =} (m) ^{IW|J =}

Przykłady

(1) W przestrzeni euklidesowej R³ z iloczynem skalarnym

((x,, x₂, x₃)|(yi, ł/₂. y₃)) = x_ly_l + x₂ + y₂ + x₃y₃

zortogonalizować, metodą Grama-Schmidta, bazę tą = (1,2,3), v₂ = (2,1,0), v₃ (3,1,2). Zgodnie z naszym algorytmem nowa baza będzie postaci:

wi = tą

w₂ = V2 + k\₂W\

Wi = V3 + k\₃wi -f k^w₂

2